Das Ziegenproblem: Warum der Türwechsel deine Gewinnchance verdoppelt

1990 stellte ein Leser in Marilyn vos Savants Zeitschriftenkolumne eine kurze Frage zu einer Gameshow. Ihre Antwort, dass man die Tür wechseln sollte, provozierte rund zehntausend Protestbriefe, fast tausend davon mit Doktortitel unterzeichnet, viele mit der Beschwerde, eine Kolumnistin habe kein Recht, elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung falsch zu erklären. Sie lag nicht falsch. Die Briefschreiber schon.

Genau das macht das Ziegenproblem, im Englischen als Monty Hall problem bekannt, deine Zeit wert. Es ist keine Fangfrage, und es hängt an keinem Kleingedruckten. Es ist ein völlig faires Rätsel mit einem Aufbau von drei Zeilen, und es besiegt zuverlässig die Intuition intelligenter Menschen, einschließlich professioneller Mathematiker, bis sie die eine Asymmetrie sehen, die sie übersehen haben. Sobald du sie siehst, hört die Antwort auf, sich paradox anzufühlen, und beginnt, sich unvermeidlich anzufühlen.

Die Spielregeln

Das Rätsel ist der Gameshow Let's Make a Deal nachempfunden, deren ursprünglicher Moderator Monty Hall ihm seinen Namen gab. Der Aufbau:

Es gibt drei geschlossene Türen. Hinter einer steht ein Auto. Hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Das Auto wurde zufällig platziert, also hat jede Tür, bevor irgendetwas passiert, eine Chance von 1/3, es zu verbergen.

Du wählst eine Tür, sagen wir Tür 1. Sie bleibt geschlossen.

Der Moderator, der genau weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der beiden Türen, die du nicht gewählt hast, und er öffnet immer eine mit einer Ziege. Sagen wir, er öffnet Tür 3, und eine Ziege schaut dich an.

Jetzt bleiben zwei Türen geschlossen: deine Tür 1 und die unberührte Tür 2. Der Moderator stellt dich vor die Wahl. Bleib bei Tür 1 oder wechsle zu Tür 2.

Fast jedes Bauchgefühl sagt dasselbe: zwei Türen, ein Auto, 50/50, also ist es egal. Das Bauchgefühl irrt. Bleiben gewinnt in 1/3 der Fälle. Wechseln gewinnt in 2/3 der Fälle. Der Wechsel verdoppelt buchstäblich deine Chancen, und das ganze Rätsel besteht darin zu verstehen, woher diese zusätzliche Wahrscheinlichkeit kommt.

Der Beweis ist bloßes Zählen

Der sauberste Weg zur Antwort ist die Beobachtung, dass das gesamte Spiel von einem einzigen Ereignis entschieden wird: ob deine erste Wahl richtig war.

Das ist der ganze Beweis. Bleiben wettet darauf, dass deine blinde erste Vermutung richtig war, ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Wechseln wettet darauf, dass sie falsch war, ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 2/3. Das sind die einzigen beiden Optionen, und sie liegen nicht nah beieinander.

Wenn du lieber jeden Fall ausgebreitet sehen willst, fixiere deine Wahl auf Tür 1 und lass das Auto variieren. Auto hinter Tür 1: der Moderator öffnet Tür 2 oder 3, Bleiben gewinnt, Wechseln verliert. Auto hinter Tür 2: der Moderator muss Tür 3 öffnen, Bleiben verliert, Wechseln gewinnt. Auto hinter Tür 3: der Moderator muss Tür 2 öffnen, Bleiben verliert, Wechseln gewinnt. Drei gleich wahrscheinliche Welten, und Wechseln gewinnt in zweien davon. Die Zählung ist der Beweis.

