Komplexe Zahlen in Polarform: Umrechnen, multiplizieren und dividieren

Die Zahl $3+3i$ gibt eine Adresse an: drei Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach oben. Sie gibt auch eine Richtung und einen Abstand an: nach Nordosten, im Abstand $3\sqrt{2}$ von null. Kartesische Form und Polarform beschreiben genau dieselbe Zahl. Sie erleichtern unterschiedliche Rechnungen.

Die kartesische Form eignet sich gut für die Addition. In der Polarform sieht die Multiplikation wie zwei gewöhnliche Handlungen aus: strecken und drehen. Deshalb kann aus einer kompliziert wirkenden Potenz eine kurze Rechnung werden, sobald du die Darstellung wechselst.

Falls dir die imaginäre Einheit noch nicht vertraut ist, beginne mit unserer Erklärung imaginärer Zahlen. Hier geht es um den nächsten praktischen Schritt: umrechnen, rechnen und das Ergebnis prüfen.

Modul und Argument beschreiben einen Pfeil

Zeichne einen Pfeil vom Ursprung zu $z=a+bi$. Seine waagerechte Komponente ist $a$, seine senkrechte Komponente ist $b$. Die Länge des Pfeils, der sogenannte Modul, ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck:

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Das Argument ist ein Winkel $\theta$, der von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird. Positive Drehungen verlaufen gegen den Uhrzeigersinn, negative im Uhrzeigersinn. Eine volle Umdrehung führt zum selben Pfeil zurück, deshalb ist ein Argument nicht eindeutig.

Die waagerechte und senkrechte Komponente eines Pfeils der Länge $r$ sind $r\cos\theta$ und $r\sin\theta$. Setzt man diese Komponenten ein, erhält man die Polarform:

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Manche Bücher schreiben dafür $r\operatorname{cis}\theta$. Die Abkürzung bedeutet genau den Ausdruck in Klammern. Sie ist nur eine kürzere Schreibweise, keine neue Rechenoperation.

Hier kommt die Geometrie aus den Polarkoordinaten zum Einsatz. Das Ziel ist jedoch das Rechnen mit komplexen Zahlen, nicht das Zeichnen von Polarkurven.

Eine Zahl umrechnen, ohne den Quadranten zu verlieren

Betrachte $z=-3+3i$. Beginne mit dem Modul:

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Der Realteil ist negativ und der Imaginärteil positiv, also zeigt der Pfeil in den zweiten Quadranten. Der Bezugswinkel ist $\pi/4$, weil die waagerechte und die senkrechte Strecke gleich groß sind. Das gesuchte Argument ist daher $3\pi/4$ oder 135 Grad:

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Warum nicht einfach $\arctan(b/a)$ eingeben? Hier beträgt das Verhältnis -1, und eine gewöhnliche Berechnung mit dem Arkustangens liefert $-\pi/4$. Dieser Winkel zeigt in den vierten Quadranten, also in die entgegengesetzte Richtung. Ein Verhältnis allein verliert die Vorzeichen, die den Quadranten bestimmen.

Halte dich jedes Mal an diese Reihenfolge:

1. Bestimme den Modul.
2. Markiere in einer Skizze die Vorzeichen von Realteil und Imaginärteil.
3. Bestimme einen Bezugswinkel und lege ihn in diesen Quadranten.
4. Setze das Ergebnis wieder ein und prüfe beide Komponenten.

Eine Taschenrechner- oder Programmierfunktion namens $\operatorname{atan2}(b,a)$ berücksichtigt den Quadranten und die Fälle auf den Achsen. Prüfe die Reihenfolge ihrer Argumente und ob das Ergebnis im Bogenmaß ausgegeben wird. Wenn du stattdessen einen Arkustangens mit nur einem Eingabewert verwendest, ist die Skizze weiterhin nötig.

Zur Kontrolle zurückrechnen

Von der Polarform zurück in die kartesische Form zu wechseln bedeutet, die beiden Komponenten getrennt auszuwerten. Für das Beispiel oben gilt:

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

Das Ergebnis lautet wie verlangt $-3+3i$. Auf diese Weise fällt ein Fehler beim Quadranten sofort auf: Der falsche Winkel würde zu den falschen Vorzeichen führen, selbst wenn der Modul richtig wäre.

Bei Winkeln ohne einfache exakte Werte solltest du das Argument bis zum letzten Schritt ungerundet lassen. Frühes Runden erzeugt unnötige Fehler, wenn du die Zahl wieder in ihre Komponenten zerlegst.

