Verwandte Änderungsraten: Leiter, Kegel und Schatten

Eine zehn Fuß lange Leiter rutscht an einer Wand nach unten; ihr Fuß entfernt sich von der Wand. Die Länge und die Geschwindigkeit des Fußes sind bekannt, gesucht ist die Geschwindigkeit des oberen Endes. Zeichnung und Satz des Pythagoras liefern die Gleichung, aber erst das Ableiten nach der Zeit liefert die Rate. Beide Abstände ändern sich, obwohl die Leiter gleich lang bleibt.

Wir verwenden bei drei Geometrien immer dieselben fünf Angaben: Variablen, dauerhaft gültige Beziehung, bekannte Rate und Zeitpunkt, gesuchte Rate sowie Vorzeichen- und Einheitenprobe. Dieses Schema schützt vor zu frühem Einsetzen und vor einer Verwechslung zweier Geschwindigkeiten in einer Zeichnung. Die Methode entspricht OpenStax Calculus, Band 1, §4.1; die Zahlenbeispiele sind eigenständig. Für das Grundverständnis einer Ableitung lies unseren Ableitungsleitfaden.

Veränderliche Größen vor der Rechnung festlegen

Wähle eine Zeitvariable $t$ und bezeichne jede veränderliche Länge als Funktion von $t$, etwa $x(t)$ und $y(t)$. Lege positive Richtungen fest. Entfernt sich der Leiterfuß mit $2\text{ ft/s}$, ist bei $x$ als Wandabstand $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Eine sinkende Höhe hat $dy/dt<0$. Fragt der Text, wie schnell das obere Ende sinkt, ist damit der positive Betrag $|dy/dt|$ gemeint.

Schreibe eine Beziehung, die während der Bewegung gilt. Leite sie nach $t$ ab, solange die Größen noch Variablen sind. Dabei wird die Kettenregel benutzt: $d[x(t)^2]/dt=2x\,dx/dt$. Setze erst danach die Maße des fraglichen Augenblicks und die bekannten Raten ein. Prüfe dann Richtung und Dimension: Längenableitungen haben Länge pro Zeit, Volumenableitungen Volumen pro Zeit.

Angabe	Leitfrage
Variablen	Was ändert sich, welche Richtung ist positiv?
Beziehung	Welche Gleichung gilt für jeden relevanten Augenblick?
Gegeben	Welche Maße und Raten mit Vorzeichen gelten jetzt?
Gesucht	Welche Ableitung soll isoliert werden?
Probe	Passen Richtung und Einheiten?

Ein Aufgabenblatt der Cornell University verwendet denselben allgemeinen Ansatz für verschiedene Geometrien. Unsere Tabelle hält die Bedeutung jeder Größe sichtbar, statt nur das Ableitungsergebnis zu zeigen.

Beispiel 1: die rutschende Leiter

Variablen. $x(t)$ ist der Abstand des Fußes von der Wand, $y(t)$ die Höhe des oberen Endes; beide in Fuß. Zunehmender Abstand und zunehmende Höhe sind positiv. Die starre Leiter ist $10\text{ ft}$ lang. Im betrachteten Augenblick gilt $x=6\text{ ft}$ und $dx/dt=+2\text{ ft/s}$. Gesucht ist $dy/dt$.

Beziehung. Das rechtwinklige Dreieck liefert $x^2+y^2=100$. Bei $x=6$ ist die positive Höhe $y=\sqrt{100-36}=8\text{ ft}$. Setze $x=6$ aber nicht vor dem Ableiten in die Beziehung ein: $x$ verändert sich vor und nach diesem Augenblick.

Ableiten und einsetzen. Da rechts eine Konstante steht,

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0, \qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Einsetzen ergibt $dy/dt=-(6/8)(2)=-1.5\text{ ft/s}$. Antwort und Probe. Die vorzeichenbehaftete vertikale Geschwindigkeit ist negativ, weil die Höhe sinkt. Die Abwärtsgeschwindigkeit als Betrag ist $1.5\text{ ft/s}$. $x/y$ ist dimensionslos, sodass die Einheit von $dx/dt$ erhalten bleibt. Ein positives $dy/dt$ bei diesen Richtungen wäre ein Vorzeichenfehler.

Wenn die Leiter dem Boden näherkommt, wird $y$ kleiner und der Betrag in der idealisierten Formel größer. Das ist eine Eigenschaft des Modells einer starren Leiter mit vorgegebener horizontaler Rate, keine Aussage über eine reale Bewegung bis zum letzten Augenblick. Wir berechnen nur den genannten Zeitpunkt.

Beispiel 2: Wasser füllt einen Kegel

Ein kegelförmiger Behälter zeigt mit der Spitze nach unten. Seine Gesamthöhe beträgt $12\text{ cm}$, der obere Radius $4\text{ cm}$. Wasser strömt mit $dV/dt=+6\pi\text{ cm}^3/\text{s}$ ein. Wie schnell steigt die Füllhöhe bei $h=6\text{ cm}$?

