代換積分法例題：怎麼選 u，並檢查每個答案

看看 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。沒有任何基本公式能直接積出這樣的乘積，但答案很簡短：$\sin(x^2)+C$。用連鎖律對 $\sin(x^2)$ 微分，會得到 $\cos(x^2)\cdot2x$，正好就是被積函數。代換積分法就是有系統地找出這類答案的方法。它把連鎖律倒過來用：找出內層函數，把它記為 $u$，讓它的導函數吸收剩下的因子。

本文講解六道代換積分例題：從最簡單的情況，到常數因子、對數、換上下限的定積分，以及需要把 $x$ 用新變數表示出來的代換。如果你對連鎖律本身還不夠熟，先用我們的連鎖律例題暖身；下面每一步驗算都會用到它。

一行寫出公式

OpenStax《微積分》第 1 冊 §5.5 這樣敘述不定積分的代換法：若 $u=g(x)$，且 $F$ 是 $f$ 的一個反導函數，則

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

實際計算時，寫出 $u=g(x)$ 和 $du=g'(x)\,dx$，把整個積分改寫成以 $u$ 表示的積分，積出來之後再代回原變數。判斷代換是否合適很簡單：改寫之後，不能再剩下任何 $x$。如果還有剩，要嘛把它用 $u$ 表示，要嘛換一個 $u$。

怎麼選 u

找一個包在另一個函數裡面的函數：在次方裡、在根號下、在指數上，或在三角函數、對數函數裡面。接著看它的導函數（可以差一個常數倍）是不是乘在其餘部分上。

最後一列很重要。$\int e^{x^2}\,dx$ 看起來和第二列很像，但少了因子 $x$，$du$ 就沒有東西可吸收，而且這個積分根本沒有初等反導函數。代換法不是萬能技巧，只有導函數在場時才行得通。

例題 1：導函數已經在場

求 $\int 2x(x^2+1)^5\,dx$。令 $u=x^2+1$，則 $du=2x\,dx$。因子 $2x\,dx$ 剛好就是 $du$：

$$\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C.$$

驗算：$\frac{(x^2+1)^6}{6}$ 的導函數是 $(x^2+1)^5\cdot2x$。把 $(x^2+1)^5$ 展開後逐項積分也可以，但要花多得多的時間，也更容易算錯。

例題 2：少一個常數因子

求 $\int xe^{x^2}\,dx$。令 $u=x^2$，得到 $du=2x\,dx$，但被積函數裡只有 $x\,dx$。兩邊除以二：$x\,dx=\frac{1}{2}\,du$。

$$\int xe^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+C.$$

把 $\frac{1}{2}$ 提到積分號外是允許的，因為它是常數。少掉的如果是含變數的因子，就不能這樣做：$\int e^{x^2}\,dx$ 無法靠寫成 $dx=\frac{du}{2x}$ 來補救，因為那樣 $x$ 會留在以 $u$ 為變數的積分裡。

例題 3：內層函數是對數

求 $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$，其中 $x>0$。令 $u=\ln x$，則 $du=\frac{1}{x}\,dx$：

$$\int\frac{\ln x}{x}\,dx=\int u\,du=\frac{u^2}{2}+C=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.$$

一個相關的常用結果來自 $\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$。令 $u=\cos x$，則 $du=-\sin x\,dx$，積分變成 $-\int\frac{du}{u}=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$。注意負號：它來自餘弦的導函數，這題最常見的錯誤就是漏掉它。

例題 4：換上下限的定積分

計算 $\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx$。令 $u=1+x^2$，則 $du=2x\,dx$，且 $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$。現在換上下限：當 $x=0$ 時，$u=1$；當 $x=1$ 時，$u=2$。

$$\int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_1^2 u^3\,du=\frac{1}{2}\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{15}{8}.$$

上下限一旦換成 $u$ 的值，就不必再代回原變數。OpenStax 給出的定積分代換公式正是這個形式：上下限變成 $g(a)$ 和 $g(b)$。經典錯誤是把新的被積函數配上舊的上下限 0 和 1，這裡會得到 $\frac{1}{8}$，和正確答案差了 15 倍。

合理性檢查：被積函數從 $x=0$ 處的 0 增加到 $x=1$ 處的 8，所以面積應該介於 0 和 8 之間，而且多半偏小，因為曲線只在右端附近才變陡。$\frac{15}{8}=1.875$ 符合。

例題 5：把剩下的 x 表示出來

求 $\int x\sqrt{x+1}\,dx$。取 $u=x+1$，則 $du=dx$。根號外還剩一個 $x$。從代換式把它解出來：$x=u-1$。

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx=\int(u-1)u^{1/2}\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{2}{5}(x+1)^{5/2}-\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C.$$

能這樣回代，是因為 $u=x+1$ 很容易反解。如果剩下的 $x$ 無法簡潔地用 $u$ 表示，這個代換多半選錯了。

例題 6：代換法不是合適的工具

試試 $\int xe^{x}\,dx$。最直接的候選 $u=x$ 什麼也沒改變；而 $u=e^x$ 會把 $x=\ln u$ 留在裡面，讓問題變成 $\int\ln u\,du$，無論如何都需要別的方法。這個乘積裡沒有內層函數和它的導函數並排出現。這時該用分部積分：其中一個因子微分之後會變簡單。

一個好習慣：測試 $u$ 的一兩個候選，最多花一分鐘。如果哪個都不能讓 $x$ 消失，就換方法，不要硬算。

要避免的錯誤

• 忘了 du。 寫下 $u=x^2$ 之後只替換內層函數，會讓 $dx$ 留在以 $u$ 為變數的積分裡。每個 $dx$ 都必須變成 $du$ 的倍數。
• 除以變數。 只有常數因子可以提到積分號外。
• 新積分配舊上下限。 兩個上下限都要換，或在代入數值前先回到 $x$。
• 答案停在 u。 不定積分要代回原變數，讓答案成為 $x$ 的函數，並保留 $+C$。
• 跳過驗算。 對答案微分只要幾秒，幾乎能抓出所有符號和常數上的疏忽。

練習題及答案

1. $\int 3x^2(x^3-4)^4\,dx$。令 $u=x^3-4$。答案：$\frac{(x^3-4)^5}{5}+C$。
2. $\int\sin^2x\cos x\,dx$。令 $u=\sin x$。答案：$\frac{\sin^3x}{3}+C$。
3. $\int e^{3x}\,dx$。令 $u=3x$，則 $dx=\frac{1}{3}\,du$。答案：$\frac{e^{3x}}{3}+C$。
4. $\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$。令 $u=\ln x$，上下限為 0 和 1。答案：$\frac{1}{2}$。

幾乎對任何積分，代換法都是第一個該嘗試的技巧；所以我們的積分直觀入門稱它為這一章的主力。替內層函數取個名字，確認它的導函數在場，把一切連同上下限都換過去，並在繼續之前對結果微分驗算。