Woher die zusätzliche Wahrscheinlichkeit kommt

Der 50/50-Instinkt stammt aus einer Faustregel, die dir normalerweise gute Dienste leistet: zwei Unbekannte, kein Grund, eine zu bevorzugen, also teile die Wahrscheinlichkeit gleichmäßig auf. Die Regel ist in Ordnung. Der Fehler ist zu denken, die beiden geschlossenen Türen seien symmetrisch. Das sind sie nicht, denn sie haben sehr unterschiedliche Geschichten hinter sich.

Deine Tür hast du selbst gewählt, blind, bevor irgendetwas enthüllt wurde. Nichts, was danach geschah, betraf deine Tür in irgendeiner Weise: der Moderator durfte sie nicht anrühren, ob sie das Auto verbarg oder nicht. Es wurde also nie eine Information über deine Tür erzeugt, und ihre Wahrscheinlichkeit bleibt, wo sie angefangen hat, bei 1/3.

Die andere geschlossene Tür hat etwas überstanden. Der Moderator betrachtete die beiden Türen, die du nicht gewählt hast, von denen mindestens eine eine Ziege verbarg, und eliminierte gezielt eine Ziege aus diesem Paar. Die Tür, die er geschlossen ließ, ist entweder zufälliger Rest (in der 1/3-Welt, in der deine Wahl richtig war) oder das Auto selbst (in der 2/3-Welt, in der deine Wahl falsch war). Seine Entscheidung war durch die Wahrheit eingeschränkt, und diese Einschränkung lässt Information durchsickern. Die gesamten 2/3 Wahrscheinlichkeit, mit denen das Paar gestartet ist, sammeln sich auf seinem einen überlebenden Mitglied.

Die Version mit 100 Türen, für die Unüberzeugten

Wenn sich das Argument mit drei Türen immer noch glitschig anfühlt, skaliere es hoch. Gleiche Regeln, 100 Türen, ein Auto, 99 Ziegen. Du wählst Tür 1. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet 98 der übrigen Türen, hinter jeder einzelnen eine Ziege, und lässt genau eine andere Tür geschlossen. Bleiben oder wechseln?

Deine erste Wahl war in 1 von 100 Fällen richtig. In den anderen 99 Fällen steht das Auto irgendwo hinter den Türen, die du nicht gewählt hast, und die 98 Enthüllungen des Moderators mussten sich um das Auto herumwinden: er öffnete alles außer dem Auto. Die einzelne Tür, die er geschlossen ließ, ist kein zufälliger Überlebender. Sie ist der Ort, an dem das Auto stehen muss, in 99 von 100 Fällen.

Niemand bleibt im Spiel mit 100 Türen. Aber das Spiel mit drei Türen ist dasselbe Spiel. Die Enthüllung des Moderators musste sich auf genau dieselbe Weise um das Auto herumwinden; es gab nur weniger davon zu sehen. Wenn Wechseln bei 100 Türen offensichtlich richtig ist, liegt die Beweislast bei dem, der behauptet, drei Türen seien etwas anderes, und die Fallzählung oben zeigt, dass sie es nicht sind.

Das Kleingedruckte, das die Antwort ehrlich macht

Hier kommt der Teil, den populäre Nacherzählungen meist überspringen, und er macht den Unterschied zwischen die Antwort kennen und sie verstehen. Das Ergebnis 2/3 hängt vom Verhalten des Moderators ab, nicht nur von dem, was du gesehen hast.

Die Standardregeln setzen voraus, dass der Moderator immer eine Tür öffnet, immer eine Ziege zeigt und immer den Wechsel anbietet. Ändere diese Regeln, und die Antwort ändert sich. Die klassische Variante wird manchmal Monty Fall genannt: der Moderator stolpert, öffnet eine der beiden nicht gewählten Türen völlig zufällig, und rein zufällig kommt eine Ziege zum Vorschein. Gleiche Türen, gleiche Ziege, gleiches Bild auf deinem Bildschirm. Aber jetzt gewinnt Wechseln nur noch in 1/2 der Fälle.

