Imaginäre Zahlen intuitiv verstehen (warum i nicht imaginär ist)

Fragt man jemanden, was eine imaginäre Zahl ist, bekommt man meist eine Variante von "die Wurzel aus minus eins" zu hören, vorgetragen im Ton eines Geständnisses. Fragt man, warum die Wurzel aus minus eins überhaupt existieren soll, lautet die Antwort fast immer "die Mathematiker haben das eben so definiert", was weniger nach Mathematik klingt und mehr nach einer Regel in einem Brettspiel. Von allen Themen des Schulstoffs sind imaginäre Zahlen dasjenige, das am häufigsten als reines Dekret unterrichtet wird: Es gibt ein Symbol, es heißt i, sein Quadrat ist -1, bitte nicht fragen, was es bedeutet.

Dieser Unterricht steht genau auf dem Kopf, und dieser Artikel liefert das Bild, das dabei üblicherweise fehlt. Die imaginäre Einheit ist kein Trick und keine Formalie. Sie ist eine Richtung, in genau demselben Sinn, in dem eine negative Zahl eine Richtung ist, und sobald man sieht, welche Richtung, ordnet sich das ganze Thema neu. Die definierende Gleichung i² = -1 hört auf, eine willkürliche Regel zu sein, und wird zu etwas, das man mit den eigenen Händen prüfen kann, indem man sich zweimal umdreht.

Der schlechteste Name der Mathematik

Beginnen wir mit dem Namen, denn der Name richtet echten Schaden an. "Imaginär" wurde als Spott geprägt. René Descartes benutzte das Wort 1637, um diese Zahlen als Fiktionen abzutun, die man beim Lösen von Gleichungen zwar hinschreiben musste, die aber unmöglich etwas bedeuten konnten. Der Spott blieb hängen, die Zahlen erwiesen sich als unverzichtbar, und heute begegnet jeder Schüler einem der nützlichsten Objekte der Mathematik mit einem Etikett, auf dem steht, es sei nicht echt.

Hier ist die historische Tatsache, die die Einschüchterung entschärfen sollte: Negativen Zahlen erging es genauso. Jahrhundertelang lehnten ernsthafte Mathematiker sie als absurd ab, denn man kann keine minus drei Äpfel in der Hand halten. Was die negativen Zahlen legitim machte, war nicht die Entdeckung, dass sie physisch existieren. Es war ein Bild, der Zahlenstrahl, auf dem eine negative Zahl eine ganz gewöhnliche Zahl ist, die in die andere Richtung zeigt, eine Idee, die wir im Artikel über negative Zahlen von Grund auf neu aufgebaut haben. Imaginäre Zahlen sind exakt dieselbe Geschichte, ein Kapitel später. Sie fühlen sich so lange unecht an, wie das Bild fehlt, und das Bild ist, sobald man es hat, genauso einfach: Negative Zahlen zeigen rückwärts, imaginäre Zahlen zeigen seitwärts. Carl Friedrich Gauß erkannte das Problem klar und schlug vor, sie in laterale Zahlen umzubenennen. Er hatte recht, der Name setzte sich nie durch, und "lateral" ist das Wort, das Sie für den Rest dieses Artikels im Kopf behalten sollten.

Die Frage, die keine Ruhe ließ

Imaginäre Zahlen wurden nicht zum Vergnügen erfunden. Sie erzwangen sich ihren Platz durch eine ehrliche Frage: Welche Zahl ergibt, mit sich selbst multipliziert, -1?

Auf dem Zahlenstrahl hat diese Frage keine Antwort, und es lohnt sich, genau zu sagen, warum. Quadrieren heißt, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren, also haben beide Faktoren stets dasselbe Vorzeichen. Plus mal plus ist plus. Minus mal minus ist, wie das Umkehr-Argument gezeigt hat, ebenfalls plus, weil sich zwei Drehungen aufheben. So oder so landet das Ergebnis auf der positiven Seite. Die Gleichung x² = -1 verlangt eine Zahl, die der gesamte Zahlenstrahl nicht liefern kann, weshalb die Mitternachtsformel, behandelt im Artikel über quadratische Gleichungen, höflich "keine reellen Lösungen" meldet, sobald die Diskriminante negativ wird.

