絕對值方程式：用距離的角度來解

$|x|$ 中的兩條直線，常常看起來像是又一條要背的指令。不妨把它們當成一個問題來讀：這個數離原點有多遠？

五離原點五步。負五離原點也是五步，只是方向相反。這就是為什麼 $|5| = 5$ 而且 $|-5| = 5$。絕對值保留了距離，丟掉了方向。

一旦這幅圖像清楚了，解絕對值方程式就變成尋找位於指定距離的位置。大家熟悉的兩種情況，是數線的結果，而不是加在代數上的花招。

距離可以是零，但不能是負的

絕對值給出的是非負的結果。「非負」很重要：零是允許的，所以說它總是讓數變成正的，略微不精確。

對實數 $x$ 來說，定義是：

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

第二行並不是說答案是負的。如果 $x = -7$，那麼 $-x = -(-7) = 7$。這個負號把一個本來就是負的數的方向反轉。我們的負數指南更詳細地解釋了這種反轉。

先算出絕對值符號裡面的式子，再取絕對值：

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

一般來說，你不能把絕對值符號分配到減法上。這裡 $|3| - |8| = -5$，結果並不相同。絕對值符號包住的是一整個式子，它的值才會變成一個距離。

為什麼會出現兩個答案

看看：

$$|x| = 6$$

哪些點離原點六個單位？有兩個：$x = 6$ 和 $x = -6$。兩個都滿足方程式，沒有哪一個比另一個更正確。

現在移動參考點：

$$|x - 4| = 6$$

式子 $x - 4$ 衡量的是 $x$ 與 4 之間帶符號的差。取它的絕對值，就得到這兩個點之間的距離。從 4 出發，向右或向左移動六個單位：

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{或} \quad x = 4 - 6 = -2$$

直接檢查兩個答案：$|10 - 4| = 6$ 而且 $|-2 - 4| = 6$。

參考點不一定要是正的。在 $|x + 3| = 2$ 中，在心裡把裡面改寫成 $x - (-3)$。中心是 -3，所以解是 -1 和 -5。

先把絕對值單獨留下再分情況

對於正的常數 $c$，基本規則是：

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{或}\; A = -c$$

這裡 $A$ 代表絕對值符號裡面的整個式子。使用規則之前，要用一般代數裡那些保持等式平衡的運算，把那個絕對值單獨留下。

解這個例子：

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

減去 4：

$$3|2x - 1| = 21$$

除以 3：

$$|2x - 1| = 7$$

現在分成兩個方程式：

$$2x - 1 = 7 \quad \text{或} \quad 2x - 1 = -7$$

第一個得到 $2x = 8$，所以 $x = 4$。第二個得到 $2x = -6$，所以 $x = -3$。

代回原方程式檢查，得到 $3|8 - 1| + 4 = 25$ 與 $3|-6 - 1| + 4 = 25$。兩個都成立。

不要只把 25 改成 -25 就把原方程式拆開。絕對值規則改變的是單獨留下的那個距離的正負號，而不是題目中每一項的正負號。Paul's Online Math Notes 在處理這類方程式時，也強調要單獨留下絕對值並檢驗。

在做更多代數之前，先檢查是否無解

假設方程式是：

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

減去 5 再除以 2，得到：

$$|x + 1| = -2$$

停。沒有任何實數的距離是負二。拆成 $x + 1 = -2$ 和 $x + 1 = 2$，只會替一個不同的問題製造出答案。

零是另一種獨立的情況：

$$|3x - 9| = 0$$

裡面必須是零，所以 $3x - 9 = 0$ 而且 $x = 3$。寫成正零和負零，會把同一個答案寫兩次。

對於單獨留下的、非常數一次式的絕對值，正的常數給出兩個解，零給出一個解，負的常數則無解。不要把這個捷徑延伸到每一種可能的絕對值方程式：裡面可能是二次式，或者右邊可能含有變數。

右邊有變數時需要檢查正負號

現在解：

$$|x - 2| = 2x + 1$$

左邊不能是負的，所以解必須滿足 $2x + 1 \geq 0$，也就是 $x \geq -\frac{1}{2}$。

使用兩個候選方程式：

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{或} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

第一個得到 $x = -3$。它不符合正負號的限制。檢查原方程式就能看出問題：左邊是 5，右邊卻是 -5。

第二個得到 $3x = 1$，所以 $x = \frac{1}{3}$。代入後，兩邊都是 $\frac{5}{3}$。這是唯一的解。

當某個運算可能引入不滿足原方程式的候選解時，檢驗特別有用。兩邊平方也可能這樣：它抹去了右邊是正是負的區別。

兩個絕對值是在比較兩個距離

兩邊都有絕對值符號的方程式，仍然可以很簡單：

$$|x - 1| = |x + 5|$$

這是在問一個點，它到 1 和到 -5 的距離相等。在數線上，那個點就是它們的中點 $x = -2$。

代數得到相同的答案。絕對值相等，表示裡面的式子相等或互為相反數：

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{或} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

第一個方程式化簡成 $-1 = 5$，所以無解。第二個變成 $2x = -4$，得到 $x = -2$。它到每一個參考點的距離都是 3。

這和含有和的方程式不同，例如 $|x - 1| + |x + 5| = 10$。你無法用一次分成兩種情況，就把所有的絕對值符號都去掉。這類問題通常需要依據每個裡面的式子何時改變正負號，來劃分區間。

圖形讓解的個數一目了然

$y = |x|$ 的圖形是一個 V 字形。在零的右邊，它沿著 $y = x$ 走。在左邊，它沿著 $y = -x$ 走。V 字的尖端是頂點。

對 $y = |x - 4|$ 來說，頂點移到 $(4, 0)$。解 $|x - 4| = 6$，意思是找出這個 V 字與水平線 $y = 6$ 相交的地方。有兩個交點，在 $x = -2$ 和 $x = 10$。

位於零的水平線，只碰到頂點一次。位於零以下的水平線，則完全錯過這個圖形。這就是畫在紙上的「兩個、一個或零個」規律。

把等號改成不等式，問的就是一個區域，而不只是交點。例如，$|x - 4| < 6$ 的意思是與 4 的距離小於 6，所以 $-2 < x < 10$。我們的不等式指南會發展這個下一步。

一套簡短的解題流程

先計算絕對值符號裡面任何數值的部分。然後單獨留下一個絕對值，檢視另一邊的正負號，只有在正負號允許時才分情況。解出每一種情況，並把每一個候選解代回原方程式檢驗。

可以在 Math Zen 的代數主題中練習這個流程，其中包含「絕對值」。先從距離的圖像開始，再去拿兩種情況的規則。如果你能說明參考點在哪裡、方程式要求什麼距離，代數就有了清楚的工作要做。