二項分布例題：恰好、至少與至多的機率計算步驟

假設你擲一枚硬幣五次，想要恰好出現三次正面。某一種特定的順序，例如正正反正反，很容易計算。但是「正正反正反」只是得到三次正面的眾多方式之一。二項分布的計算同時做了兩件事：算出單一順序的機率，並把所有符合條件的順序都數進來。

這些二項分布例題會示範如何求恰好某個次數、至少一次成功，以及至多兩次成功。在使用公式之前，先確認情境是否真的符合條件。如果想先以較輕鬆的方式認識機率的語言，請參考認識機率。

先檢查二項分布的四項條件

二項模型是用來計算重複試驗中的成功次數。OpenStax 的二項分布單元所描述的模型，可以分成四個部分來檢查：

1. 試驗次數固定：在觀察結果之前就先決定好 $n$。
2. 每次試驗只有兩種結果：針對你要回答的問題，把其中一種結果標為成功，另一種為失敗。
3. 試驗彼此獨立：得知某一次的結果，不會改變另一次的機率。
4. 成功機率固定：每一次試驗都適用同一個 $p$。

如果四項都成立，令 $X$ 為成功次數，那麼 $X$ 可以是從 0 到 $n$ 的任何整數。「成功」這個標記並不表示該結果是好事。如果你要計算的是瑕疵品的個數，那麼瑕疵品在數學上就可以是「成功」，因為那正是你選擇要計數的事件。

考慮五道彼此獨立的題目，每題答對的機率是 $p=0.4$。我們固定為五題，把答對稱為成功，假設各題獨立，且每次的機率都維持 0.4。這就是一個二項分布的設定。

推導機率公式

要求 $n$ 次試驗中恰好有 $k$ 次成功，先從單一種排列開始。如果成功的機率是 $p$，失敗的機率就是 $1-p$。由於各次獨立，「$k$ 次成功與 $n-k$ 次失敗」這種排列的機率等於 $p^k(1-p)^{n-k}$。

接著數排列的個數。要從 $n$ 個試驗位置中選出哪 $k$ 個是成功，共有 $\binom{n}{k}$ 種方式。每一種排列的機率都相同，因此：

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

例如，5 次試驗中成功 3 次，共有 $\binom{5}{3}=10$ 種排列。你不需要把它們全部列出來。如果對這個計數項感到陌生，排列與組合會說明為什麼選出位置是組合問題，而不是排序問題。

作為快速的規模檢查，在這個模型下，成功次數的平均數是 $np$，變異數是 $np(1-p)$，這是 OpenStax 所給的結果。這些是整個分布的摘要，並不能取代某個特定次數的機率。若想了解變異數與標準差的差別，請參閱這篇指南。

例題 1：恰好成功三次

回到那五道獨立的題目，每題答對的機率 $p=0.4$。求恰好答對三題的機率。試驗次數是 $n=5$，所求的次數是 $k=3$。先代入這些數值，再使用計算機：

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

所以機率是 $23.04\%$。這個 $10$ 是在計算這三題答對可能出現在哪些位置。如果沒有它，$0.02304$ 只是某一種特定順序的機率，例如對、對、錯、對、錯。這是恰好次數類型的解答中最常漏掉的一項。

指數也能用來檢查設定：三次成功加上兩次失敗，等於五次試驗。如果你的指數相加不等於 $n$，就先停下來，不要急著計算。一個好用的計算習慣是，後續步驟都保留精確的小數 $0.2304$，只在寫出答案時才四捨五入。

例題 2：至少一次成功

假設四次獨立的嘗試，每次成功的機率都是 $0.3$。求至少一次成功的機率。這個說法包含成功一次、兩次、三次與四次。你可以把四個二項項目分別加起來，但它的補事件比較短：零次成功。

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

答案是 $75.99\%$。在選用補事件之前，先用文字讀一遍：「至少一次」只有在「一次都沒有」時才不成立。相對地，「至少兩次」的補事件則包含零次和一次。這種情況下如果只減去 $P(X=0)$，就會得到錯誤的答案。

注意 $P(X=0)=(1-p)^n$。組合數那一項是一，因為沒有任何成功的排列恰好只有一種。這個捷徑之所以成立，是因為各次試驗的機率相同且彼此獨立。

例題 3：至多兩次成功

現在想像六次獨立試驗，每次成功的機率是 $p=0.25$。「至多兩次」是指零次、一次或兩次。把這三種互斥的情況剛好加起來：

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

約為 $83.06\%$。這裡直接相加只需要三項。若用補事件 $1-P(X\geq3)$，則需要四項，比較不方便。遇到門檻很大的情況，先比較兩邊各有幾項，再計算項數較少的那一邊。計算機的累積二項分布功能可以幫上忙，但你仍然必須把不等號設定正確。回傳 $P(X\leq2)$ 的功能包含 2；回傳 $P(X<2)$ 的功能則不包含。

如果中間的小數太早四捨五入，加總後的結果可能會在最後一位小數上偏差幾個單位。加總時請保留完整精確度，最後才依要求的精確度對最終機率四捨五入。答案應該仍介於 0 與 1 之間。

不是二項分布的情況

你從一副標準撲克牌中不放回地抽三張牌，並計算 A 的張數。抽牌次數固定，每次抽出的結果也可以標為 A 或不是 A。但是在第一次抽牌之後，牌堆已經改變了。如果你抽到了 A，下一次抽到 A 的機率是 $3/51$；如果沒有抽到，則是 $4/51$。成功機率不再固定，各次抽牌也不是獨立的。因此，套用 $n=3$、$p=4/52$ 的二項公式，並不是精確的模型。

如果每抽完一張就把牌放回去並重新洗牌，這個簡化範例的機率固定與獨立假設就會恢復。這個區別比背公式更重要：先決定你在抽樣的是什麼，以及一次試驗會不會改變下一次。

試試三道題，再核對解答

1. 恰好兩次。 一個遊戲有五個獨立的回合，每回合獲勝的機率是 $0.2$。恰好贏兩回合的機率是多少？

解答： $n=5$，$k=2$，$p=0.2$。兩次獲勝的排列有 $\binom{5}{2}=10$ 種。因此

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

機率是 $20.48\%$。如果只算一種排列，就會得到 $0.02048$，是正確答案的十分之一。

2. 至少兩次。 四次獨立的嘗試，每次成功的機率都是 $0.5$。至少成功兩次的機率是多少？

解答：「至少兩次」排除了零次與一次。當 $p=0.5$ 時，用補事件很容易：

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

答案是 $68.75\%$。如果只減去零次成功，得到的反而是「至少一次」的答案。

3. 至多一次。 三次獨立的檢驗，每次出現陽性結果的機率是 $0.1$。至多出現一次陽性結果的機率是多少？

解答： 包含零次與一次，再相加：

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

答案是 $97.2\%$。

想進一步練習機率的基本功，可以使用 Math Zen 的機率練習。每一題最值得先做的第一步，仍然是檢查那四項條件。