Betragsgleichungen: Löse sie, indem du in Abständen denkst

Die beiden Striche in $|x|$ sehen oft wie eine weitere Anweisung aus, die du auswendig lernen sollst. Lies sie stattdessen als Frage: Wie weit ist diese Zahl von null entfernt?

Fünf ist fünf Schritte von null entfernt. Minus fünf ist ebenfalls fünf Schritte von null entfernt, nur in der anderen Richtung. Deshalb gilt $|5| = 5$ und $|-5| = 5$. Der Betrag behält den Abstand bei und lässt die Richtung weg.

Sobald dieses Bild klar ist, wird das Lösen einer Betragsgleichung zur Suche nach Positionen mit einem bestimmten Abstand. Die vertrauten zwei Fälle ergeben sich aus dem Zahlenstrahl. Sie sind kein Trick, der nachträglich zur Algebra hinzugefügt wurde.

Ein Abstand kann null sein, aber nicht negativ

Der Betrag liefert ein nichtnegatives Ergebnis. „Nichtnegativ“ ist wichtig: Null ist erlaubt, daher ist die Aussage, der Betrag mache eine Zahl immer positiv, nicht ganz richtig.

Für eine reelle Zahl $x$ lautet die Definition:

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

Die zweite Zeile besagt nicht, dass das Ergebnis negativ ist. Wenn $x = -7$, dann ist $-x = -(-7) = 7$. Das Minuszeichen kehrt die Richtung einer bereits negativen Zahl um. Unser Leitfaden zu negativen Zahlen erklärt diese Umkehrung genauer.

Berechne zuerst den Ausdruck innerhalb der Betragsstriche und wende dann den Betrag an:

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

Im Allgemeinen kannst du die Betragsstriche nicht über eine Subtraktion verteilen. Hier ist $|3| - |8| = -5$, und das ist etwas anderes. Die Striche umschließen einen vollständigen Ausdruck, und dessen Wert wird zum Abstand.

Warum zwei Antworten entstehen

Betrachte:

$$|x| = 6$$

Welche Punkte sind sechs Einheiten von null entfernt? Es gibt zwei: $x = 6$ und $x = -6$. Beide erfüllen die Gleichung, und keine Lösung ist richtiger als die andere.

Verschiebe nun den Bezugspunkt:

$$|x - 4| = 6$$

Der Ausdruck $x - 4$ misst die vorzeichenbehaftete Differenz zwischen $x$ und 4. Sein Betrag gibt den Abstand zwischen diesen beiden Punkten an. Starte bei 4 und gehe sechs Einheiten nach rechts oder sechs Einheiten nach links:

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{oder} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Prüfe beide direkt: $|10 - 4| = 6$ und $|-2 - 4| = 6$.

Der Bezugspunkt muss nicht positiv sein. Schreibe das Innere von $|x + 3| = 2$ gedanklich als $x - (-3)$. Der Mittelpunkt ist -3, also lauten die Lösungen -1 und -5.

Isoliere die Betragsstriche vor der Fallunterscheidung

Die Grundregel für eine positive Konstante $c$ lautet:

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{oder}\; A = -c$$

Dabei steht $A$ für den gesamten Ausdruck innerhalb der Betragsstriche. Bevor du die Regel anwendest, isoliere diesen Betrag mit denselben Operationen, die das Gleichgewicht auch in der gewöhnlichen Algebra erhalten.

Löse dieses Beispiel:

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Ziehe 4 ab:

$$3|2x - 1| = 21$$

Teile durch 3:

$$|2x - 1| = 7$$

Teile nun in zwei Gleichungen auf:

$$2x - 1 = 7 \quad \text{oder} \quad 2x - 1 = -7$$

Aus der ersten folgt $2x = 8$, also $x = 4$. Aus der zweiten folgt $2x = -6$, also $x = -3$.

Die Probe in der ursprünglichen Gleichung ergibt $3|8 - 1| + 4 = 25$ und $3|-6 - 1| + 4 = 25$. Beide funktionieren.

Teile die ursprüngliche Gleichung nicht auf, indem du einfach 25 durch -25 ersetzt. Die Betragsregel ändert das Vorzeichen des isolierten Abstands, nicht das Vorzeichen jedes Terms in der Aufgabe. Auch Paul's Online Math Notes betont bei der Behandlung dieser Gleichungen das Isolieren und die Probe.

Prüfe auf Unlösbarkeit, bevor du weiterrechnest

Angenommen, die Gleichung lautet:

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

Nach dem Abziehen von 5 und der Division durch 2 erhältst du:

$$|x + 1| = -2$$

Hör hier auf. Keine reelle Zahl hat einen Abstand von minus zwei. Eine Aufteilung in $x + 1 = -2$ und $x + 1 = 2$ würde Antworten auf eine andere Frage erzeugen.

