不等式的直覺理解：為什麼不等號會反向，答案又代表什麼

方程式問的是一個狹窄的問題：哪個數會讓兩邊相等？不等式問的是一個更寬的問題：哪些數會讓一邊比另一邊大？答案不是一個點，而是數線上的一段，而圍繞著不等式的多數困惑，就來自把這一段當成單一的值。

操作的方法大致與方程式相同。你用加、減、乘、除來把變數孤立出來。有一條規則不同，這也是大家都記得、卻很少人能解釋的那一條：乘以或除以負數時，不等號要反向。

這篇文章先建立一個讓反向變得顯而易見的畫面，然後用它來處理連續不等式、絕對值，以及二次的情況，在二次的情況裡，乘積的正負號就是整個問題。如果負數本身還讓你覺得難以掌握，我們的負數指南是個起點。

不等式是一個集合，不是一個數

看 $x + 2 < 7$。兩邊減 2，得到 $x < 5$。這不是「答案是 5」。答案是數線上 5 左邊的每一個數：4、0、$-100$、4.999，以此類推。5 本身被排除在外，所以在數線圖上，5 的位置畫空心圓，並把它左邊的部分全部塗上顏色。

把符號改成 $\le$，5 就加入這個集合：圓圈被填滿。這個小小的差異是真實的。「小於 5」與「至多 5」描述的是不同的集合，而一道問有幾個整數滿足某個不等式的考題，就取決於它。

把解寫成區間，可以讓這件事清清楚楚。$x < 5$ 是 $(-\infty, 5)$；$x \le 5$ 是 $(-\infty, 5]$。圓括號排除端點，方括號包含端點。不論你用哪種記法，都要在範圍內選一個數、範圍外選一個數，分別代入原本的不等式檢驗，來確認你的答案。

加減不會改變順序

想像數線上的兩個數，2 和 5。兩者都加 3：變成 5 和 8。兩者都減 10：變成 $-8$ 和 $-5$。每一次，第一個數都仍在第二個數的左邊。把兩個數平移相同的量，會移動整個畫面，卻不改變哪一個比較大。

這就是為什麼你可以在不等式的兩邊自由地加減任何東西，就跟方程式一樣。移項是安全的。不等號的方向不受影響。

乘以或除以正數也是如此。把 2 和 5 乘以 3，得到 6 和 15；順序保留下來。正數的縮放會拉長或壓縮數線，但永遠不會把它反轉。

乘以負數會把數線反轉

現在把 2 和 5 乘以 $-1$。你得到 $-2$ 和 $-5$。在數線上，$-5$ 位於 $-2$ 的左邊。順序已經翻轉了：$2 < 5$，但是 $-2 > -5$。

這就是整條規則。乘以負數，就是把數線以零為中心做一次反射，而反射會顛倒左右。每一個比較都隨之顛倒。所以，當你把不等式的兩邊乘以或除以一個負數時，必須把不等號反向，才能保持敘述為真。

用 $-3x > 12$ 走一遍。兩邊除以 $-3$ 並反向：$x < -4$。檢驗：$x = -5$ 得到 $-3(-5) = 15$，大於 12。$x = 0$ 得到 0，不大於 12。反向後的答案才是正確的。

如果反向讓你覺得很任意，就避開它。改成兩邊加上 $3x$：$0 > 12 + 3x$，再減 12：$-12 > 3x$，再除以正數 3：$-4 > x$。答案相同，沒有除以負數。兩條路都可以；重點是要知道這條規則為什麼存在，才能自己選擇。

不要除以你不知道正負號的東西

同樣的邏輯，解釋了一個連強的學生都會踩到的陷阱。考慮 $\frac{2}{x} > 1$。誘惑是兩邊同乘以 $x$，得到 $2 > x$。但如果 $x$ 是負的，這個乘法本來應該要反向，這時「解」就包含了不成立的負數：$x = -1$ 得到 $-2 > 1$，並不成立。

安全的方法是把所有項移到一邊，研究這個式子的正負號：$\frac{2}{x} - 1 > 0$，所以 $\frac{2 - x}{x} > 0$。當分子與分母同號時，這個分數是正的，這發生在 $0 < x < 2$。在數線上標出臨界點 0 和 2，幾秒鐘就能看出來。

