Steigung intuitiv verstehen: Steigungsdreieck, Steigungsformel und y = mx + b

Ein Schild an einer Bergstraße zeigt 8 % Steigung. Die Zahl beschreibt die Straße, die vor dir liegt: Auf je 100 Meter waagrechter Entfernung steigt oder fällt die Straße um 8 Meter, je nachdem, in welche Richtung du fährst. Verkürzt du die Entfernung auf einen einzigen Meter, beträgt die Änderung 0,08 Meter.

Diese 0,08 ist eine Steigung. Sie misst, wie stark sich eine Größe (die Höhe) ändert, wenn eine andere Größe (die waagrechte Entfernung) um eine Einheit zunimmt. Im Koordinatensystem heißen die Größen $y$ und $x$, und die Frage bleibt dieselbe: Wenn $x$ einen Schritt nach rechts geht, wie weit bewegt sich $y$, und in welche Richtung?

Das Steigungsdreieck, die Steigungsformel, $y = mx + b$ und die Punkt-Steigungs-Form sind vier Arten, dieselbe Antwort aufzuschreiben.

Steigung ist eine Änderungsrate, keine Form

Steigung wirkt wie eine Neigung, ist aber eine Zahl, und diese Zahl ist eine Änderungsrate.

Die klassische Definition ist Δy durch Δx, abgelesen am Steigungsdreieck. Zwischen zwei Punkten einer Geraden ist Δy der Höhenunterschied, also die senkrechte Änderung (in $y$), und Δx die waagrechte Änderung (in $x$):

$$\text{Steigung} = \frac{\text{senkrechte Änderung}}{\text{waagrechte Änderung}}$$

Die Division durch Δx macht aus einer reinen Änderung eine Änderung pro Schritt: Ein Δy von 6 bei einem Δx von 3 ergibt dieselbe Steigung wie 2 durch 1, denn beides bedeutet, dass $y$ pro Einheit in $x$ um 2 steigt. Schulbücher nennen diese Zahl $m$.

Da die Steigung eine Größe durch eine andere teilt, hat sie eine Einheit: Euro pro Gigabyte bei einer Handyrechnung, Meter pro Sekunde (eine Geschwindigkeit) bei Weg durch Zeit. Ein „pro“ in einer Textaufgabe deutet meist auf eine Steigung hin.

Das Vorzeichen der Steigung gibt die Richtung an: Bei positiver Steigung steigt die Gerade an, wenn du von links nach rechts liest, bei negativer Steigung fällt sie. Die Straße mit 8 % Steigung hat bergauf die Steigung 0,08 und bergab $-0.08$. Der Betrag gibt die Steilheit an: Eine Steigung von 5 ist steiler als eine Steigung von 2, und $-5$ ist steiler als $-2$, obwohl $-5$ die kleinere Zahl ist.

Das Bild kann täuschen. Streckst du die y-Achse, wirkt jede schräge Gerade steiler, doch keine Steigung ändert sich dabei, denn die Steigung wird in den Einheiten der Achsen gemessen, nicht als Winkel auf dem Papier.

Die Steigung aus zwei Punkten berechnen

Wie du die Steigung berechnest, hängt davon ab, was gegeben ist. Bei zwei Punkten subtrahierst du die y-Koordinaten für Δy und die x-Koordinaten für Δx. Das ist die Steigungsformel:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Nimm $(2, 3)$ und $(6, 11)$ als Punkt 1 und Punkt 2:

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Deute das Ergebnis als Änderungsrate. Von $x = 2$ bis $x = 6$ sind es vier Schritte, und bei 2 pro Schritt sollte $y$ um 8 steigen, von 3 auf 11. Genau das passiert.

Die Zuordnung der Punkte kannst du frei wählen. Nennst du stattdessen $(6, 11)$ Punkt 1, kehren sich beide Subtraktionen um:

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

Δy und Δx wechseln beide das Vorzeichen, also bleibt das Ergebnis gleich. Vertauschst du die Reihenfolge nur an einer Stelle, geht es schief: $11 - 3$ durch $2 - 6$ ergibt $\frac{8}{-4} = -2$, eine Gerade, die in die falsche Richtung geneigt ist. Der Punkt, der im Zähler vorne steht, muss auch im Nenner vorne stehen.

