蒙提霍爾問題：為什麼換門能讓中獎機率加倍

1990 年，一位讀者向 Marilyn vos Savant 的雜誌專欄提出了一個關於遊戲節目的簡短問題。她的回答是：你應該換門。這個答案引來大約一萬封抗議信，其中近一千封由博士簽名，許多人堅持專欄作家不該在基本機率上犯錯。她沒有錯，錯的是他們。

這就是蒙提霍爾問題值得你花時間的原因。它不是腦筋急轉彎，也不靠細小的附帶條款。它是一個完全公平的謎題，題目設定只有三行，卻能穩定地擊敗聰明人的直覺，包括專業數學家的直覺，直到他們看出自己漏掉的那一個不對稱之處。一旦你看見了，答案就不再顯得矛盾，而是顯得理所當然。

遊戲規則

這個謎題以電視遊戲節目《Let's Make a Deal》為藍本，該節目最早的主持人蒙提霍爾（Monty Hall）為它取了名字。設定如下：

有三扇關著的門。其中一扇後面是一輛車，另外兩扇後面是山羊。車是隨機放置的，所以在任何事情發生之前，每扇門藏著車的機率都是 $\frac{1}{3}$。

你選一扇門，比如說 1 號門。它維持關著。

主持人確切知道車在哪裡，他打開你沒選的兩扇門之一，而且他打開的一定是後面有山羊的門。假設他打開了 3 號門，一隻山羊正望著你。

現在還有兩扇門關著：你的 1 號門和沒被碰過的 2 號門。主持人讓你選擇：堅持 1 號門，或是換成 2 號門。

幾乎每個人的直覺都會說同樣的話：兩扇門，一輛車，各占一半，所以換不換都沒差別。直覺錯了。堅持不換，獲勝的機率是 $\frac{1}{3}$。換門，獲勝的機率是 $\frac{2}{3}$。換門確確實實讓你的機會加倍，而整個謎題就在於搞懂這額外的機率是從哪裡來的。

證明只是數一數

要看清答案，最乾淨的方法是注意到整場遊戲只由一個事件決定：你第一次選的門是否正確。

這就是整個證明。堅持不換，是在賭你盲目的第一次猜測是對的，這是一個機率 $\frac{1}{3}$ 的事件。換門，是在賭它是錯的，這是一個機率 $\frac{2}{3}$ 的事件。只有這兩種選擇，而且兩者並不接近。

如果你比較想看每一種情形都攤開來，那就把你的選擇固定為 1 號門，讓車的位置變動。車在 1 號門後：主持人打開 2 號門或 3 號門，堅持不換會贏，換門會輸。車在 2 號門後：主持人必須打開 3 號門，堅持不換會輸，換門會贏。車在 3 號門後：主持人必須打開 2 號門，堅持不換會輸，換門會贏。三個可能性相同的世界，換門在其中兩個贏。數出來的結果就是證明。

額外的機率從哪裡來

各占一半的直覺，來自一條通常很管用的經驗法則：兩個未知，沒有理由偏好其中一個，就把機率平分。這條法則本身沒有問題。錯在以為這兩扇關著的門是對稱的。它們並不對稱，因為它們有著非常不同的來歷。

你的門是你盲目選的，在任何事情被揭曉之前。之後發生的一切都與你的門無關：不論它後面藏不藏著車，主持人都不被允許碰它。所以從來沒有產生過關於你的門的任何資訊，它的機率停留在起點，也就是 $\frac{1}{3}$。

另一扇關著的門則經歷了一些事。主持人看了你沒選的那兩扇門，其中至少有一扇有山羊，並刻意從這一對門中排除了一隻山羊。他留下沒開的那扇門，要不是隨便一扇沒用的門（在你選對的那個 $\frac{1}{3}$ 的世界裡），就是車本身（在你選錯的那個 $\frac{2}{3}$ 的世界裡）。他的選擇受到真相的約束，而這種約束洩漏了資訊。那一對門原本擁有的 $\frac{2}{3}$ 機率，全部集中到其中唯一倖存的那一扇上。

100 扇門的版本，給還不信服的人

如果三扇門的論證仍然讓你覺得滑溜，就把規模放大。規則相同，100 扇門，一輛車，99 隻山羊。你選 1 號門。知道車在哪裡的主持人打開其餘門中的 98 扇，每一扇都是山羊，並且恰好留下另一扇門關著。堅持還是換？

