역함수를 직관적으로 이해하기: 계산을 거꾸로 되돌리는 법

한 공방은 예약비로 8달러를 받고 작업대를 사용하는 시간당 5달러를 더 받습니다. 3시간이면 23달러입니다. 영수증에 23달러가 적혀 있다면 몇 시간을 예약한 걸까요?

앞으로 계산할 때는 시간에 5를 곱하고 8을 더합니다. 거꾸로 계산할 때는 영수증 금액에서 8을 빼고 5로 나눕니다. 이 거꾸로 된 규칙이 역함수입니다. 같은 관계로 다른 질문에 답합니다.

대수 계산 자체는 대개 어렵지 않습니다. 중요한 것은 거꾸로 된 규칙이 답을 하나만 주는지, 그리고 어떤 수를 입력으로 받을 수 있는지입니다.

마지막 단계를 먼저 되돌리기

공방의 요금을 다음과 같이 씁니다.

$$f(x) = 5x + 8$$

역함수는 시간당 요금을 되돌리기 전에 예약비를 먼저 빼야 합니다.

$$f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}$$

영수증으로 확인해 보세요. $f^{-1}(23) = (23-8)/5 = 3$입니다. 먼저 5로 나누면 예약비까지 시간당 요금으로 나누어 잘못된 답을 얻게 됩니다.

$f$의 입력은 시간이고 $f^{-1}$의 입력은 달러 단위 금액입니다. 두 곳에 모두 $x$를 쓴다고 같은 양을 뜻하는 것은 아닙니다. 각 함수가 받는 값을 대신 나타내는 문자일 뿐입니다.

이 모델에서는 음수 시간이 의미가 없습니다. 원래 정의역은 $x \geq 0$이고 치역은 $f(x) \geq 8$입니다. 따라서 역함수는 8달러 이상의 금액만 받습니다. 대수적으로는 3달러를 넣을 수도 있지만, 그렇게 얻은 음수 시간은 모델에 들어맞지 않습니다.

역함수와 역수는 다른 연산

$f^{-1}$의 위 첨자는 음의 거듭제곱처럼 보입니다. 함수 표기에서는 역함수를 가리킵니다. $f(x)$로 1을 나누라는 뜻이 아닙니다.

같은 공방의 요금 규칙을 비교해 봅시다.

$$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{5}, \qquad \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{5x+8}$$

첫 번째 식은 요금에서 시간을 되찾습니다. 두 번째는 요금의 역수로, 의미와 용도가 다른 양입니다. OpenStax의 역함수 설명도 이 표기 차이를 분명히 구분합니다.

역함수를 $g$라고 불러도 됩니다. $g(f(x))=x$라고 쓰면 위 첨자 없이도 핵심을 표현할 수 있습니다. 요금을 계산한 뒤 원래 시간을 되찾는다는 뜻입니다.

대수로 역함수 구하기

일반적인 방법은 $y=f(x)$를 쓰고 $x$와 $y$를 바꾼 뒤 $y$에 대해 푸는 것입니다. 자리를 바꾸면 원래 출력이 새 입력이 되는 역할 변화가 드러납니다.

새로운 예를 보겠습니다.

$$y = \frac{2x-7}{3}$$

변수의 자리를 바꿉니다.

$$x = \frac{2y-7}{3}$$

3을 곱하고 7을 더한 뒤 2로 나눕니다.

$$3x = 2y-7$$ $$3x+7 = 2y$$ $$y = \frac{3x+7}{2}$$

따라서 역함수는 $f^{-1}(x)=(3x+7)/2$입니다. 원래 규칙에서 마지막에 했던 3으로 나누기부터 각 연산을 거꾸로 되돌립니다.

Paul's Online Math Notes에는 같은 일반적인 방법과 제곱근 및 유리함수를 사용한 풀이 예시가 있습니다. 식의 모양이 어떻든 변형하는 동안 허용되지 않는 입력을 놓치지 마세요. 분모를 곱한다고 원래 금지된 값이 허용되지는 않습니다.

양방향으로 확인하기

숫자 하나를 시험하면 계산 실수를 찾을 수 있지만, 두 규칙이 모든 값에서 서로를 되돌린다는 증명은 되지 않습니다. 적어 둔 정의역에서 합성을 확인하세요.

위 예에서 원래 규칙을 역함수에 넣습니다.

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{3\left(\frac{2x-7}{3}\right)+7}{2} = \frac{2x-7+7}{2}=x$$

그다음 역함수를 원래 규칙에 넣습니다.

$$f(f^{-1}(x)) = \frac{2\left(\frac{3x+7}{2}\right)-7}{3} = \frac{3x+7-7}{3}=x$$

여기서는 두 정의역이 모두 실수 전체입니다. 제곱근, 로그, 분수가 나오면 검산 옆에 정의역도 적으세요. 식을 약분하면 약분하기 전부터 있던 제한이 가려질 수 있습니다.