Negative Steigungen entstehen aus derselben Formel. Für $(1, 7)$ und $(4, 1)$:

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

Bei jedem Schritt nach rechts fällt $y$ um 2, in drei Schritten also von 7 auf 1.

Die Steigung einer Geraden ist zwischen je zwei ihrer Punkte gleich: $(4, 7)$ liegt ebenfalls auf der ersten Geraden, und zusammen mit $(2, 3)$ ergibt sich wieder $\frac{4}{2} = 2$. Diese konstante Änderungsrate ist es, die eine Gerade gerade macht.

Die Steigung am Graphen ablesen

Am Graphen zählst du, statt zu subtrahieren. Wähle zwei Gitterpunkte (Stellen, an denen die Gerade genau durch einen Kreuzungspunkt der Gitterlinien geht) und zähle vom linken zum rechten Punkt: Einheiten nach oben oder unten für Δy, Einheiten nach rechts für Δx. Gehst du von links nach rechts, bleibt Δx positiv, also entscheidet allein Δy über das Vorzeichen.

Jede Gerade gehört zu einem von vier Fällen:

Gerade im Graphen	Beispiel	Δy durch Δx	Steigung
Steigt von links nach rechts	$y = 2x + 1$	positiv durch positiv	positiv
Fällt von links nach rechts	$y = -3x + 4$	negativ durch positiv	negativ
Waagrecht	$y = 5$	0 durch beliebiges Δx	0
Senkrecht	$x = 5$	beliebiges Δy durch 0	nicht definiert

Die letzten beiden Zeilen werden leicht verwechselt, weil in beiden eine Null vorkommt. Auf einer waagrechten Geraden $y = c$ hat jeder Punkt denselben y-Wert, also ist Δy = 0, und 0 geteilt durch ein Δx ungleich null ergibt 0. Die Gerade hat eine Steigung, und diese Steigung ist null.

Auf einer senkrechten Geraden $x = c$ hat jeder Punkt denselben x-Wert, also ist Δx = 0, und eine Division durch null ist nicht definiert. Als Änderungsrate betrachtet macht die Gerade nie einen Schritt in $x$, sodass „Änderung von $y$ pro Schritt in $x$“ keine Antwort hat. Heißt es, eine senkrechte Gerade habe „keine Steigung“, ist „nicht definiert“ gemeint, nicht null.

Normalform: y = mx + b

Die Normalform zeigt die zwei wichtigsten Zahlen einer Geraden auf einen Blick:

$$y = mx + b$$

Dabei ist $m$ die Steigung, und $b$ ist der Wert von $y$ bei $x = 0$, also dort, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Dieser Wert heißt y-Achsenabschnitt (in manchen Bundesländern schreibt man y = mx + n oder y = mx + t), und in Anwendungsaufgaben ist er meist ein Startwert.

Angenommen, ein Handytarif kostet 15 € im Monat plus 2 € pro Gigabyte Datenvolumen. Bei $x$ Gigabyte und einer Rechnung von $y$ Euro:

$$y = 2x + 15$$

Nutzt du kein Datenvolumen, zahlst du 15 €, den y-Achsenabschnitt. Jedes Gigabyte kostet 2 € mehr, das ist die Steigung, also kosten 5 Gigabyte $2(5) + 15 = 25$ Euro. Um die Gerade zu zeichnen, trage $(0, 15)$ ein und gehe dann immer wieder 1 nach rechts und 2 nach oben.

Gleichungen liegen oft in der allgemeinen Form $Ax + By = C$ vor, in der die Steigung versteckt ist. Löst du nach $y$ auf, wird sie sichtbar:

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

Die Steigung ist also $-\frac{A}{B}$, sofern $B \neq 0$ ist. Für $3x + 4y = 12$ subtrahierst du auf beiden Seiten $3x$ und teilst durch 4: $y = -\frac{3}{4}x + 3$. Die Steigung ist $-\frac{3}{4}$ und der y-Achsenabschnitt ist 3.