你第一次選對的機率是 100 分之 1。在其餘 99 種情形中，車在你沒選的那些門之中，而主持人那 98 次的開門，是繞著車被迫進行的：他打開了除了車之外的所有門。他留下的那扇門不是隨機的倖存者，它在 100 次中有 99 次正是車必定所在的地方。

沒有人會在 100 扇門的遊戲中堅持不換。但三扇門的遊戲就是同一個遊戲。主持人的開門以完全相同的方式繞著車被迫進行，只是可看的東西少一點。如果在 100 扇門時換門顯然是對的，那麼舉證責任就落在主張三扇門有所不同的人身上，而上面逐一列出的情形顯示它們並無不同。

讓答案誠實的附帶細節

大眾的轉述通常略過這一段，而這正是知道答案與理解答案之間的差別。$\frac{2}{3}$ 這個結果取決於主持人的行為，而不只取決於你看到了什麼。

標準規則假設主持人總是會開一扇門，總是開一扇山羊的門，而且總是會提供換門的機會。改變這些規則，答案就會改變。經典的變體有時稱為「蒙提跌倒」（Monty Fall）：主持人滑了一跤，完全隨機地打開了兩扇沒被選的門之一，而它碰巧露出一隻山羊。同樣的門，同樣的山羊，螢幕上同樣的畫面。但現在換門的獲勝機率只有 $\frac{1}{2}$。

為什麼有這個差別？在標準遊戲中，主持人在每一個世界都會露出山羊，所以這個動作並沒有告訴你任何關於你選得對不對的資訊，你的門維持在 $\frac{1}{3}$。在蒙提跌倒中，隨機的主持人有時會意外地露出車。現在看到山羊本身就是證據，而且是對你原先選擇有利的證據，因為你選對的那些世界，絕不可能產生露出車的情形。把數字算出來，兩扇關著的門最後確實各是 $\frac{1}{2}$。

親自試一試，因為每個人都該試一次

蒙提霍爾問題有一個很大的好處：測試的成本很低。拿三個杯子和一枚硬幣，找一位朋友當主持人，或是用幾行程式碼自己模擬，或在紙上用骰子決定車的位置。玩三十輪都堅持不換，再玩三十輪都換門。

這個結果有一種論證所沒有的奇妙說服力。堅持不換者會收斂到大約三分之一的獲勝次數，換門者則收斂到大約三分之二，而在足夠多輪之後，這個規律就不再像悖論，而像是上面第 1 步的明顯結果：你盲目的第一次選擇通常是錯的，而換門正是把這一點兌現。在多次試驗中算出的平均值，也正是機率陳述得到意義的地方，這一點在統計直覺解析中有進一步探討。

從歷史上看，這個爭論也是這樣平息的。vos Savant 引發的風暴之後，美國各地的教室都做了這個實驗，而模擬在任何人願意跑到的小數位數上，都證實了 $\frac{2}{3}$。許多寫過憤怒來信的數學家，後來又寫了第二封比較不好意思的信。

它的禪意

蒙提霍爾問題之所以歷久不衰，是因為它是機率實際如何運作、人類直覺實際如何失靈的一個完美縮影。它擊敗的那種直覺，也就是對兩扇關著的門抱持對稱的無知，其實是一種好的直覺。只是它經不起一段不對稱來歷的考驗，而這個謎題把不對稱就藏在眼前：一扇門受到你的選擇保護，另一扇門是由知道答案的人挑選出來的。

注意是什麼解開了困惑。不是公式，也不是權威，而是計數。三個可能性相同的世界，對每個世界裡發生的事做誠實的統計，以及願意相信統計而不是感覺。這個動作，列舉各種可能性並數一數，就是機率的大部分內容，而且是可以學會的。

下一次當兩個選項感覺顯然各占一半時，值得問問蒙提霍爾的問題：這兩種可能性是以同樣的方式走到這裡的嗎？有時候是，那麼擲硬幣就是真的。而有時候其中一個是被某個知道些什麼的過程留下來的，機率就悄悄地、決定性地偏向一邊。

門不會記得。過程會記得。