Lange Zeit beließen es die Mathematiker dabei. Was ihre Meinung änderte, war keine Philosophie, sondern Arithmetik, die sich weigerte, kaputt zu bleiben. Im 16. Jahrhundert stießen italienische Mathematiker beim Lösen kubischer Gleichungen darauf, dass ihre Formeln manchmal mitten durch Wurzeln negativer Zahlen führten, auf dem Weg zu Antworten, die offensichtlich korrekt waren, gewöhnliche ganze Zahlen, die man von Hand nachprüfen konnte. Rafael Bombelli machte den entscheidenden Schritt: Er behandelte die unmöglichen Wurzeln als etwas, womit man rechnen kann, folgte den Regeln und sah zu, wie sich die imaginären Anteile aufhoben und die richtige reelle Antwort übrig blieb. Die Lehre daraus war unbequem, aber unübersehbar. Diese Zahlen leisteten echte Arbeit, ob man sagen konnte, was sie waren, oder nicht.

Mit -1 multiplizieren ist eine halbe Drehung

Um zu sehen, was i wirklich ist, beginnen Sie mit etwas, dem Sie bereits vertrauen. Die Multiplikation mit -1 klappt eine Zahl auf die andere Seite der Null: Aus 5 wird -5, und aus -5 wird 5. Auf dem Zahlenstrahl ist dieses Umklappen eine Drehung. Multiplizieren mit -1 dreht eine Zahl um 180 Grad um die Null, eine perfekte halbe Drehung, und genau deshalb bringt zweimaliges Multiplizieren mit -1 einen wieder nach Hause. Zwei halbe Drehungen ergeben eine ganze, also ist -1 mal -1 gleich 1. Das war das Umkehr-Bild aus dem Artikel über negative Zahlen, und es zahlt sich gleich ein zweites Mal aus.

Nun stellen Sie die zentrale Frage in der Sprache der Drehungen. Die geheimnisvolle Zahl i muss i² = -1 erfüllen, das heißt: i zweimal anzuwenden bewirkt dasselbe wie eine halbe Drehung. i ist also eine Operation, die, zweimal hintereinander ausgeführt, um 180 Grad dreht.

Sprechen Sie das laut aus, und die Antwort nennt sich von selbst. Was tut man zweimal, um rückwärts zu blicken? Man macht eine Vierteldrehung, zweimal. i ist eine Drehung um 90 Grad.

i ist eine Vierteldrehung, und sie braucht eine Ebene

Eine Vierteldrehung hat eine unmittelbare Konsequenz: Sie wirft einen von der Linie herunter. Drehen Sie die Zahl 1 um 90 Grad um die Null, und Sie landen an einem Punkt eine Einheit senkrecht über der Null, an einem Ort, den der Zahlenstrahl schlicht nicht enthält. Das ist die eigentliche Entdeckung, die in den imaginären Zahlen steckt, und es ist der Schritt, den die meisten Erklärungen überspringen. Das Problem war nie, dass √-1 unmöglich ist. Das Problem ist, dass der Zahlenstrahl zu klein ist. Zahlen müssen nicht auf einer eindimensionalen Linie leben. Sie können eine zweidimensionale Ebene füllen.

Diese Ebene heißt komplexe Ebene oder Gaußsche Zahlenebene, und sie ist nichts Exotischeres als eine Landkarte. Der vertraute Zahlenstrahl verläuft waagerecht: positive Zahlen nach rechts, negative nach links. Eine neue Achse verläuft senkrecht, und i liegt an dem Punkt eine Einheit nach oben. Die Vielfachen von i füllen den Rest der senkrechten Achse, mit 2i über i und -i unterhalb der Null. Die waagerechte Achse heißt reell und die senkrechte imaginär, aber nach allem, was oben steht, lesen Sie diese Etiketten als Ost-West und Nord-Süd. Nichts an der senkrechten Richtung ist weniger legitim als an der waagerechten. Sie ist nur jünger.

Warum i² gleich -1 sein muss

Mit der Ebene an ihrem Platz beweist sich die definierende Gleichung von selbst. Nehmen Sie die Zahl 1, die eine Einheit östlich der Null sitzt. Multiplizieren Sie mit i: eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn, und die 1 wandert an den oberen Rand des Kreises und landet auf i. Deshalb ist 1 × i = i, wie es sein soll. Multiplizieren Sie noch einmal mit i: Eine weitere Vierteldrehung trägt Sie von Norden nach Westen, eine Einheit links der Null, auf die -1.

