變異數與標準差的差別：例題詳解指南

兩組人完成同一個拼圖，平均都花四分鐘。第一組每個人都是四分鐘完成。第二組有一半人花兩分鐘，另一半花六分鐘。兩組的平均數相同，但第二組的時間分散得多。變異數與標準差就是替這個差別標上數字。

它們衡量的是同一個底層特徵：圍繞平均數的分散程度，只是用不同的尺度來表示。變異數使用平方後的單位。標準差取它的平方根，回到原本的單位。如果資料的單位是分鐘，變異數的單位就是平方分鐘，標準差的單位則是分鐘。計算方式也會依據你的資料是涵蓋整個母體，還是只是一個樣本而有所不同。

這份指南會用一組資料從頭算到尾。如果你想先了解平均數、中位數與分布的整體概念，請先閱讀我們的統計入門。

從離均差開始

假設八次拼圖嘗試所花的分鐘數如下：

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

它們的總和是 $40$ 分鐘，所以平均數是 $40/8=5$ 分鐘。下一步是把每個時間都減去五。離均差為：

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

負數代表比平均更快；正數代表比平均更慢。這些離均差加起來是零，算術平均數的離均差永遠如此。所以直接取它們的平均，即使資料的數值差異很大，也會報告出零的分散程度。這毫無用處。把每個離均差平方，既能使它變成非負的，也讓較大的偏離有更大的影響力，NIST 關於尺度量數的參考資料就是這樣說明的。

以下是八個離差平方：

最後一欄的總和是 $32$ 平方分鐘。這個和是兩個統計量的引擎。從這裡開始，所觀察到的時間都不會再改變。分母則取決於這八個時間代表什麼。

如果這是整個母體

想像這八次嘗試，就是你所關心的那個小型比賽中的每一次嘗試。你是在描述這個完整的群體，而不是在估計一個更大、看不見的群體。把離差平方和除以資料個數 $N=8$：

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{平方分鐘}$$

這就是母體變異數，符號是 $\sigma^2$。接著取平方根：

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{分鐘}$$

這就是母體標準差。這個平方根並不是把計算還原，變成平均絕對距離。它是在離差已經被平方並合併之後，把單位與尺度還原。OpenStax 關於資料分散程度的章節給出了相同的母體符號與分母。

這裡的兩分鐘是什麼意思？它是以分鐘表示的、這些時間圍繞五分鐘平均數的分散程度。它並不表示每一個結果都落在五分鐘的兩分鐘範圍內：這份資料裡就有二和九。它也不表示必然有某個特定比例的資料落在那個範圍內。這類百分比規則需要對分布做出假設，而不是光憑算出來的標準差。

如果這是一個樣本

現在想像這同樣的八個時間，是從一個大得多的嘗試集合中選出來的，而你想估計那個更大的母體有多分散。觀察到的平均數 5，本身就是用這個樣本算出來的。通常的樣本變異數在分母使用 $n-1$：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{平方分鐘}$$

樣本標準差則是：

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{分鐘}$$

結果比母體的計算稍微大一些，因為同樣的和 $32$ 是除以七而不是八。這不是在寬鬆與嚴格的公式之間做選擇。它回答的是兩個不同的問題：把這八個值當成完整群體來描述，或是用八個觀察值去估計更大群體的分散程度。OpenStax 的資料科學教材列出了兩種公式與單位上的差別。

為什麼是七？樣本平均數是用這些同樣的觀察值配出來的，這往往會讓它們的離差看起來比相對於未知母體平均數的離差更小。在一般的抽樣設定下，使用 $n-1$ 可以修正變異數的這種偏低傾向。一個好用的記憶法是：固定樣本平均數之後，有七個離差可以自由變動；第八個必須讓它們的總和為零。更深層的統計理由，涉及樣本變異數在重複抽樣中的表現。對這篇文章來說，實用的規則就夠了：在除之前，先確定你手上的是母體還是樣本。

你應該報告哪一個數？

當計算需要平方後的分散程度，或是你正在使用以變異數定義的公式做進一步的統計工作時，使用變異數。當你想讓讀者把分散程度與原本的測量值比較時，使用標準差。「標準差約 2.14 分鐘」可以立刻與五分鐘的平均數比較；「變異數約 4.57 平方分鐘」在數學上是精確的，但比較難想像。

務必附上所採用的慣例。「SD = 2」與「SD = 2.14」都來自同樣的八個時間；如果沒有標明母體或樣本，讀者就無法知道它們為什麼不同。如果你的計算機提供 $\sigma$ 與 $s$，這兩個按鍵不能互換。完整母體的描述用 $\sigma$，樣本的計算用 $s$。

