反常积分的收敛判定：用极限逐步解题

有些积分能轻易找到原函数，却依然没有有限的积分值。缺少的一步是极限。如果积分区间延伸到无穷远，或者函数在端点或区间内部变得无界，就不能把纸上写的上下限直接代进原函数。先用一个普通变量替换有问题的边界，再考察这个变量向边界靠近时，计算结果会怎样变化。

这样的积分称为反常积分。名称描述的是题目的形式，不能预告答案。反常积分有的收敛到有限数，有的发散。下面把成对的例子放在一起，找出决定结果的那一步。如果定积分记号还不熟悉，请先看积分入门；判断下面每个例子都要用到的操作，在极限指南中有解释。

先找出积分为什么反常

常见情况有两种。无限区间的边界是$+\infty$或$-\infty$之类。无界的被积函数在某一点无限增大，即使题目写出的两端都是有限数。这个点可以位于端点，也可以藏在区间内部。

OpenStax《微积分》第2卷§3.7用极限定义这两种情况。区分它们很重要：把$\infty$当成数字直接代入，或者跨过内部奇点一步算完，可能得到看似合理却错误的答案。

极限有限，积分就收敛；结果无限增长，或者因为其他原因无法趋于有限值，就发散。收敛与发散的题目可能用到同一个原函数。因此，求出原函数只是工作的一部分。

可以反复使用的四步法

1. 找出所有可疑边界。 检查无穷远端、分母为零之处、超出定义域的对数，或任何函数无界的位置。若奇点在区间内部，必须先把积分拆开。

2. 用有限变量替换一处可疑边界。 写出由此得到的普通定积分。例如，对有限的$R>1$，把$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$改写成$\int_1^R f(x)\,dx$。

3. 计算这个普通积分。 这时原函数才发挥作用。代入有限端点前，检查定义域与符号。即使原函数很难求，也可能通过比较判断收敛性。

4. 求极限并明确判定。 不要只交出有限$R$或$\varepsilon$对应的式子。写出极限结果，并说明“收敛”或“发散”。如果因内部奇点而分段，两侧要各自独立计算。

按这个顺序写，别人能核对你检查了哪个边界，也能看出最终数字是否真来自极限。

无穷远处：一个有限面积，一个无限面积

先看收敛的例子：

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

区间永远不结束，但后面增加的面积足够小，所以总和趋近1。现在只改变分母的指数：

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

这个积分发散。$1/x$趋于零，不代表不断累积的面积有限；它下降得太慢。对照这两题：被积函数都趋于零，也都有初等原函数，只有一个积分的极限是有限的。

对于$\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$，分界线是$p=1$。$p>1$时收敛，$p\le1$时发散。这个简便规则由极限计算得来，也包括$p=1$的对数情况。若不确定指数或区间是否符合规则，就回到极限本身。

在端点：从另一侧遇到无穷大

题目写出的两个边界都是有限数，积分仍可能反常。$x=0$处$x^{-1/2}$无界。把下限换成$\varepsilon>0$：

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

函数在端点无限增大，积分却收敛。再看同一区间上的$1/x$：

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

这一题发散。不能把零代入$\ln x$，因为$\ln0$没有定义。真正的问题是极限。端点的一对例子与无穷区间的一对例子相互呼应：仅仅出现奇点不能决定收敛性，仅仅找到原函数也不能。

区间内部：不要跨过断点相消

最危险的捷径发生在奇点夹在两个看似普通的端点之间时。考虑

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

原函数$\ln|x|$在$-1$与$1$的值相同，很容易想写零。但是这样做跨过了$x=0$，而$1/x$在那里没有定义。微积分基本定理不允许跨着断点只做一次相减。在给整个表达式赋值前，先分别检查左右：

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{和}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

每一侧都需要自己的极限。取$\varepsilon>0$，左侧$\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$；右侧$\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$。两侧都不趋于有限值，原反常积分因此发散。

对称地挖去中间一段，对任何正的$\varepsilon$都能算出零，但那是另一种构造：柯西主值。它把两个发散的部分配对，让它们互相抵消，并非普通反常积分的值。南卡罗来纳大学的练习资料明确要求内部奇点两侧分别满足条件。

原函数难求时使用比较

不是每个反常积分都需要找到原函数。若被积函数非负，可把它与已知收敛性的函数比较大小。例如$x\ge1$时，

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

因为$\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$收敛，较小的非负积分$\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$也收敛。这样不用算出精确值就证明了收敛。OpenStax §3.7的比较定理给出了条件。不等式方向很重要：小于一个发散的函数，本身不能推出什么；小于一个收敛的非负函数，并且自己非负，才能继承收敛性。

交卷前检查答案

最后指出问题边界，看看解答的最后一行。只有原函数、把$\infty$当数字代进去、或者留下未定义的$\ln0$，都不算完成。内部奇点处需要左右两个有限的单侧极限。对称抵消不能替代检查。

快速试两题。$\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$收敛吗？同样的计算得$1/2$。$\int_0^1x^{-2}\,dx$呢？端点极限无限增大，因此发散。虽然两题出现相同的指数，问题边界与结果却不同。若答案出乎意料，请先写成有限边界的形式，再让极限说明原因。

Math Zen的极限指南能帮助完成最后一步。洛必达法则指南介绍适用于特定极限形式的工具，但不能代替寻找反常边界及必要的区间分割。只要把全部问题点与正确的单侧极限写清楚，剩下的便是普通积分计算。