Gleichungssysteme intuitiv verstehen: Was alle Bedingungen erfüllt

Eine Gleichung liefert eine Bedingung. Wenn ein Café Kaffee zu einem Preis und Tee zu einem anderen verkauft, stellen die gesamten Tageseinnahmen eine Beziehung zwischen den beiden Mengen her. Ihre einzelnen Werte lassen sich daraus jedoch meist nicht bestimmen. Eine zweite unabhängige Angabe kann sie eindeutig festlegen.

Genau dazu dient ein Gleichungssystem. Statt zu fragen, wodurch eine Aussage wahr wird, fragst du, wodurch mehrere Aussagen gleichzeitig wahr werden. Das Wort „System“ klingt technisch, doch die Grundidee ist vertraut: Finde die Werte, die zu jedem Hinweis passen.

Eine Lösung muss jede Gleichung erfüllen

Betrachte dieses Gleichungssystem:

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

Das Wertepaar $x = 4$ und $y = 3$ funktioniert, weil es beide Gleichungen erfüllt. In der ersten gilt $2(4) + 3 = 11$. In der zweiten gilt $4 - 3 = 1$.

Das Wertepaar $x = 5$ und $y = 1$ erfüllt die erste Gleichung, aber nicht die zweite. Es ist daher keine Lösung des Systems. In einem Gleichungssystem gilt „und“, nicht „oder“: Die erste und die zweite Gleichung müssen stimmen.

Hier gilt dieselbe Bedeutung von Gleichheit, die wir in unserem Algebra-Leitfaden erklären, nun auf mehrere Bedingungen angewendet. Die Variablen wechseln zwischen den Zeilen nicht ihre Bedeutung. Überall müssen dasselbe $x$ und dasselbe $y$ funktionieren.

Der Graph zeigt, wonach die Algebra sucht

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die Gleichung $2x + y = 11$ beschreibt eine Gerade und $x - y = 1$ eine andere. Ein Punkt auf der ersten Geraden erfüllt die erste Gleichung. Ein Punkt auf der zweiten erfüllt die zweite.

Die Lösung des Systems muss auf beiden Geraden liegen. Sie ist also deren Schnittpunkt.

Dieses Bild erklärt, warum zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen drei mögliche Ergebnisse haben:

• Zwei Geraden schneiden sich einmal und ergeben genau eine Lösung.
• Verschiedene parallele Geraden schneiden sich nie und ergeben keine Lösung.
• Zwei Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade und ergeben unendlich viele Lösungen.

Eine grafische Darstellung eignet sich hervorragend, um den vorliegenden Fall zu erkennen und eine Lösung zu schätzen. Bei exakten Brüchen oder Schnittpunkten zwischen Rasterlinien ist sie weniger zuverlässig. Algebraische Verfahren bestimmen denselben Schnittpunkt, ohne von der Genauigkeit der Zeichnung abzuhängen.

Der Zusammenhang funktioniert auch umgekehrt. Wenn das Einsetzungs- oder Additionsverfahren ein unerwartetes Ergebnis liefert, stell dir die Geraden vor. Ein Widerspruch bedeutet, dass sie parallel sind. Eine Identität bedeutet, dass sie übereinanderliegen.

Einsetzen heißt, Gleiches durch Gleiches zu ersetzen

Das Einsetzungsverfahren eignet sich am besten, wenn eine Gleichung bereits angibt, was eine Variable ist. Forme die zweite Gleichung von oben so um:

$$y = x - 1$$

Setze nun in der ersten Gleichung überall $x - 1$ für $y$ ein:

$$2x + (x - 1) = 11$$

Jetzt bleibt nur noch eine Unbekannte:

$$3x - 1 = 11$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Kehre zu $y = x - 1$ zurück. Daraus folgt $y = 3$. Die Lösung ist $(4, 3)$.

Dabei ist nichts Rätselhaftes geschehen. Die Gleichung $y = x - 1$ besagt, dass $y$ und $x - 1$ dieselbe Größe sind. Ersetzt man das eine durch das andere, bleibt die erste Gleichung wahr. Das Einsetzen verwandelt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten in eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Wähle das Einsetzungsverfahren, wenn eine Variable bereits isoliert ist oder sich in einem einfachen Schritt isolieren lässt. Wenn das Auflösen nach einer Variablen sofort umständliche Brüche erzeugt, ist das Additionsverfahren möglicherweise kürzer.