Multiplikation streckt und dreht

Angenommen, eine Zahl hat den Modul $r_1$ und das Argument $\theta_1$, eine andere den Modul $r_2$ und das Argument $\theta_2$. Bei der Multiplikation werden die Längen multipliziert und die Drehungen addiert:

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Nimm zwei Zahlen mit dem Modul 2 und den Argumenten $\pi/6$ und $\pi/3$. Das Produkt hat den Modul 4 und das Argument $\pi/2$:

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Du kannst das unabhängig davon in kartesischer Form prüfen. Die beiden Ausgangszahlen sind $\sqrt{3}+i$ und $1+\sqrt{3}i$:

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

Die Realteile heben sich auf, weil $i^2=-1$ gilt. Beide Darstellungen führen zum selben Ergebnis, doch in der Polarform ist die Drehung um einen rechten Winkel bereits vor dem Ausmultiplizieren sichtbar.

Division kehrt Streckung und Drehung um

Um durch eine komplexe Zahl ungleich null zu dividieren, dividierst du die Module und subtrahierst die Argumente:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Teile zum Beispiel eine Zahl mit dem Modul 6 und dem Argument $5\pi/6$ durch eine Zahl mit dem Modul 2 und dem Argument $\pi/3$. Das Ergebnis hat den Modul 3 und das Argument $\pi/2$, der Quotient ist also $3i$.

Der Nenner muss einen von null verschiedenen Modul haben. Die Polarform macht eine Division durch null nicht zulässig. Achte außerdem auf die richtige Reihenfolge der Subtraktion: Wenn du die zweite Zahl durch die erste teilst, kehren sich sowohl der Streckungsfaktor als auch die Winkeldifferenz um.

Potenzen wiederholen dieselbe Operation

Eine komplexe Zahl auf eine positive ganze Zahl zu potenzieren bedeutet, dieselbe Multiplikation zu wiederholen. Der Modul wird in diese Potenz erhoben, das Argument wird mit ihr multipliziert:

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

Das ist die Formel von de Moivre. Für $z=\sqrt{3}+i$ beträgt der Modul 2, und ein Argument ist $\pi/6$. Beim Kubieren ergibt sich:

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Drei Drehungen um 30 Grad ergeben eine Drehung um 90 Grad. Drei Streckungsfaktoren von 2 ergeben multipliziert 8. Du kannst die dritte Potenz weiterhin ausmultiplizieren, aber die Polarform zeigt, warum das Ergebnis auf der imaginären Achse liegt.

Das OpenStax-Kapitel zur Polarform behandelt auch die entsprechenden Wurzelberechnungen. Wichtig ist die Unterscheidung, dass eine komplexe Zahl ungleich null für n ≥ 2 mehrere verschiedene n-te Wurzeln besitzt. Wenn du nur einen gewählten Winkel durch n teilst, erhältst du nicht alle davon.

Diese Sonderfälle solltest du auseinanderhalten

Eine volle Umdrehung ändert den Winkel, nicht die Zahl. Die Winkel $\theta$ und $\theta+2\pi k$ beschreiben für jede ganze Zahl $k$ dieselbe Richtung. Wenn nach dem Hauptargument gefragt wird, verwende das angegebene Intervall, häufig $(-\pi,\pi]$. Andere Kurse verwenden ein anderes Intervall, deshalb solltest du deine Konvention nennen.

Null hat keine definierte Richtung. Ihr Modul ist null. Jeder Winkel ergibt dieselben Nullkomponenten, daher ist es nicht sinnvoll, null ein eindeutiges Argument zuzuweisen.

Bogenmaß und Grad dürfen nicht vermischt werden. Beide funktionieren in der trigonometrischen Form, wenn du sie konsequent verwendest. Die Exponentialform $re^{i\theta}$ verwendet das Bogenmaß. Unser Leitfaden zu Eulers Identität erklärt diesen Zusammenhang.

Für die Addition gilt die Multiplikationsregel nicht. Wenn du Module und Winkel addierst, addierst du damit keine komplexen Zahlen. Wandle in die kartesische Form um, addiere die Komponenten und wandle bei Bedarf wieder zurück.

Übe jeweils eine Entscheidung

Math Zens Übungen zu komplexen Zahlen umfassen die Polarform und den Satz von de Moivre. Trenne die Fertigkeiten beim Lernen: Bestimme zuerst den Quadranten, dann den Modul, rechne anschließend um und befasse dich erst danach mit Produkten oder Potenzen.

Stelle dir vor dem Abgeben einer Antwort drei Fragen. Ist ihr Abstand von null plausibel? Passt ihre Richtung zur Rechenoperation? Erzeugen ihre kartesischen Komponenten wieder den Ausgangswert? Durch diese Kontrollen wird die Polarform von einer weiteren auswendig zu lernenden Formel zu einer Möglichkeit, die Rechnung zu sehen.