每當變數出現在分母，或是你想除以的因式時，問問自己它的正負號是否已知。如果不知道，就分情況討論，或使用符號分析。

連續不等式是同時成立的兩個條件

像 $1 < 2x + 3 \le 9$ 這樣的敘述，是共用中間部分的兩個不等式：$1 < 2x + 3$ 與 $2x + 3 \le 9$。兩者必須同時成立。你可以分別解出來再取交集，也可以對三個部分同時施行每一個步驟，當變數只出現在中間時，這樣更快。

全部減 3：$-2 < 2x \le 6$。除以 2：$-1 < x \le 3$。解是區間 $(-1, 3]$：在 $-1$ 處是開的，在 3 處是閉的。

「或」這個字會產生不同的畫面。「$x < -1$ 或 $x > 3$」是中間隔著一段空隙的兩條分開的射線，解集合是它們的聯集，不是它們的重疊。在畫任何圖之前，先讀清楚連接詞。「且」會縮小範圍；「或」會擴大範圍。

絕對值不等式談的是距離

式子 $|x|$ 是 $x$ 到零的距離。一旦你這樣讀它，這兩種標準形式就不需要死背的規則了。

$|x| < 3$ 說的是到零的距離小於 3，所以 $x$ 嚴格落在 $-3$ 與 3 之間：$-3 < x < 3$。一個區間。

$|x| > 3$ 說的是到零的距離大於 3，所以 $x$ 在任一方向上都超過 3：$x < -3$ 或 $x > 3$。兩條射線。

同樣的畫面也適用於有平移的情況。$|x - 4| \le 2$ 的意思是 $x$ 到 4 的距離至多為 2，所以 $x$ 落在 4 的 2 以內：$2 \le x \le 6$。畫出中心，標出半徑，在你寫下一行代數之前，區間就出現了。

二次不等式：先找根，再檢查正負號

對於 $x^2 - 5x + 6 < 0$，先因式分解：$(x - 2)(x - 3) < 0$。當兩個因式異號時，乘積恰好為負。在數線上標出根 2 和 3；它們把數線分成三個區域。從每個區域各取一個數檢驗：$x = 0$ 得到正的乘積，$x = 2.5$ 得到負的乘積，$x = 4$ 得到正的乘積。不等式只在中間的區域成立，所以解是 $2 < x < 3$。

要避免的錯誤，是把不等式當成方程式處理，並報告「$x < 2$ 且 $x < 3$」，這作為合併的敘述是毫無意義的。根是區域的邊界，不是答案。我們的一元二次方程式指南涵蓋了如何找出這些根；不等式的那一步，永遠是接下來的符號檢查。

畫出拋物線的草圖，會得到相同的結果。$y = x^2 - 5x + 6$ 開口向上，在兩個根之間沉到軸的下方，所以只有在那裡是負的。對於開口向下的拋物線，圖形和答案都會反過來。

預防常見錯誤的檢查清單

1. 開始之前，先決定不等號是嚴格的還是包含等號的，並把這個選擇帶到最終的答案。
2. 加減可以自由進行。乘以或除以正數可以自由進行。
3. 當你乘以或除以負數時，在同一步就把不等號反向。把反向寫下來；不要只放在腦子裡。
4. 不要除以正負號未知的變數或式子。改為把各項移到一邊，分析符號。
5. 遇到「且」，取交集。遇到「或」，取聯集。把兩者畫在同一條數線上。
6. 把 $|\,\cdot\,|$ 讀成距離。小於給出一個區間；大於給出兩條射線。
7. 對二次不等式，找出根，在每個區域測試一個值，並報告不等式成立的區域。
8. 用解集合內的一個數和集合外的一個數檢驗答案。

在 Math Zen 的代數主題中練習這些，不等式的技巧每次都會產生新的題目，而且當符號檢查出錯時會顯示計算過程。代數指南涵蓋了不等式與方程式共用的解題步驟。

不等式是對一個區域的描述。上面的每一條規則，都是在移動或反射那個區域，同時不失去它在哪裡的方法。讓數線保持在視野之內，反向就不再是一條要死背的規則，而成為你看得到的東西。