합성이 아직 낯설다면 함수 안내 글부터 보세요. 안쪽 규칙의 출력이 바깥쪽 규칙의 입력이 됩니다. 괄호를 안에서 밖으로 읽으면 됩니다.

이차함수에 정의역 제한이 필요한 이유

$f(x)=(x-2)^2$라고 해 봅시다. $f(1)$과 $f(3)$은 둘 다 1입니다. 출력이 1이라는 정보만으로는 어느 입력을 사용했는지 알 수 없습니다.

이 함수는 실수 전체에서 일대일 함수가 아닙니다. 거꾸로 대응시키면 대부분의 입력에 답이 두 개 생기므로 함수가 될 수 없습니다.

원래 정의역을 $x \geq 2$로 제한하여 오른쪽 가지를 고릅니다. 이제 거꾸로 계산한 결과가 하나로 정해집니다.

$$y=(x-2)^2, \qquad x \geq 2$$

$x-2$가 음수가 아니므로 주 제곱근을 취하면 $\sqrt{y}=x-2$입니다. 변수의 이름을 바꾸면 다음과 같습니다.

$$f^{-1}(x)=2+\sqrt{x}, \qquad x \geq 0$$

역함수는 0 이상의 수를 받고 2 이상의 수를 돌려줍니다. $f^{-1}(9)=5$를 확인하고 이어서 $f(5)=9$를 확인하세요.

대신 원래 정의역을 $x \leq 2$로 제한하면 역함수는 $2-\sqrt{x}$입니다. 두 결과는 서로 다른 정의역 제한을 가진 두 함수의 역함수입니다. 플러스마이너스 기호를 붙여 하나의 역함수라고 부르면 안 됩니다.

이차방정식에서도 같은 구분이 중요합니다. 방정식의 해는 두 개일 수 있지만, 함수는 허용된 각 입력에 출력 하나만 대응시켜야 합니다.

그래프에서 역함수 읽기

$f(4)=9$라면 원래 그래프에는 $(4,9)$가 있고 역함수의 그래프에는 $(9,4)$가 있습니다. 좌표를 바꾸면 점이 대각선 $y=x$를 기준으로 대칭 이동합니다.

이것이 수평선 판정법도 설명합니다. 수평선이 원래 그래프와 두 번 만나면 출력 하나에 입력 두 개가 대응합니다. 좌표를 바꾼 뒤에는 그 두 점이 한 수직선 위에 놓여 입력 하나에 출력 두 개가 대응하게 됩니다.

위의 포물선으로 시험해 보세요. 높이 1인 수평선은 $x=1$과 $x=3$에서 포물선과 만납니다. 왼쪽 가지를 없애면 교점이 하나만 남습니다. 이제 그래프에 거꾸로 찾아갈 정보가 충분합니다.

역함수의 정의역은 원래 함수의 치역입니다. 그러므로 먼저 원래 그래프가 세로 방향으로 어떤 높이에 도달하는지 살펴보세요. 출력이 어느 높이 이상에만 있다면, 역함수는 그보다 낮은 수를 입력으로 받을 수 없습니다.

짧은 연습 문제 세 가지

일차 규칙: $f(x)=7-2x$의 역함수를 구하세요. 7에서 입력을 빼고 2로 나누면 $f^{-1}(x)=(7-x)/2$입니다. 이 경우 역함수의 식은 원래 식과 다릅니다. $f(2)=3$과 $f^{-1}(3)=2$를 확인하세요.

세제곱: $g(x)=x^3+6$의 역함수를 구하세요. 세제곱은 음수 입력과 양수 입력을 구분하므로 가지를 제한할 필요가 없습니다. 모든 실수 입력에 대해 $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-6}$입니다.

제곱: $h(x)=x^2+6$의 역함수를 $x \geq 0$에서 구하세요. 역함수는 $h^{-1}(x)=\sqrt{x-6}$이고 정의역은 $x \geq 6$입니다. 마지막 조건을 잊으면 답이 완전하지 않습니다.

각 답을 확인하기 전에 정의역을 적으세요. 그런 다음 숫자 하나로 왕복 계산을 하고 두 방향의 대수적 합성도 검증하세요. Math Zen의 함수 연습에서 정방향 규칙, 역방향 규칙, 정의역 제한을 함께 익히는 짧고 효과적인 연습이 됩니다.

같은 생각은 지수함수와 로그도 연결합니다. 지수함수는 지수를 받아 수를 만들고, 로그는 그 지수를 되찾습니다. 입력이 무엇을 뜻하고 어떤 출력이 가능한지 알면 역함수를 논리적으로 생각할 수 있습니다.