Zwei Multiplikationen mit i haben aus 1 eine -1 gemacht. In Symbolen: i² = -1. In diesem Absatz steht nirgendwo ein Dekret. Die Gleichung, die alle auswendig lernen sollen, ist eine Aussage über Geometrie: Eine Vierteldrehung, zweimal ausgeführt, ist eine halbe Drehung. Man kann weitermachen, und das Muster lohnt einen Blick. Eine dritte Vierteldrehung bringt -1 hinunter zu -i, also ist i³ = -i. Eine vierte schließt den Kreis zurück zur 1, also ist i⁴ = 1, und die Potenzen von i wiederholen sich für immer in einem Viererzyklus, weil vier Vierteldrehungen eine volle Umdrehung sind. Was im Lehrbuch wie eine schrullige Algebra-Tatsache aussieht, ist ein Rad, das sich dreht.

Komplexe Zahlen sind nur Koordinaten

Sobald Zahlen auf einer Ebene leben, braucht eine allgemeine Zahl zwei Koordinaten, und mehr ist eine komplexe Zahl nicht. Der Ausdruck 3 + 4i ist keine unfertige Additionsaufgabe, genauso wenig wie die Koordinaten einer Stadt eine unfertige Rechnung sind. Er ist eine Adresse: 3 nach Osten, dann 4 nach Norden. Realteil und Imaginärteil sind Längengrad und Breitengrad.

Das Rechnen behält die Charaktere, die es in dieser Serie durchweg hatte. Komplexe Zahlen zu addieren ist Gehen: Um 3 + 4i und 1 - 2i zu addieren, fasst man die Ost-Anteile zusammen, fasst die Nord-Anteile zusammen und landet bei 4 + 2i. Es ist der Spaziergang auf dem Zahlenstrahl aus dem Artikel über negative Zahlen, aufgerüstet zu einer Landkarte. Die Multiplikation ist der Ort, an dem die Ebene ihren Wert beweist: Mit einer komplexen Zahl zu multiplizieren dreht und streckt in einem Zug, um den Winkel der Zahl und um ihren Abstand von der Null. Die Multiplikation mit i ist der reine Vierteldrehungs-Spezialfall dieser allgemeinen Regel, und die Multiplikation mit -1 der reine Halbdrehungs-Fall. Die Vorzeichenregeln, die Sie schon kannten, waren die ganze Zeit Drehregeln, eingeschränkt auf eine Linie, auf der die einzig möglichen Drehungen gar keine und kehrt waren.

Wo imaginäre Zahlen echte Arbeit leisten

Eine berechtigte Frage bleibt: Zugegeben, das Bild ist elegant, aber wer braucht Zahlen, die sich drehen? Die Antwort: alle, deren Probleme rotieren, schwingen oder wellen, und das ist ein erstaunlich großer Teil von Naturwissenschaft und Technik.

Wechselstrom ist der Klassiker. Spannung und Strom in der Steckdose schwingen wie rotierende Räder, samt Phasenverschiebungen, und Elektroingenieure beschreiben sie mit komplexen Zahlen, weil die Multiplikation mit einer komplexen Zahl genau ein Drehen-und-Strecken ist, also genau das, was Schaltkreise mit Signalen tun. Die Signalverarbeitung reicht noch tiefer: Die Fourier-Transformation, der mathematische Motor in Musikkompression, medizinischer Bildgebung und Mobilfunk, zerlegt Signale in rotierende Komponenten, die als komplexe Zahlen geschrieben werden. Die Quantenmechanik geht am weitesten von allen, mit einem i, das unentfernbar in der Schrödinger-Gleichung sitzt. Und die Brücke zwischen Wachstum und Drehung, die Formel, die diese ganze Buchführung mühelos machte, ist das Thema unseres Artikels über die Eulersche Identität, in dem die Exponentialfunktion eine imaginäre Eingabe erhält und, statt zu wachsen, im Kreis wandert. Nichts von dieser Maschinerie funktioniert ohne die seitliche Richtung. "Imaginäre" Zahlen sind tragende Wände.

Woher die Fehler wirklich kommen

Die Fehler, die Menschen mit i machen, häufen sich an drei Stellen, und alle drei lösen sich unter dem Drehungsbild auf.

