歐拉數 e 是什麼？為什麼 e 等於 2.718

在計算機上輸入「e 的 1 次方」，它會回答 2.718281828。這個數就是歐拉數，寫作 e，它是少數每個數學分支最後都會碰到的常數：複利、人口成長、放射性衰變、機率，以及整個微積分。

這篇指南先給簡短的答案，再說明這個值從何而來、兩種計算方式，以及為什麼微積分把 e 視為指數最自然的底。如果指數本身讓你覺得不穩，請先看直覺理解指數，再回來這裡。

簡短的答案：e 是什麼，以及它的關鍵數值

e 的值約為 2.71828。更精確地說是 2.718281828459045...，小數不會終止也不會循環，因為 e 是無理數（MathWorld）。它是自然對數與自然指數函數 $e^{x}$ 的底。你也會看到它被稱為納皮爾常數，紀念 John Napier（Wikipedia）。

大多數關於 e 的搜尋，其實都是在問少數幾個值。這裡列出它們，精確到六位或更多位有效數字：

所以e 的 1 次方就是 e，約 2.71828。一次方時沒有發生任何特別的事；特別的是底數本身。

e 從哪裡來：複利

Jacob Bernoulli 在 1683 年研究連續複利時遇到了這個數，並證明它一定介於 2 和 3 之間（MacTutor）。他的問題很容易敘述。

把 1 元存進一個每年付 100% 利息的帳戶。如果在年底一次付清，你會有 2 元。現在把同樣的 100% 分成 n 次較小的給付，每次增加餘額的 $1/n$，並且讓每一次給付都能對之前的給付生利息。一年後你會有

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$

元。複利越頻繁，拿到的錢越多，但並非沒有上限：

從每月複利改成每日複利，大約多出一毛錢。從每日改成每小時，多出的還不到半分錢。餘額緩慢地爬向一個它永遠超不過的上限，而這個上限就是 e。OpenStax 微積分教材正是這樣定義它：當 m 增大時，$\left(1 + 1/m\right)^{m}$ 趨近一個數，而這個數就叫做 e（OpenStax Calculus Volume 1, section 1.5）。對於 t 年、利率為 r 的情形，同樣的想法給出連續成長公式 $A = Pe^{rt}$。

兩種一致的定義，以及各自趨近的速度

通往同一個數還有第二條路。把 1 除以每個階乘後加起來：

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

MathWorld 把這兩種形式都列為 e 的定義，而歐拉在 1748 年的《Introductio in analysin infinitorum》中把它們並列，書中他還把 e 算到小數點後 18 位（MacTutor）。它們產生同一個數，但速度差很多。下面是直接計算出來的收斂競賽；目標是 2.71828，也就是 e 的前五位小數：

收斂競賽：極限與級數

級數在 10 項之後就鎖定了 2.71828。極限需要 n 大約達到 743,000 才第一次出現 2.71828，即使走了一百萬步，小數第六位仍然是錯的。原因在於誤差的大小。每一個新的階乘項都比上一項小得多，所以級數的誤差縮小的速度比任何冪次都快。極限的誤差大致像 $e/(2n)$ 那樣縮小，所以步數多十倍，只多換到大約一位正確的數字。

實際的教訓是：極限解釋了 e 為什麼存在（它是複利成長的上限），而級數才是你實際計算它的方式。

為什麼微積分偏好 e

每一個 $b > 0$ 的指數函數 $b^{x}$，都是一條越往前走上升（或下降）得越快的曲線。它在任何一點的斜率都與高度成正比。對大多數底數來說，這個比例是個彆扭的常數：對 $2^{x}$，斜率大約是高度的 0.693 倍；對 $3^{x}$，大約是高度的 1.099 倍。

恰好有一個底數，使這個常數是 1，也就是每一點的斜率都等於高度。這個底就是 e。OpenStax 在導數那一章就是這樣定義 e：唯一一個其指數函數在 $x = 0$ 處斜率為 1 的底，由此可得

$$\frac{d}{dx}\, e^{x} = e^{x}$$

（OpenStax Calculus Volume 1, section 3.9）。一個等於自己導數的函數，讓與成長有關的微積分幾乎不費力氣：對 $e^{x}$ 微分，什麼都沒變；對它積分，也什麼都沒變。如果把導數當成斜率的概念對你很陌生，從零開始理解導數會一步步帶你建立。

自然對數寫作 ln，是 $e^{x}$ 的反函數：對 $x > 0$，$\ln(e^{x}) = x$ 且 $e^{\ln x} = x$。它的導數同樣簡潔，$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$。這就是為什麼科學家把以 e 為底稱為「自然」：它是能讓公式最短的底。我們的直覺理解對數指南，把 ln 與以 10 和以 2 為底的對數一起談。

前一節的級數也不是巧合。$e^{x}$ 的馬克勞林級數是 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/n!$（OpenStax Calculus Volume 2, section 6.3）；令 $x = 1$，就得到 e 的階乘和。

歐拉數、歐拉常數與歐拉恆等式

歐拉的名字附在太多結果上，所以搜尋時有三件不同的事常被搞混：

人們對它們的了解程度也不同。e 已被證明是無理數，並由 Charles Hermite 在 1873 年證明為超越數（MathWorld）。至於 γ，目前連它是否為無理數都還不知道（MathWorld, Euler-Mascheroni constant）。而歐拉恆等式根本不是一個數，而是關於 e 的虛數次方的敘述；我們的歐拉恆等式導讀說明了為什麼 $e^{i\pi}$ 會落在 -1。

使用 e 時的常見錯誤

把 e 當成變數。 在 $e^{x}$ 中，x 會變而 e 不會。解 $e^{x} = 5$ 的意思是對兩邊取 ln：$x = \ln 5 \approx 1.609$。

太早四捨五入。 在 $e^{3}$ 中用 2.7 代替 e，會得到 19.683，而不是 20.0855。請一直用計算機的 e，直到最後一步。

把 $e^{-1}$ 和 $-e$ 搞混。 負指數代表倒數：$e^{-1} = 1/e \approx 0.3679$，這是正數。$-e \approx -2.718$ 是另一個不同的數。

把 ln 和 log 搞混。 在大多數計算機上，「log」代表以 10 為底，「ln」代表以 e 為底。$\ln e = 1$，但 $\log e \approx 0.4343$。

練習 e

在核對答案前先試試這些：

1. 不用計算機，$e^{0}$、$e^{1}$ 與 $\ln 1$ 各是多少？
2. 化簡 $e^{2} \cdot e^{3}$ 與 $\ln\left(e^{7}\right)$。
3. 解 $e^{x} = 1$。

答案：1、e 與 0；$e^{5}$ 與 7；$x = 0$。

Math Zen 的對數練習會練習 ln 與換底，函數練習則包含指數函數，讓你一題一題把這些規則變成習慣。

常見問題

e 是有理數嗎？

不是。e 是無理數，它的小數不會終止也不會循環。Hermite 在 1873 年證明它也是超越數：它不是任何非零有理係數多項式的根。

為什麼叫做 e？

Leonhard Euler 在 1731 年寫給 Christian Goldbach 的信中用了這個字母，並在 1736 年的出版品中使用。沒有人確切知道他為什麼選 e；說他選的是自己名字的首字母，歷史學家並不支持。

e^2 是多少？

約 7.389。它是 e 乘以它自己，$2.71828 \times 2.71828$。

e 的 0 次方是多少？

恰好是 1，就像任何非零數的 0 次方一樣。