直观理解方程组：寻找同时满足所有条件的值
一个方程给出一个条件。如果一家咖啡馆以不同价格出售咖啡和茶，当天的总销售额能说明两种商品数量之间的关系，但通常无法确定各自的数量。再有一条独立信息，就能把它们确定下来。
这正是方程组的作用。你不再只问什么能让一个陈述成立，而是问什么能让多个陈述同时成立。“方程组”听起来很专业，但核心想法很普通：找出符合每一条线索的值。
解必须满足每一个方程
考虑下面这个方程组：
数对 、 能使两个方程都成立。第一个方程中，；第二个方程中，。
而数对 、 能使第一个方程成立，却不能使第二个方程成立，因此它不是方程组的解。方程组连接条件时用的是“并且”，不是“或者”：第一个方程和第二个方程都必须成立。
这与代数指南中解释的等式含义相同，只是应用到了多个条件上。换到另一行时，变量的含义不会改变。每一处都必须使用同一个 和同一个 。
图像显示代数正在寻找什么
每个含有两个变量的线性方程都表示一条直线。方程 表示一条直线， 表示另一条直线。第一条直线上的点满足第一个方程，第二条直线上的点满足第二个方程。
方程组的解必须同时位于两条直线上，因此就是它们的交点。
这个图像说明，两个含有两个变量的线性方程可能产生三种结果：
- 两条直线相交一次，得到一个解。
- 两条不同的平行线永不相交，因此无解。
- 两个方程表示同一条直线，因此有无穷多个解。
画图非常适合判断属于哪种情况，并估计解的位置。但对于精确分数或位于网格刻度之间的交点，图像不够可靠。代数方法能找到同一个交点，不依赖绘图是否精确。
这种联系也能反过来使用。代入或消元得到意外结果时，可以想象对应的直线。出现矛盾，说明两条直线平行；出现恒等式，说明它们重合。
代入就是用相等的量替换相等的量
当一个方程已经说明某个变量等于什么时，代入法最合适。把上面的第二个方程改写成：
现在，把第一个方程中的每个 都替换为 ：
现在只剩下一个未知量：
回到 ，可得 。解为 。
这里没有发生任何神秘的事。方程 表示 和 是同一个量。用其中一个替换另一个，仍能保持第一个方程成立。代入法把两个含有两个未知量的方程变成一个只含一个未知量的方程。
如果一个变量已经单独表示出来，或者只用一个简单步骤就能做到，可以选择代入法。如果解出某个变量会立即产生复杂分数，消元法可能更简短。
消元法把线索组合起来
回到原方程组：
把两个方程相加， 和 相互抵消：
所以 。把它代入任意一个原方程，可得 。
消元法之所以成立，是因为你把相等的量加到相等的量上。右边相加的同时，左边也可以相加。任何满足两个原方程的数对，也一定满足组合后的方程。
有时系数不会立即抵消。假设方程组是：
把第二个方程乘以 ：
将它与第一个方程相加，得到 。接着有 ，所以 。用一个非零数乘整个方程不会改变它的解。这样得到的仍是同一条直线，只是采用了不同的比例来书写。
如果方程已经采用标准形式，并且有一对系数相同、只有符号不同，或者有较小的公倍数，消元法通常很高效。
由两条线索构成一道应用题
假设一个学校社团卖出了 30 张票。学生票每张 4 美元，成人票每张 7 美元，社团共收入 156 美元。设学生票数量为 ，成人票数量为 。
票的总数给出：
总金额给出：
把第一个方程乘以 ，然后相加：
因此 、。检验两条信息：一共有 30 张票，并且 。
最难的部分并不是消元，而是判断一个方程描述票数，另一个方程描述收入。在大多数应用中，每句话都会提供一个不同的约束。先定义变量及其单位，分别把每个约束转化成方程，再解这个方程组。
无解和无穷多解都是有意义的答案
考虑：
把第一个方程乘以 2，得到 ，但第二个方程要求同一个表达式等于 10。消元会得到 ，这是一个矛盾。没有任何数对能同时满足两个方程。图像中，两条直线斜率相同而截距不同，因此互相平行。