Das Additionsverfahren verbindet die Hinweise

Kehre zum ursprünglichen Gleichungssystem zurück:

$$2x + y = 11$$ $$x - y = 1$$

Addiere die Gleichungen. Dabei heben sich $y$ und $-y$ auf:

$$3x = 12$$

Somit ist $x = 4$. Das Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen ergibt $y = 3$.

Das Additionsverfahren funktioniert, weil gleiche Größen zu gleichen Größen addiert werden. Die linken Seiten dürfen addiert werden, weil zugleich auch die rechten Seiten addiert werden. Jedes Wertepaar, das beide ursprünglichen Gleichungen erfüllt, muss auch die kombinierte Gleichung erfüllen.

Manchmal heben sich die Koeffizienten nicht sofort auf. Betrachte etwa dieses System:

$$3x + 2y = 16$$ $$x + y = 6$$

Multipliziere die zweite Gleichung mit $-2$:

$$-2x - 2y = -12$$

Addiere sie zur ersten Gleichung und du erhältst $x = 4$. Dann gilt $4 + y = 6$ und somit $y = 2$. Die Multiplikation der gesamten Gleichung mit einer Zahl ungleich null verändert ihre Lösungen nicht. Sie stellt dieselbe Gerade lediglich in einem anderen Maßstab dar.

Das Additionsverfahren ist meist effizient, wenn die Gleichungen bereits in Standardform vorliegen und ein Koeffizientenpaar gleich ist, sich nur im Vorzeichen unterscheidet oder ein kleines gemeinsames Vielfaches besitzt.

Eine Textaufgabe aus zwei Hinweisen

Angenommen, eine Schülergruppe verkauft 30 Eintrittskarten. Karten für Schüler kosten 4 Dollar, Karten für Erwachsene 7 Dollar und die Gruppe nimmt insgesamt 156 Dollar ein. Dabei sei $s$ die Anzahl der Schülerkarten und $a$ die Anzahl der Erwachsenenkarten.

Aus der Anzahl der Karten folgt:

$$s + a = 30$$

Aus den Einnahmen folgt:

$$4s + 7a = 156$$

Multipliziere die erste Gleichung mit $-4$ und addiere:

$$-4s - 4a = -120$$ $$3a = 36$$

Daher gilt $a = 12$ und $s = 18$. Prüfe beide Angaben: Es sind 30 Karten und $4(18) + 7(12) = 72 + 84 = 156$.

Der schwierigste Teil war nicht das Additionsverfahren. Die eigentliche Herausforderung bestand darin, zu erkennen, dass eine Gleichung die Anzahl und die andere die Einnahmen beschreibt. In den meisten Anwendungen liefert jeder Satz eine andere Bedingung. Definiere die Variablen samt Einheiten, übertrage jede Bedingung einzeln in eine Gleichung und löse dann das System.

Keine und unendlich viele Lösungen sind sinnvolle Ergebnisse

Betrachte:

$$x + y = 4$$ $$2x + 2y = 10$$

Verdoppelt man die erste Gleichung, erhält man $2x + 2y = 8$. Die zweite verlangt jedoch, dass derselbe Ausdruck gleich 10 ist. Das Additionsverfahren führt zu $0 = 2$, also zu einem Widerspruch. Kein Wertepaar kann beide Gleichungen erfüllen. Im Graphen haben die Geraden dieselbe Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte. Sie sind daher parallel.

Ändere nun die zweite Gleichung zu:

$$2x + 2y = 8$$

Sie ist genau das Doppelte der ersten. Das Additionsverfahren ergibt $0 = 0$. Diese Aussage ist immer wahr, bestimmt jedoch kein einzelnes Wertepaar. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade, sodass jeder Punkt auf dieser Geraden eine Lösung ist.

Betrachte diese Ergebnisse nicht als gescheiterte Rechnungen. Sie sagen etwas über die gegebenen Informationen aus. Ein Widerspruch bedeutet, dass die Bedingungen unvereinbar sind. Eine Identität bedeutet, dass ein Hinweis den anderen wiederholt und keine neue Information liefert.