Warum der Unterschied? Im Standardspiel enthüllt der Moderator in jeder Welt eine Ziege, also sagt dir die Enthüllung nichts darüber, ob deine Wahl richtig war, und deine Tür bleibt bei 1/3. Bei Monty Fall deckt ein zufällig handelnder Moderator manchmal versehentlich das Auto auf. Eine Ziege zu sehen ist jetzt selbst Evidenz, und zwar Evidenz zugunsten deiner ursprünglichen Wahl, denn Welten, in denen deine Wahl richtig war, konnten niemals ein aufgedecktes Auto hervorbringen. Rechne nach, und die beiden geschlossenen Türen landen tatsächlich bei je 1/2.

Probier es aus, denn jeder sollte das einmal tun

Das Ziegenproblem hat eine große Gnade: es lässt sich billig testen. Nimm drei Becher und eine Münze und rekrutiere einen Freund als Moderator, oder simuliere es selbst mit ein paar Zeilen Code, oder auf Papier mit einem Würfel, der das Auto platziert. Spiele dreißig Runden, in denen du immer bleibst, dann dreißig Runden, in denen du immer wechselst.

Das Ergebnis ist auf eine Weise überzeugend, wie Argumente es nicht sind. Bleiber pendeln sich darauf ein, etwa ein Drittel der Runden zu gewinnen, Wechsler etwa zwei Drittel, und nach genug Runden fühlt sich das Muster nicht mehr wie ein Paradoxon an, sondern wie die offensichtliche Konsequenz von Schritt 1 oben: deine erste blinde Wahl ist meistens falsch, und Wechseln kassiert genau das ein. Mittelwerte über viele Versuche sind außerdem der Ort, an dem Wahrscheinlichkeitsaussagen überhaupt erst ihre Bedeutung bekommen, ein Punkt, der in Statistik intuitiv verstehen vertieft wird.

So wurde die Debatte historisch auch beigelegt. Nach dem Sturm um vos Savant führten Klassenzimmer im ganzen Land das Experiment durch, und Simulationen bestätigten 2/3 auf so viele Dezimalstellen, wie man rechnen wollte. Viele der Mathematiker, die wütende Briefe geschrieben hatten, schrieben zweite, deutlich kleinlautere.

Das Zen davon

Das Ziegenproblem hat Bestand, weil es eine perfekte Miniatur davon ist, wie Wahrscheinlichkeit tatsächlich funktioniert und wie menschliche Intuition tatsächlich scheitert. Der Instinkt, den es besiegt, symmetrische Unwissenheit gegenüber zwei geschlossenen Türen, ist ein guter Instinkt. Er überlebt nur den Kontakt mit einer asymmetrischen Vorgeschichte nicht, und das Rätsel versteckt die Asymmetrie in aller Öffentlichkeit: eine Tür war durch deine Wahl geschützt, die andere wurde von jemandem ausgewählt, der die Antwort kannte.

Beachte, was die Verwirrung aufgelöst hat. Keine Formel und keine Autorität. Zählen. Drei gleich wahrscheinliche Welten, eine ehrliche Bilanz dessen, was in jeder passiert, und die Bereitschaft, der Bilanz mehr zu vertrauen als dem Gefühl. Dieser Zug, die Möglichkeiten aufzählen und dann zählen, ist der Großteil dessen, was Wahrscheinlichkeit ausmacht, und er ist erlernbar.

Wenn sich das nächste Mal zwei Optionen offensichtlich wie 50/50 anfühlen, lohnt es sich, die Frage des Ziegenproblems zu stellen: sind diese beiden Möglichkeiten auf dieselbe Weise hierher gekommen? Manchmal ja, und der Münzwurf ist echt. Und manchmal wurde eine von ihnen von einem Verfahren stehen gelassen, das etwas wusste, und die Chancen sind still und entschieden einseitig.

Die Türen erinnern sich nicht. Das Verfahren schon.