现在把第二个方程改为：
它恰好是第一个方程的两倍。消元得到 ，这个等式永远成立，却无法确定唯一的数对。两个方程表示同一条直线，因此直线上的每个点都是解。
不要把这些结果视为计算失败。它们反映了已知信息的性质。矛盾意味着这些约束不能同时成立。恒等式意味着一条线索只是重复另一条，没有增加新信息。
根据方程的形式选择方法
画图、代入和消元解决的是同一个问题。哪种选择最高效，取决于方程的写法。
如果图像或交点的近似位置很重要，就使用画图法。如果一个变量已经单独表示出来，或它的系数是 1 或 -1，就使用代入法。如果系数已经对齐，或通过简单倍乘就能对齐，就使用消元法。
计算器可以画出两个方程并显示交点，但代数仍然重要。绘图窗口可能会隐藏交点，让接近平行的直线看起来完全平行，或者在题目要求精确分数时只显示小数。把图像用作模型和检验工具，不要用它代替对解的含义的理解。
对于更大的方程组，消元法会发展为行化简和矩阵方法。我们的矩阵指南解释了更广泛的图景。熟悉的二方程求解过程已经包含核心思想：在不改变公共解的前提下组合各个条件。
在原方程组中检验数对
最稳妥的最后一步，是把结果代入每一个原方程。不要只检验自己得到的简化方程，因为它包含的信息少于完整的方程组。
对于开头例子中的 ：
两个等式都成立，因此这个数对得到确认。还要判断答案是否符合实际情境。负数张票或许能满足从文字错误转化而来的代数式，却不符合现实问题。
常见错误来自计算步骤：只给方程中的一项乘数、在两行相加时改变符号、代入错误的表达式，或者求出一个变量后就停止。把一次运算应用到整个方程，并让各列保持对齐，就能避免大多数错误。
练习识别合适的步骤
熟练来自选择方法，而不是连续二十次重复同一种方法。把适合代入的方程组和适合消元的方程组混合练习。还要加入无解和无穷多解的情况，让 和 成为信息，而不是意外。
Math Zen 的代数主题中有专门练习线性方程组的技能。始终把解释和步骤联系起来：每个方程都是一个条件，解必须符合所有条件。
方程组不是两个毫无关系的任务堆在一起，而是在多条线索限制下进行的一次寻找。图像把答案称为交点，代入法把它看作替换，消元法把它看作一个变量抵消后留下的结果。三者是对同一个问题的不同观察方式：哪些值能让所有规则同时成立？
常见问题
- 简单来说，什么是方程组？
- 方程组由多个方程组成，其中的未知量在每个方程中都必须取相同的值。每个方程都是一个条件。解是能让所有条件同时成立的值或有序数对。对于两个含有 x 和 y 的线性方程，解就是两条直线共有的点。
- 什么时候用代入法，什么时候用消元法？
- 如果一个方程已经单独表示出某个变量，或者无需复杂分数就能做到，可以使用代入法。如果相同或符号相反的系数已经出现，或者把一个方程倍乘后就能简单得到，可以使用消元法。两种方法都会保持相同的解集，因此应选择计算更简洁的方法。
- 为什么方程组会无解或有无穷多解？
- 两条不同的平行直线永不相交，因此没有有序数对能同时满足两个方程。两个方程也可能表示同一条直线，这时直线上的每个点都满足二者，所以有无穷多个解。在代数中，这两种情况分别表现为 0 = 5 这样的矛盾和 0 = 0 这样的恒等式。
- 怎样检验方程组的解？
- 把求出的每个值代入每一个原方程。只有当每个方程都变成真命题时，这个数对才是解。只检验最后一个方程并不够，因为计算错误可能产生一个只符合某个条件、却不符合整个方程组的值。
- 消元法究竟做了什么？
- 消元法组合两个成立的方程，使一个变量抵消。这样可以在不丢失公共解的情况下去掉一个未知量。用非零数乘整个方程不会改变它表示的直线，而给等式两边加上相等的量会保持等式成立，所以简化后的方程仍保留了求出另一个变量所需的信息。