單位也很重要。如果數值的單位是公分，變異數的單位是 $\mathrm{cm}^2$，標準差的單位是公分。如果數值是沒有單位的得分，兩個結果也都沒有單位。把兩個數都稱為「分」，或都稱為「平方分」，就掩蓋了平方根做了什麼。

為什麼不直接用全距？

我們這組時間的全距是 $9-2=7$ 分鐘。這只告訴你兩個極端值之間的距離，對夾在中間的六個值毫無說明。只要固定二和九，改變中間的某個值，全距仍然是七，即使整體的樣貌已經改變。變異數與標準差使用每一個觀察值，所以中間值的改變會影響結果。

這個優點也帶來限制：平方會讓遠離的值具有相當大的影響力。在這份例題資料中，光是九分鐘的那次嘗試，就貢獻了 $32$ 平方分鐘總和中的 $16$。當大幅度的偏離很重要時，這是個優點，但這也表示在解讀單一的分散數字之前，你應該先看看資料。NIST 在比較各種分散量數時也指出，大的離差有較強的影響。標準差無法取代你對異常值或不對稱分布的察覺。

為了建立直覺，比較兩組各四個值、平均數都是四的資料：$[4,4,4,4]$ 與 $[2,2,6,6]$。第一組的離差平方為零，標準差也為零。第二組中，每個值都離四有兩個單位，所以每個離差平方是四。把每一組都視為完整的母體，它的變異數是四，標準差是二。光看共同的平均數，就完全錯過了這個區別。

常見的計算錯誤

在決定資料代表什麼之前就先除。 在計算上方寫下「母體」或「樣本」。母體用 $N$；用來估計母體的樣本變異數，則用 $n-1$。把兩者混用，是兩個看似正確的答案互不相同的最常見原因。

忘了開平方根。 總和除以分母得到的是變異數。標準差是那個數的平方根。如果題目要求兩者，就兩個都報告。

漏掉單位。 離差平方和與變異數的單位是平方單位；標準差的單位是原單位。這是檢查自己作答的快速方法。

把它稱為平均絕對差。 那是另一種量數，稱為平均絕對離差。標準差是先平方，再依母體或樣本的慣例取平均，最後開平方根。這些運算通常會得到不同的值。

每一列都四捨五入。 盡可能保留精確的離差平方與精確的分數。對這份資料來說，$32/7$ 比對四捨五入後的變異數開根號，能給出更準確的樣本標準差。

不抄表格自己練習

試試 $[1,3,3,5]$，並把這四個值當作完整的母體。平均數是 $3$。離均差是 $[-2,0,0,2]$，所以離差平方和是 $8$。母體變異數是 $8/4=2$ 平方單位，母體標準差是 $\sqrt{2}\approx1.4142$ 單位。如果這四個值構成的是一個樣本，就除以三：樣本變異數 $8/3\approx2.6667$，樣本標準差 $\sqrt{8/3}\approx1.6330$。

只把最後一個值從五改成九。在計算之前，先預測分散程度會不會上升。它會上升，但請重新做一遍算術：平均數也改變了，所以你不能只更新舊的離均差表中的一列。這是很好的練習，讓你看出為什麼平均數與分散程度必須一起計算。

等你能親手完成一張表格之後，Math Zen 的統計練習就很有用了。用它來練習辨識平均數、選擇正確的分母，以及檢查你答案的單位是否合理。如果樣本與母體的區別仍然感覺抽象，我們的機率指南解釋了為什麼要用樣本來推論更廣泛的一組結果。

常見問題

變異數一定比標準差大嗎？

不一定。它們的單位不同，所以直接比大小通常沒有意義。就數值而言，如果某個選定單位下的變異數小於一，它的平方根會比變異數大；如果大於一，它的平方根會比變異數小。改變單位可以改變這種數值上的比較，卻不會改變資料。

標準差可以是負的嗎？

不可以。離差平方是非負的，它們的總和是非負的，而用於標準差的平方根也是非負的。只有當所有觀察值都相等時，它才是零。

什麼時候用 n 減 1？

當樣本平均數是用那些資料算出來時，一般的樣本變異數與樣本標準差使用 $n-1$。當資料是你打算描述的整個母體時，使用 $N$。在碰計算機之前，先檢查題目的措辭。

要記住這個區別，最簡單的方法是什麼？

變異數是透過平方離差來衡量的分散程度。標準差是那個變異數的平方根，回到資料原本的單位。上面的例子從總共 $32$ 平方分鐘，到母體變異數 $4$ 平方分鐘，再到母體標準差 $2$ 分鐘。