Implizites Differenzieren: Beispiele und Tangenten prüfen

Die Gleichung $x^2+y^2=25$ beschreibt einen Kreis. Sie stellt $y$ nicht als eine einzige Formel in $x$ dar: Auf der oberen und der unteren Kreishälfte gehören zu den meisten $x$-Werten verschiedene $y$-Werte. Trotzdem kannst du die Steigung an einem Punkt jeder Kreishälfte bestimmen. Beim impliziten Differenzieren leitest du die Gleichung selbst ab und behandelst $y$ in der Umgebung des betrachteten Punktes als Funktion von $x$. Hier rechnen wir jeden Schritt durch, prüfen jeden Punkt in der Ausgangsgleichung und untersuchen, wo die übliche Steigungsformel nicht mehr gilt.

Falls du zuerst die Bedeutung einer Steigung auffrischen möchtest, lies unseren Einstieg in Ableitungen. Die Beispiele zur Kettenregel erklären den zusätzlichen Faktor beim Ableiten eines Ausdrucks mit $y$. Hier wenden wir diese Regeln auf Gleichungen mit beiden Variablen an.

Was ändert sich, wenn y nicht isoliert ist?

Bei einer expliziten Funktion wie $y=x^2+1$ erhältst du durch Ableiten $dy/dx=2x$. Bei einer Gleichung wie $x^2+y^2=25$ ändern sich beide Koordinaten, wenn sich ein Punkt entlang der Kurve bewegt. Wo sich die Kurve lokal als $y(x)$ schreiben lässt, bedeutet $y^2$ also $(y(x))^2$. Nach der Kettenregel gilt deshalb

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

Der Faktor $dy/dx$ wird leicht vergessen. Er ist keine zusätzliche Schreibkonvention: Das Quadrat verändert sich, weil sich sein Eingang $y$ verändert, und $y$ verändert sich mit $x$. Entsprechend gilt $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$ und $d(\sin y)/dx=\cos y(dy/dx)$. Für einen gemischten Term $xy$ brauchst du zusätzlich die Produktregel: $d(xy)/dx=y+x(dy/dx)$. Paul Garretts Erklärung bei Math Insight verbindet genau diese Regeln.

Das Vorgehen bleibt bei allen Beispielen gleich:

1. Prüfe, ob der gefragte Punkt die ursprüngliche Gleichung erfüllt. Für einen Punkt außerhalb der Kurve gibt es dort keine Kurvensteigung.
2. Leite jeden Term nach $x$ ab. Sobald ein abgeleiteter Term von $y$ abhängt, kommt der Faktor $dy/dx$ hinzu.
3. Sammle die Terme mit $dy/dx$, klammere den Faktor aus und dividiere nur dann, wenn der andere Faktor ungleich null ist.
4. Setze den Punkt ein und prüfe die Steigung anhand der lokalen Kurvenform, eines expliziten Zweigs oder der Tangentengleichung.

Setze die Punktkoordinaten nicht vor dem Ableiten ein. Sonst werden die veränderlichen Koordinaten zu festen Zahlen, und du verlierst gerade die Änderung, die du berechnen möchtest. Behalte auch die Gleichung vor dem Dividieren: Sie hilft dir bei senkrechten Tangenten, für die der Bruch einen Nenner null hätte.

Beispiel 1: Kreis mit gewöhnlicher Tangente

Gesucht ist die Steigung von $x^2+y^2=25$ im Punkt $(3,4)$. Zuerst die Punktprobe: $3^2+4^2=9+16=25$. Der Punkt liegt auf dem Kreis. Wir leiten beide Seiten ab und betrachten $y$ dabei als $y(x)$:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Bringe $2x$ auf die andere Seite und dividiere durch $2y$, sofern $y\ne0$:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\qquad y\ne0.$$

Im Punkt $(3,4)$ ist die Steigung $-3/4$. Die Tangente durch diesen Punkt hat die Gleichung $y-4=-(3/4)(x-3)$. Bewegst du dich auf der oberen Kreishälfte ein kleines Stück nach rechts, sinkt die Höhe. Das negative Vorzeichen passt also. Du kannst das Ergebnis unabhängig von den impliziten Rechenschritten prüfen: Der obere Zweig lautet $y=\sqrt{25-x^2}$ für $-5<x<5$; seine Ableitung ist $-x/\sqrt{25-x^2}$. Bei $x=3$ ergibt sich wieder $-3/4$. Der untere Zweig hat bei demselben $x$ ein anderes $y$ und daher eine andere Steigung.

