Razones de cambio relacionadas: escalera, cono y sombra

Una escalera de diez pies se desliza por una pared mientras su extremo inferior se aleja. Conoces la longitud y la velocidad del extremo inferior; quieres la del extremo superior. El dibujo y Pitágoras dan una ecuación, pero la velocidad sale al derivarla respecto al tiempo. Ambas distancias cambian aunque la longitud de la escalera permanezca fija.

Usaremos las mismas cinco anotaciones en tres figuras: variables, relación válida durante el movimiento, tasa conocida e instante, tasa solicitada y comprobación de signo y unidades. Así se evita sustituir demasiado pronto o confundir dos velocidades de un mismo dibujo. El método sigue OpenStax Calculus, volumen 1, §4.1; los números de estos ejemplos son originales. Si la derivada aún no está clara, consulta nuestra guía de derivadas.

Define lo que cambia antes de calcular

Elige una variable temporal $t$ y escribe cada longitud cambiante como función del tiempo, por ejemplo $x(t)$ e $y(t)$. Marca las direcciones positivas. Si $x$ es la distancia a la pared y el extremo inferior se aleja a $2\text{ ft/s}$, entonces $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Una altura decreciente tiene $dy/dt<0$. Si preguntan «a qué rapidez baja», la rapidez positiva es $|dy/dt|$.

Plantea una relación geométrica o física válida durante el movimiento. Derívala con respecto a $t$ sin sustituir todavía las longitudes del instante. Se usa la regla de la cadena: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Después introduce los valores instantáneos y despeja. Comprueba signo y dimensiones: la derivada de una longitud usa longitud por tiempo y la de un volumen, volumen por tiempo.

Anotación	Pregunta
Variables	¿Qué cambia y qué sentido es positivo?
Relación	¿Qué ecuación vale en cada instante pertinente?
Datos instantáneos	¿Qué longitudes y tasas con signo se conocen ahora?
Tasa pedida	¿Qué derivada hay que despejar?
Comprobación	¿Tienen sentido la dirección y las unidades?

Una hoja de ejercicios de Cornell utiliza la misma idea general en distintas figuras. La tabla mantiene visible la interpretación, no solo la ecuación derivada.

Ejemplo 1: la escalera deslizante

Variables. $x(t)$ es la distancia de la base a la pared; $y(t)$, la altura del extremo superior. Ambas se miden en pies y crecer es el sentido positivo. La escalera rígida mide $10\text{ ft}$. En el instante solicitado, $x=6\text{ ft}$ y $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Busca $dy/dt$.

Relación. El triángulo rectángulo da $x^2+y^2=100$. Cuando $x=6$, la altura positiva es $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. No fijes $x=6$ antes de derivar: $x$ sigue siendo una variable que cambia antes y después de ese instante.

Derivación y sustitución. Como la derecha es constante,

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Ahora $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Respuesta y comprobación. La velocidad vertical con signo es negativa porque la altura baja. La rapidez hacia abajo es $1.5\text{ ft/s}$. La razón $x/y$ no tiene unidades, por lo que la unidad de $dx/dt$ se conserva. Un resultado positivo para $dy/dt$ con estos ejes revelaría un error de signo.

Cuando la escalera se acerca al suelo, $y$ se hace pequeño y la magnitud de esta fórmula idealizada crece. Es una propiedad del modelo de una escalera rígida con velocidad horizontal prescrita, no una predicción de que una escalera real conservará ese movimiento indefinidamente. Solo respondemos para el instante indicado.

Ejemplo 2: llenar un cono

Un depósito cónico apunta hacia abajo. Tiene altura total $12\text{ cm}$ y radio superior $4\text{ cm}$. Entra agua a $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$. Calcula cuánto sube el agua cuando su profundidad es $h=6\text{ cm}$.

Variables. $h(t)$ es la profundidad y $r(t)$ el radio de la superficie. Ambos cambian, igual que $V(t)$. Relaciones. Los triángulos semejantes dan $r/h=4/12=1/3$ y $r=h/3$. El volumen del cono de agua es $V=(\pi/3)r^2h$. Sustituye ahora la relación entre variables: $V=(\pi/27)h^3$. Esto no congela $h$ en el valor del instante.

Derivación y sustitución. Por la regla de la cadena,

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Con $h=6\text{ cm}$, $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$. Por tanto, $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Comprobación. El signo positivo corresponde a una superficie ascendente. El factor $(\pi/9)h^2$ tiene unidades de área; dividir centímetros cúbicos por segundo entre él deja centímetros por segundo. En ese instante $r=2\text{ cm}$. Confundir el radio fijo del depósito $4$ con el radio actual del agua $2$ daría otra tasa, incorrecta.

También puedes derivar $V=(\pi/3)r^2h$ dejando $dr/dt$ y $dh/dt$, para luego usar $dr/dt=(1/3)dh/dt$. El resultado coincide. Sustituir $r=h/3$ antes de derivar acorta el cálculo porque ya deja una sola longitud cambiante.

Ejemplo 3: una persona y su sombra

Una lámpara está a $6\text{ m}$ del suelo horizontal. Una persona de $2\text{ m}$ camina en línea recta alejándose a $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$. Sea $x(t)$ su distancia a la lámpara y $s(t)$ la longitud de su sombra. Halla la tasa de crecimiento de la sombra y la rapidez de su punta.

Variables. La dirección positiva se aleja de la lámpara. La punta está a distancia $x+s$. Por tanto, $ds/dt$ y $d(x+s)/dt$ son dos tasas distintas. Relación. Los triángulos semejantes comparan altura de la lámpara y distancia hasta la punta con altura de la persona y longitud de la sombra:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

Al multiplicar, $6s=2x+2s$ y $s=x/2$. Vale mientras se mantenga la geometría rectilínea idealizada. Derivación: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$; esa es la tasa de la longitud de la sombra.

Punta y comprobación. Su posición es $p=x+s=3x/2$, por lo que $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. La punta se mueve más deprisa que la persona; no se desplaza solo a la tasa de crecimiento de la sombra. Ambas tasas son positivas y se miden en metros por segundo. Si la persona se detiene, $dx/dt=0$ y las dos derivadas son cero, una prueba sencilla de caso límite.

Aplica el método y revisa la pregunta

Las tres situaciones utilizaron una ecuación verdadera durante el movimiento. Los números que describen un instante entraron tras derivar. Pero la interpretación cambia: la altura de la escalera disminuye, la profundidad del cono aumenta por un caudal volumétrico y la sombra tiene dos velocidades positivas distintas. Las cinco anotaciones ayudan a comparar esas diferencias sin memorizar tres trucos.

Para practicar, cambia una tasa sin cambiar la geometría. Si en $x=6\text{ ft}$ la base se aleja a $1\text{ ft/s}$, $dy/dt$ se reduce a $-0.75\text{ ft/s}$. Si el caudal del cono se duplica a la misma profundidad, $dh/dt$ también. Estas pruebas de proporcionalidad detectan errores aritméticos, pero no sustituyen el planteamiento geométrico. Math Zen permite practicar por separado las reglas de derivación necesarias; la preparación para AP Calculus sitúa este tema entre otras aplicaciones.

Antes de dar una respuesta, vuelve al sustantivo preguntado: base, extremo superior, nivel de agua, longitud de sombra o punta de sombra. Escríbelo junto a la derivada final. Una tasa calculada correctamente para la magnitud equivocada sigue siendo una respuesta equivocada. Comprueba además su signo según el sentido positivo elegido y simplifica las unidades. Estas dos revisiones breves suelen descubrir errores que parecían convincentes.