Der erste ist, i wie eine Variable zu behandeln, wie ein unbekanntes x, das alles Mögliche sein könnte. i ist nicht unbekannt. Es ist ein bestimmter Punkt auf der Ebene und eine bestimmte Drehung, so konkret wie -1. Wenn Sie einen Ausdruck wie i mal i mal i vereinfachen, hantieren Sie nicht mit einem Rätsel. Sie zählen Vierteldrehungen: Drei davon lassen Sie nach Süden blicken, auf -i.

Der zweite ist die falsch angewendete Wurzelregel. Schüler lernen, dass die Wurzel eines Produkts das Produkt der Wurzeln ist, und schreiben dann √-1 × √-1 = √1 = 1, was i² = -1 widerspricht und die Mathematik zu sprengen scheint. Die Auflösung: Diese Regel wurde für nichtnegative Zahlen bewiesen und überlebt den Umzug auf die Ebene schlicht nicht. Der verlässliche Zug ist, zuerst in i umzuwandeln und dann Drehungen zu zählen. Die Regel hat nicht auf mysteriöse Weise versagt; sie wurde außerhalb ihrer Garantie benutzt.

Der dritte Fehler ist der älteste: dem Namen zu glauben. Schüler halten imaginäre Zahlen auf Armlänge, lernen auswendig statt zu verstehen, weil das Etikett darauf beharrt, diese Zahlen seien eine Fiktion. Lateral, nicht imaginär. Seitwärts, nicht unecht. Das Vokabular ist der schwerste Teil des Themas, und es ist keine Mathematik.

Wo Math Zen ins Bild passt

Imaginäre Zahlen sitzen an der Spitze eines Turms, und jedes Wackeln im Turm zeigt sich hier. Das Rechnen mit a + bi stützt sich auf das Vorzeichenrechnen aus der Etage der negativen Zahlen, auf das Zusammenfassen gleichartiger Terme aus der Algebra und auf die Diskriminante der Mitternachtsformel, wo die meisten Schüler zum ersten Mal eine Wurzel negativ werden sehen. Die Bucket-Progression von Math Zen ist darauf angelegt, diese unteren Etagen stabil zu halten: Frühe Buckets trainieren Vorzeichenzahlen und das Zählen von Umkehrungen, bis sie reflexartig sitzen, mittlere Buckets setzen algebraische Umformungen und quadratische Gleichungen unter Zeitdruck, und spätere Buckets mischen Aufgabentypen, damit ein Vorzeichen, das drei Schritte tief in einer Rechnung vergraben ist, trotzdem richtig herauskommt.

Diese Art von Geläufigkeit ist es, die den Sprung zu i klein statt furchteinflößend wirken lässt, denn der Sprung ist tatsächlich klein: ein neues Bild, dann Arithmetik, die Ihnen bereits gehört. Kurze tägliche Einheiten, im Stil von Lernen mit verteilter Wiederholung, halten die unteren Etagen instand, während die neue Etage oben aufgesetzt wird.

Das Fazit

Eine imaginäre Zahl ist eine reelle Zahl, die in eine neue Richtung zeigt, im rechten Winkel zum Zahlenstrahl, und i ist die Vierteldrehung, die sie dorthin dreht. Die Gleichung i² = -1 ist keine von Autoritäten verordnete Definition. Sie ist die Beobachtung, dass zwei Vierteldrehungen eine halbe Drehung ergeben, und eine halbe Drehung ist die Multiplikation mit -1. Komplexe Zahlen sind Koordinaten auf der Ebene, die das erschließt, Addieren ist Gehen, Multiplizieren ist Drehen und Strecken, und der ganze Apparat betreibt die Elektro-, Signalverarbeitungs- und Quantenmaschinerie der modernen Welt.

Das einzig wirklich Bedauerliche an imaginären Zahlen ist der Name, eine Abfuhr aus dem 17. Jahrhundert, die die Skepsis ihres Urhebers um vier Jahrhunderte überlebt hat. Wenn das Thema aufkommt, übersetzen Sie im Stillen: laterale Zahlen, seitliche Zahlen, die Zahlen, die von der Linie herunterkamen. Dann beantwortet sich die Frage "wie kann die Wurzel aus minus eins existieren" von selbst, so wie sie sich für Gauß beantwortete. Sie existiert eine Einheit nördlich der Null, eine Vierteldrehung von dort, wo Sie ohnehin schon standen.