Diese Zweigprobe ist wichtig, denn die Kreisgleichung definiert keine globale Funktion $y(x)$. Implizites Differenzieren liefert die Steigung des lokalen Zweigs durch den genannten Punkt. Die $y$-Koordinate darfst du nicht weglassen, wenn zu einem $x$ mehrere Kurvenpunkte gehören.

Eine Kurve, zwei Arten von Tangenten

Bleiben wir beim Kreis, wechseln aber zum Punkt $(5,0)$. Auch er liegt auf der Kurve, denn $5^2+0^2=25$. In $-x/y$ einzusetzen würde durch null teilen. Daraus folgt weder eine numerische Steigung noch, dass die Kurve keine Tangente hat. Gehe zur Gleichung vor dem Dividieren zurück:

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Bei $(5,0)$ müsste für eine endliche Ableitung $10+0(dy/dx)=0$ gelten. Das kann kein endlicher Wert erfüllen. Geometrisch erreicht der Kreis seinen äußersten rechten Punkt und kehrt um. Die Tangente ist dort die senkrechte Gerade $x=5$; $dy/dx$ ist nicht definiert. Als Kurve bleibt der Kreis glatt. Nur als differenzierbare Funktion von $x$ lässt sich dieser Abschnitt am Punkt nicht darstellen.

Du kannst auch die Blickrichtung umkehren und $x$ lokal als Funktion von $y$ betrachten. Dann ist $2x(dx/dy)+2y=0$ und somit $dx/dy=-y/x$, sofern $x\ne0$. Bei $(5,0)$ gilt $dx/dy=0$. Wenn sich $y$ ein wenig ändert, reagiert $x$ erst in höherer Ordnung: Das entspricht einer senkrechten Tangente. Bei $(0,5)$ vertauschen sich die Rollen. Dort ist $dy/dx=0$, also verläuft die Tangente waagerecht. Keine dieser Aussagen erlaubt eine Division durch null.

Beispiel 2: Ein Produkt und drei Terme

Bestimme $dy/dx$ für $x^2+xy+y^2=7$ im Punkt $(1,2)$. Die Punktprobe ergibt $1+2+4=7$. Leite nun termweise ab. Aus $x^2$ wird $2x$, aus dem Produkt $xy$ wird $y+x(dy/dx)$ und aus $y^2$ wird $2y(dy/dx)$:

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0.$$

Fasse die Ableitungsterme zusammen und klammere aus:

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y),\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\quad\text{für }x+2y\ne0.$$

Im Punkt $(1,2)$ ist der Zähler $4$ und der Nenner $5$. Die Steigung ist daher $-4/5$; die Tangente lautet $y-2=-(4/5)(x-1)$. Setze die Steigung direkt in die abgeleitete, noch nicht geteilte Gleichung ein: $2(1)+2+1(-4/5)+2(2)(-4/5)=4-4=0$. Diese Probe kontrolliert sowohl den Beitrag der Produktregel als auch den fertigen Bruch. Wer $xy$ nur zu $x(dy/dx)$ ableitet, verliert den alleinstehenden Term $y$ und erhält eine falsche Steigung.

Die Bedingung $x+2y\ne0$ gehört zum Ergebnis, auch wenn sie am gefragten Punkt erfüllt ist. Wo der Nenner an einem anderen Kurvenpunkt verschwindet, brauchst du eine eigene Untersuchung der ungeteilten Gleichung, wie beim Kreis. Ein einzelner symbolischer Bruch beantwortet nicht jede Tangentenfrage.