Die Achsenabschnitte bestätigen das: Die Gerade verläuft durch $(0, 3)$ und $(4, 0)$, und $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$. Für $B = 0$ lautet die Gleichung $Ax = C$, eine senkrechte Gerade, und genau dort würde $-\frac{A}{B}$ durch null teilen.

Punkt-Steigungs-Form: von einem bekannten Punkt ausgehen

Oft kennst du die Steigung und einen Punkt, aber nicht den y-Achsenabschnitt. Die Punkt-Steigungs-Form nutzt genau diese Angaben:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

In Worten: Ausgehend vom bekannten Punkt $(x_1, y_1)$ ändert sich $y$ um $m$ bei jedem Schritt in $x$. Es ist die umgestellte Steigungsformel: Für jeden anderen Punkt $(x, y)$ auf der Geraden gilt $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$, und multipliziert man beide Seiten mit $x - x_1$, erhält man die Punkt-Steigungs-Form.

Bestimme die Gerade mit der Steigung 3 durch $(2, 5)$:

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

Das ist bereits eine korrekte Antwort. Um sie in die Normalform umzuwandeln, multipliziere aus und addiere dann auf beiden Seiten 5:

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

Probe mit dem bekannten Punkt: $3(2) - 1 = 5$.

Eine Gerade durch zwei Punkte braucht einen Schritt mehr. Für $(2, 3)$ und $(6, 11)$ ist die Steigung 2, wie oben berechnet, also $y - 3 = 2(x - 2)$, vereinfacht $y = 2x - 1$. Der andere Punkt bestätigt es: $2(6) - 1 = 11$.

Wähle die Form, die zu deinen Angaben passt. Die Normalform eignet sich zum Zeichnen und für jede Aufgabe mit einem Startwert, wie beim Handytarif. Die Punkt-Steigungs-Form ist am schnellsten bei einem Punkt und einer Steigung oder bei zwei Punkten. Die allgemeine Form kommt mit ganzzahligen Koeffizienten aus, liefert beide Achsenabschnitte schnell und bereitet Gleichungen für das Additionsverfahren vor.

Parallele und orthogonale Geraden

Zwei Geraden mit derselben Steigung steigen gleich schnell, also ändert sich der Abstand in y-Richtung zwischen ihnen nie. Unterscheiden sich ihre y-Achsenabschnitte, sind sie parallel und schneiden sich nie: $y = 2x + 1$ und $y = 2x - 4$ haben dasselbe $m$ und verschiedene $b$.

Für orthogonale Geraden, also Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, gilt eine weniger offensichtliche Regel. Ist keine der beiden parallel zur y-Achse, sind ihre Steigungen negative Kehrwerte voneinander: Kehrwert bilden und Vorzeichen wechseln. Gleichbedeutend damit: Das Produkt der beiden Steigungen ist $-1$. Zur Steigung 2 gehört $-\frac{1}{2}$, und zu $-\frac{3}{4}$ gehört $\frac{4}{3}$.

Die Regel ergibt sich aus der Drehung eines Schritts. Ein Schritt entlang einer Geraden mit der Steigung 2 bedeutet Δx = 1 und Δy = 2. Drehst du diesen Schritt um 90° gegen den Uhrzeigersinn, tauschen die beiden Zahlen die Plätze, und eine wechselt das Vorzeichen: Δx wird $-2$, Δy wird 1. Die neue Steigung ist $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Die Gerade, die orthogonal zu $y = 2x - 1$ durch $(4, 1)$ verläuft, hat also die Steigung $-\frac{1}{2}$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$ bzw. $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Die Ausnahme für senkrechte Geraden ist echt: Eine waagrechte und eine senkrechte Gerade sind orthogonal, doch die senkrechte hat keine Steigung, mit der man multiplizieren könnte. Das OpenStax-Kapitel zu linearen Funktionen rechnet weitere Beispiele zu parallelen und orthogonalen Geraden durch und übt das Aufstellen von Geradengleichungen.