Variablen. $h(t)$ ist die Füllhöhe, $r(t)$ der Radius der Wasseroberfläche. Beide sowie $V(t)$ ändern sich. Beziehungen. Ähnliche Dreiecke ergeben $r/h=4/12=1/3$ und damit $r=h/3$. Das Wasservolumen ist $V=(\pi/3)r^2h$. Setze jetzt die Variablenbeziehung ein: $V=(\pi/27)h^3$. Das ersetzt $h$ noch nicht durch seinen Augenblickswert.

Ableiten und einsetzen. Die Kettenregel liefert

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

Für $h=6\text{ cm}$ gilt $6\pi=(\pi/9)(36)\,dh/dt=4\pi\,dh/dt$, also $dh/dt=1.5\text{ cm/s}$. Probe. Das positive Vorzeichen entspricht der steigenden Oberfläche. Der Faktor $(\pi/9)h^2$ hat Quadratzentimeter als Einheit; Kubikzentimeter pro Sekunde geteilt durch ihn ergibt Zentimeter pro Sekunde. Im selben Augenblick ist $r=2\text{ cm}$. Den festen Tankradius $4$ statt des aktuellen Wasserradius $2$ einzusetzen, wäre ein anderer und falscher Ansatz.

Man könnte auch $V=(\pi/3)r^2h$ mit $dr/dt$ und $dh/dt$ ableiten und anschließend $dr/dt=(1/3)dh/dt$ verwenden. Das ergibt dieselbe Rate. Mit $r=h/3$ vor dem Ableiten sinkt die Zahl der veränderlichen Längen auf eins und die Rechnung wird kürzer.

Beispiel 3: eine Person und ihr Schatten

Eine Lampe befindet sich $6\text{ m}$ über ebenem Boden. Eine $2\text{ m}$ große Person geht geradlinig mit $dx/dt=+1.5\text{ m/s}$ von der Lampe weg. $x(t)$ ist ihr Abstand zur Lampe, $s(t)$ die Schattenlänge. Gesucht sind sowohl die Änderung der Schattenlänge als auch die Geschwindigkeit der Schattenspitze.

Variablen. Positive Abstände zeigen von der Lampe weg. Die Spitze liegt bei $x+s$. Deshalb sind $ds/dt$ und $d(x+s)/dt$ zwei verschiedene Raten. Beziehung. Ähnliche Dreiecke setzen Lampenhöhe und Spitzenabstand sowie Körpergröße und Schattenlänge in Beziehung:

$$\frac{6}{x+s}=\frac{2}{s}.$$

Daraus folgen $6s=2x+2s$ und $s=x/2$. Die Beziehung gilt in der idealisierten geradlinigen Geometrie. Ableiten: $ds/dt=(1/2)dx/dt=0.75\text{ m/s}$. So schnell wird der Schatten länger.

Spitze und Probe. Ihre Position ist $p=x+s=3x/2$. Deshalb $dp/dt=dx/dt+ds/dt=1.5+0.75=2.25\text{ m/s}$. Die Spitze ist schneller als die Person; ihre Geschwindigkeit ist nicht bloß die Zunahme der Schattenlänge. Beide Raten sind positiv und haben Meter pro Sekunde als Einheit. Bleibt die Person stehen, ist $dx/dt=0$ und beide Ableitungen sind null, eine schnelle Grenzfallprobe.

Das Schema auf neue Aufgaben übertragen

Alle drei Beispiele nutzen eine Beziehung, die während der Bewegung wahr bleibt. Zahlen für einen einzelnen Zeitpunkt erscheinen erst nach dem Ableiten. Die Deutung ist unterschiedlich: Die Leiterhöhe sinkt, der Wasserstand steigt aus einer vorgegebenen Volumenrate, und beim Schatten gibt es zwei verschiedene positive Raten. Das Fünf-Punkte-Schema zeigt diese Unterschiede, ohne drei isolierte Tricks auswendig zu lernen.

Ändere zur Übung eine Rate bei gleicher Geometrie. Bewegt sich der Leiterfuß bei $x=6\text{ ft}$ mit $1\text{ ft/s}$ nach außen, halbiert sich die obere Rate auf $-0.75\text{ ft/s}$. Verdoppelt sich der Zufluss im Kegel bei derselben Füllhöhe, verdoppelt sich $dh/dt$. Solche Proportionalitätsprüfungen entdecken Rechenfehler, ersetzen aber nicht die geometrische Herleitung. Math Zen kann beim Üben der nötigen Ableitungsregeln in einzelnen Aufgaben helfen; AP-Calculus-Vorbereitung ordnet Anwendungen der Ableitung in einen Lernplan ein.

Lies vor der endgültigen Antwort noch einmal das gesuchte Objekt: Leiterfuß, Leiteroberende, Wasserstand, Schattenlänge oder Schattenspitze. Schreibe es neben die letzte Ableitung. Eine korrekt berechnete Rate der falschen Größe beantwortet die Aufgabe nicht. Vergleiche danach Vorzeichen und positive Richtung und kürze die Einheiten. Diese beiden kurzen Proben decken viele plausibel aussehende Fehler auf.