Null ist ein eigener Fall:

$$|3x - 9| = 0$$

Das Innere muss null sein, also gilt $3x - 9 = 0$ und $x = 3$. Wenn du positive und negative null aufschreibst, erhältst du dieselbe Antwort zweimal.

Bei einem isolierten Betrag eines nichtkonstanten linearen Ausdrucks liefert eine positive Konstante zwei Lösungen, null eine und eine negative Konstante keine. Übertrage diese Abkürzung nicht auf jede mögliche Betragsgleichung: Das Innere könnte quadratisch sein, oder die rechte Seite könnte eine Variable enthalten.

Eine Variable auf der rechten Seite erfordert eine Vorzeichenprüfung

Löse nun:

$$|x - 2| = 2x + 1$$

Die linke Seite kann nicht negativ sein, also muss eine Lösung $2x + 1 \geq 0$ beziehungsweise $x \geq -\frac{1}{2}$ erfüllen.

Verwende die beiden möglichen Gleichungen:

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{oder} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

Die erste ergibt $x = -3$. Dieser Wert verletzt die Vorzeichenbedingung. Die Probe in der ursprünglichen Gleichung macht das Problem sichtbar: Links steht 5, rechts dagegen -5.

Die zweite ergibt $3x = 1$, also $x = \frac{1}{3}$. Einsetzen ergibt auf beiden Seiten $\frac{5}{3}$. Das ist die einzige Lösung.

Die Probe ist besonders nützlich, wenn eine Operation mögliche Lösungen erzeugen kann, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Auch das Quadrieren beider Seiten kann das bewirken: Es beseitigt den Unterschied zwischen einer positiven und einer negativen rechten Seite.

Zwei Beträge vergleichen zwei Abstände

Eine Gleichung mit Betragsstrichen auf beiden Seiten kann trotzdem einfach sein:

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Gesucht ist der Punkt, der von 1 und -5 gleich weit entfernt ist. Auf dem Zahlenstrahl ist das ihr Mittelpunkt, $x = -2$.

Die Algebra führt zur selben Antwort. Gleiche Beträge bedeuten, dass die inneren Ausdrücke gleich oder entgegengesetzt sind:

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{oder} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

Die erste Gleichung vereinfacht sich zu $-1 = 5$ und hat daher keine Lösung. Die zweite wird zu $2x = -4$, also $x = -2$. Der Abstand zu jedem Bezugspunkt beträgt 3.

Das unterscheidet sich von einer Gleichung mit einer Summe wie $|x - 1| + |x + 5| = 10$. Du kannst nicht alle Betragsstriche durch eine einzige Fallunterscheidung entfernen. Solche Aufgaben erfordern meist Intervalle, die sich danach richten, wo der jeweilige innere Ausdruck sein Vorzeichen wechselt.

Der Graph macht die Anzahl der Lösungen sichtbar

Der Graph von $y = |x|$ ist ein V. Rechts von null folgt er $y = x$. Links davon folgt er $y = -x$. Die Spitze des V ist der Scheitelpunkt.

Bei $y = |x - 4|$ verschiebt sich der Scheitelpunkt nach $(4, 0)$. $|x - 4| = 6$ zu lösen bedeutet, die Stellen zu finden, an denen dieses V die waagerechte Gerade $y = 6$ schneidet. Es gibt zwei Schnittpunkte bei $x = -2$ und $x = 10$.

Eine waagerechte Gerade bei null berührt den Scheitelpunkt einmal. Eine waagerechte Gerade unterhalb von null verfehlt den Graphen vollständig. So sieht das Muster mit zwei, einer oder keiner Lösung auf dem Papier aus.

Wenn du das Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen ersetzt, suchst du einen Bereich statt nur Schnittpunkte. Zum Beispiel bedeutet $|x - 4| < 6$, dass der Abstand zu 4 kleiner als 6 ist, also $-2 < x < 10$. Unser Leitfaden zu Ungleichungen entwickelt diesen nächsten Schritt weiter.

Eine kurze Routine zum Lösen

Berechne zuerst alle rein numerischen Ausdrücke innerhalb der Betragsstriche. Isoliere dann einen Betrag, prüfe das Vorzeichen der anderen Seite und teile nur dann in Fälle auf, wenn dieses Vorzeichen es zulässt. Löse jeden Fall und setze jede mögliche Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein.

Übe den Ablauf im Algebra-Thema von Math Zen, das auch den Betrag behandelt. Beginne mit dem Bild des Abstands, bevor du zur Fallunterscheidung greifst. Wenn du erklären kannst, wo der Bezugspunkt liegt und welchen Abstand die Gleichung verlangt, hat die Algebra eine klare Aufgabe.