Wohin die Steigung als Nächstes führt

Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, eine Kurve nicht. Δy durch Δx zwischen zwei Punkten einer Kurve funktioniert trotzdem und liefert die mittlere Änderungsrate: die Steigung der Sekante durch beide Punkte. Für $f(x) = x^2$ zwischen $x = 1$ und $x = 3$:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Verschiebst du den zweiten Punkt in Richtung $x = 1$, ändert sich die mittlere Änderungsrate: 3 auf dem Intervall von 1 bis 2, 2,5 von 1 bis 1,5, 2,1 von 1 bis 1,1. Die Werte nähern sich 2, der Steigung der Tangente an der Stelle $x = 1$. Dieser Grenzwert ist die Ableitung, und unser Leitfaden zu Ableitungen baut die Analysis aus diesem Bild auf.

Näher an der Algebra ist es eine konstante Steigung, die eine lineare Funktion linear macht, wie unser Leitfaden zu Funktionen neben den anderen gängigen Funktionstypen zeigt. Und da jede lineare Gleichung mit zwei Variablen eine Gerade beschreibt, sagen Steigungen voraus, wie sich ein Gleichungssystem verhält: Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich genau einmal, Geraden mit gleicher Steigung und unterschiedlichen y-Achsenabschnitten nie, und zwei Gleichungen für dieselbe Gerade haben alle Punkte gemeinsam.

Häufige Fehler bei der Steigung

• Δx durch Δy. Teilst du die waagrechte Änderung durch die senkrechte, erhältst du den Kehrwert, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ statt 2 für das erste Punktepaar. Da sich $y$ um 8 geändert hat, während sich $x$ um 4 geändert hat, musste die Steigung größer als 1 sein.
• Vertauschte Reihenfolge der Punkte. Beginnst du die Subtraktion im Zähler und im Nenner mit verschiedenen Punkten, kehrt sich das Vorzeichen um. Benenne die Punkte zuerst.
• Verlorene Vorzeichen bei negativen Koordinaten. Für $(-3, -4)$ und $(1, 4)$ beträgt Δy $4 - (-4) = 8$, nicht 0, und Δx beträgt $1 - (-3) = 4$, also ist die Steigung 2. Setze jede negative Koordinate, die du einsetzt, in Klammern.
• Einer senkrechten Geraden die Steigung null zuschreiben. Ein ebener Fußboden hat die Steigung null. Bei einer Wand ist die Steigung nicht definiert.
• Den y-Achsenabschnitt mit der Steilheit verwechseln. Die Gerade $y = 0.5x + 100$ beginnt weit oben, steigt aber langsam, während $y = 3x + 1$ weit unten beginnt und sechsmal so schnell steigt. Der y-Achsenabschnitt verschiebt eine Gerade nach oben oder unten; nur $m$ ändert ihre Steilheit.

Übe den Wechsel zwischen den Formen

Nimm dir eine Gerade vor und stelle sie in jeder Form dar: zwei Punkte, ein Graph, $y = mx + b$, die Punkt-Steigungs-Form und die allgemeine Form. Wandle so lange zwischen ihnen um, bis jede Umwandlung Routine ist, und mische waagrechte und senkrechte Geraden darunter, damit eine Null im Zähler und eine Null im Nenner für dich nicht mehr gleich aussehen.

Math Zen hat keine eigene Übung nur zur Steigung, deshalb verteilt sich das passende Training auf zwei Themen: Graphenanalyse für Achsenabschnitte und das Ablesen von Graphen und Algebra für das Lösen von Gleichungen und linearen Gleichungssystemen, bei denen die Steigungen entscheiden, ob sich zwei Geraden schneiden. Lineare Gleichungen und Steigung sind auch Stoff im SAT, im ACT und im GED; unser SAT-Mathe-Leitfaden zeigt, wo sie in dieser Prüfung vorkommen.

Jede Formel hier beantwortet die Frage des Straßenschilds: Wie stark ändert sich $y$, wenn $x$ einen Schritt macht? Fällt dir eine Formel nicht mehr ein, stell diese Frage an die Zahlen vor dir und leite die Formel neu her.