Beispiel 3: Eine kubische Gleichung

Betrachte $y^3+xy=2$ im Punkt $(1,1)$. Probe: $1^3+1\cdot1=2$. Beim Ableiten wenden wir die Kettenregel auf $y^3$ und die Produktregel auf $xy$ an:

$$3y^2\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0.$$

Nach dem Ausklammern erhalten wir

$$(3y^2+x)\frac{dy}{dx}=-y,\qquad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3y^2+x}\quad\text{falls }3y^2+x\ne0.$$

Bei $(1,1)$ ergibt das $-1/4$. Die Tangente ist $y-1=-(1/4)(x-1)$. Setze das Ergebnis in die abgeleitete Gleichung ein: $3(-1/4)+1+(-1/4)=0$. Die kurze Restprobe deckt einen fehlenden Faktor drei oder ein falsches Vorzeichen auf. Sie beweist nicht allein die ganze Herleitung, ist aber ein guter abschließender Filter.

Fehlerdiagnose: Der vergessene Kettenregelfaktor

Angenommen, jemand leitet $x^2+y^2=25$ zu $2x+2y=0$ ab. Das ist keine Gleichung für die Tangentensteigung. Dabei wird $y$ so behandelt, als wäre $dy/dx=1$, obwohl erst die Kreisgleichung festlegt, wie $y$ auf $x$ reagiert. Bei $(3,4)$ steht dann $6+8=0$, ein offensichtlicher Widerspruch. Die korrekte Ableitung $2x+2y(dy/dx)=0$ liefert dagegen $6+8(-3/4)=0$.

Eine zweite Falle besteht darin, zuerst zu dividieren und die Bedingung zu vergessen. Die Formel $-x/y$ gilt für $y\ne0$; sie erklärt die Randpunkte $(\pm5,0)$ nicht für nicht existent. Behalte ursprüngliche Gleichung, Punktprobe und ungeteilte Ableitung zusammen. Diese drei Angaben zeigen, was geschieht, wo der Bruch nicht definiert ist.

Ändern sich Größen mit der Zeit statt mit $x$, wird dieselbe Idee zu einer Aufgabe über verwandte Änderungsraten: Verwende die passenden Zeitableitungen und achte auf Einheiten. Die nötigen Ableitungsregeln kannst du bei Math Zen im Thema Ableitungen üben. Als Selbsttest kannst du Beispiel 2 mit einem anderen gültigen Punkt wiederholen. Prüfe aber zuerst, ob dieser Punkt wirklich auf der Kurve liegt.

Häufige Fragen

Warum braucht jede Ableitung von $y$ den Faktor $dy/dx$? Weil sich $y$ entlang des lokalen Kurvenzweigs mit $x$ ändert. Nach der Kettenregel wird die Ableitung nach $y$ mit $dy/dx$ multipliziert. Beispielsweise gilt $d(y^3)/dx=3y^2(dy/dx)$.

Kann ich zuerst nach $y$ auflösen? Ja, wenn das bequem ist und du Zweig und Definitionsbereich richtig wählst. Der obere Halbkreis ergibt bei $(3,4)$ dieselbe Steigung. Explizites Auflösen kann aber schwierig sein oder mehrere Zweige erzeugen; gerade deshalb ist das Ableiten der Beziehung nützlich.

Bedeutet ein undefiniertes $dy/dx$ immer eine senkrechte Tangente? Nein. Ein undefinierter Bruch fordert dich auf, die ursprüngliche Kurve und die ungeteilte Ableitung zu untersuchen. Bei $(5,0)$ auf diesem Kreis bestätigen Geometrie und $dx/dy=0$ die senkrechte Tangente. Singuläre Punkte anderer Kurven können sich anders verhalten.

Was ist die schnellste Probe nach dem Rechnen? Prüfe, ob der Punkt auf der ursprünglichen Kurve liegt, setze die Steigung in die ungeteilte Ableitung ein und kontrolliere jeden Nenner, durch den du beim Isolieren von $dy/dx$ dividiert hast. Diese drei Prüfungen entdecken unterschiedliche Fehler.