Wähle das Verfahren nach der Form der Gleichungen

Grafische Darstellung, Einsetzungs- und Additionsverfahren lösen dasselbe Problem. Welche Wahl am effizientesten ist, hängt von der Form der Gleichungen ab.

Nutze die grafische Darstellung, wenn das Bild oder ein ungefährer Schnittpunkt wichtig ist. Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Variable isoliert ist oder den Koeffizienten 1 beziehungsweise -1 hat. Nutze das Additionsverfahren, wenn die Koeffizienten bereits übereinstimmen oder sich durch eine einfache Multiplikation passend machen lassen.

Ein Taschenrechner kann zwei Gleichungen zeichnen und ihren Schnittpunkt anzeigen, doch die Algebra bleibt wichtig. Das gewählte Grafikfenster kann einen Schnittpunkt verbergen, fast parallele Geraden parallel erscheinen lassen oder eine Dezimalzahl anzeigen, obwohl es in der Aufgabe gerade auf den exakten Bruch ankommt. Nutze den Graphen als Modell und zur Kontrolle, nicht als Ersatz für das Verständnis dessen, was als Lösung zählt.

Bei größeren Systemen entwickelt sich das Additionsverfahren zur Zeilenreduktion und zu Matrixverfahren weiter. Unser Matrizen-Leitfaden erklärt den größeren Zusammenhang. Schon das vertraute Verfahren mit zwei Gleichungen enthält die Kernidee: Bedingungen werden kombiniert, ohne ihre gemeinsamen Lösungen zu verändern.

Prüfe das Wertepaar im ursprünglichen System

Der sicherste letzte Schritt ist das Einsetzen in jede ursprüngliche Gleichung. Prüfe nicht nur die von dir erzeugte reduzierte Gleichung, denn sie enthält weniger Informationen als das vollständige System.

Für $(4, 3)$ im Einstiegsbeispiel gilt:

$$2(4) + 3 = 11$$ $$4 - 3 = 1$$

Beide Aussagen sind wahr, damit ist das Wertepaar bestätigt. Frage außerdem, ob die Antwort zum Sachzusammenhang passt. Eine negative Kartenanzahl kann eine fehlerhaft aufgestellte Gleichung erfüllen, aber nicht das reale Problem.

Häufige Fehler entstehen bei der Ausführung: Man multipliziert nur einen Term einer Gleichung, vertauscht beim Addieren von Zeilen ein Vorzeichen, setzt in den falschen Ausdruck ein oder hört nach dem Bestimmen einer Variablen auf. Führe jede Operation über die gesamte Gleichung aus und richte die Spalten sauber aus. So vermeidest du die meisten dieser Fehler.

Übe, den passenden Schritt zu erkennen

Sicherheit entsteht durch die Wahl des passenden Verfahrens, nicht dadurch, dass du ein Verfahren zwanzigmal hintereinander wiederholst. Mische Systeme, die sich für das Einsetzungsverfahren eignen, mit solchen, die das Additionsverfahren begünstigen. Nimm auch Fälle ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen auf, damit $0 = 5$ und $0 = 0$ zu hilfreichen Informationen statt zu Überraschungen werden.

Der Algebra-Themenbereich von Math Zen enthält eine Übungseinheit zu linearen Gleichungssystemen für gezieltes Training. Behalte bei jedem Rechenschritt seine Bedeutung im Blick: Jede Gleichung ist eine Bedingung und die Lösung muss sie alle erfüllen.

Ein Gleichungssystem besteht nicht aus zwei zusammenhanglosen Aufgaben, die bloß untereinanderstehen. Es ist eine einzige Suche, die durch mehrere Hinweise eingeschränkt wird. Im Graphen heißt die Antwort Schnittpunkt. Beim Einsetzen entsteht sie durch Ersetzen. Beim Additionsverfahren ist sie das, was übrig bleibt, nachdem eine Variable weggefallen ist. Alle drei sind verschiedene Sichtweisen auf dieselbe Frage: Welche Werte erfüllen alle Bedingungen gleichzeitig?