Förstå partiella derivator intuitivt (lutning i en riktning)

En vanlig derivata är lutningen hos en kurva. Du har en ingång, en utsignal, och i varje punkt ett enda tal som säger hur snabbt utsignalen ändras. Den bilden faller i samma ögonblick som funktionen har två ingångar. En graf i tre dimensioner är en yta, inte en kurva, och en yta har ingen enda lutning. Från samma punkt kan du gå österut och hitta en mjuk stigning, eller norrut och hitta en nedgång.

Den partiella derivatan är den ärliga ersättningen. Den svarar på en smalare fråga: om jag håller alla andra ingångar stilla och bara går i den här riktningen, vad är lutningen? Resten av kapitlet, blandade partiella, gradienten, kedjeregeln i flera variabler, är samma fråga ställd längs mer än en väg.

En yta har ingen enda lutning

En funktion av en variabel ritar en kurva i planet. En funktion av två variabler, f(x, y), ritar en yta i rummet. Varje par (x, y) är en punkt på golvet, och f(x, y) är takets höjd ovanför den punkten.

Ta skålen

$$f(x, y) = x^{2} + y^{2}$$

I origo är höjden 0. Vid (1, 0) är den 1. Vid (0, 2) är den 4. Vid (1, 2) är den 5. Om du står vid (1, 2) förtjänar inget enda tal namnet «lutningen». Gå i x-riktningen och taket fortsätter stiga. Gå i y-riktningen och det stiger snabbare. Gå diagonalt och du får en blandning av de två.

Därför känner studenter som behärskar endimensionell analys att marken rör sig. Derivatan de litade på var en fullständig beskrivning av lokal förändring. På en yta är den bara beskrivningen av en vald promenad.

Väderkartor och topografiska kartor använder redan idén. En höjdkurva är en mängd punkter på samma höjd. Där kurvorna knölar sig är ytan brant. Där de sprids är den flack. En partiell derivata är lutningen du skulle mäta om du följde en rutnätslinje på den kartan och ignorerade den andra.

Håll en ingång stilla

Draget som gör ytan läsbar är ett snitt.

Fäst y vid en konstant, säg y = 2, och titta bara på hur höjden beror på x. Funktionen krymper till

$$g(x) = f(x, 2) = x^{2} + 4$$

en vanlig parabel som sitter fyra enheter ovanför x-axeln. Dess derivata är 2x. Det talet är den partiella derivatan av f med avseende på x, evaluerad längs linjen y = 2. Vid x = 1 är den 2: om du står vid (1, 2) och tar ett litet steg i x-riktningen stiger taket ungefär 2 höjdenheter per steglängd.

Fäst i stället x, säg x = 1, och snittet är

$$h(y) = 1 + y^{2}$$

med derivata 2y. Vid y = 2 är den lutningen 4. Samma punkt, annan promenad, annan lutning. Ingen motsägelse. Du ställde två olika frågor.

Räknemässigt är regeln densamma som i endimensionell analys. För att hitta $\frac{\partial f}{\partial x}$, behandla y som konstant och derivera i x. För att hitta $\frac{\partial f}{\partial y}$, behandla x som konstant och derivera i y. För skålen gäller $\frac{\partial f}{\partial x}$ = 2x och $\frac{\partial f}{\partial y}$ = 2y. Den andra variabeln syns inte ens, eftersom varje term i $x^{2} + y^{2}$ beror på bara en ingång. I en produkt som $3x^{2}$y syns båda: $\frac{\partial}{\partial x}$ ger 6xy, eftersom 3y är en fast koefficient till $x^{2}$, och $\frac{\partial}{\partial y}$ ger $3x^{2}$, eftersom $3x^{2}$ är en fast koefficient till y.

Frasen «håll den andra variabeln konstant» är inget provknep. Det är snittet. Du står på en rutnätslinje och frågar efter takets lutning längs den linjen.

Det krökta d är en varningsetikett

Symbolen ∂, det krökta d, finns så att det här snittet inte förväxlas med två andra derivator.

Det vanliga d i $\frac{df}{dx}$ tillhör en funktion av en variabel. Om någon skriver $\frac{df}{dx}$ för f(x, y) har de inte sagt vad som händer med y. Kanske är y oberoende och fryst, då är det den partiella. Kanske är y i hemlighet en funktion av x, då kan x ändra utsignalen genom båda kanalerna på en gång, och du behöver den totala derivatan. Det krökta d tillkännager den första läsningen: den här ingången rör sig, de andra inte.

Notationen grenar sedan ut i två vanor med samma betydelse:

• Leibnizform: $\frac{\partial f}{\partial x}$ och $\frac{\partial f}{\partial y}$
• indexform: $f_x$ och $f_y$

Båda är lutningen hos ett snitt. Högre partiella staplar indexen eller nämnarna. $f_xx$ är «skär i x, skär sedan den lutningen i x igen», den vanliga andraderivatan längs den rutnätslinjen. $f_xy$ är «skär i x, fråga sedan hur den x-lutningen ändras när du går i y».

Det krökta d är ingen ny algoritm. Potensregeln, produktregeln, kedjeregeln gäller fortfarande. Den nya informationen är vilka variabler som är frysta. Att glömma det är att läsa hela ämnet som om det vore nytt.

Blandade partiella mäter vridningen

När du har $f_x$ kan du derivera igen. Derivering med avseende på x ger $f_xx$, konkaviteten hos öst-västsnittet. Derivering med avseende på y ger den blandade partiella $f_xy$: hur öst-västlutningen själv ändras när du går norrut.

På skålen $x^{2} + y^{2}$ är $f_x$ = 2x, så $f_xy$ = 0. Öst-västlutningen beror bara på x. Att gå norrut ändrar den inte. Ytan är en cirkulär skål, rotationssymmetrisk, utan vridning.

På sadeln

$$f(x, y) = x^{2} - y^{2}$$

är de första partiella $f_x$ = 2x och $f_y$ = -2y. De blandade är åter båda noll. Det intressanta blandade exemplet är en produkt,

$$f(x, y) = x^{2} y$$

Här är $f_x$ = 2xy, sedan $f_xy$ = 2x. Från andra hållet är $f_y$ = $x^{2}$, sedan $f_yx$ = 2x. De två blandade stämmer överens.

Den överensstämmelsen är det vanliga fallet, inte en slump. För de släta funktionerna i en första kurs i flervariabelanalys är de blandade partiella lika: vridningen du känner när du går österut och sedan norrut är den du känner när du går norrut och sedan österut. Satsen har tekniska hypoteser (de blandade måste vara kontinuerliga); bilden har det inte. På en yta utan veck spelar ordningen på de två små stegen ingen roll.

När en lärobok ber dig «verifiera att $f_xy$ = $f_yx$» ber den dig kontrollera att ytan inte är vriden i en ordning och inte i den andra. För varje funktion i en introduktionskurs stämmer det, och räkningen är övning på snittregeln, inte en ny idé.

Gradienten samlar lutningarna

Två första partiella i en punkt är två tal. Skrivna som ett par blir de en vektor i ingångsplanet:

$$\nabla f = (f_x, f_y)$$

Den vektorn är gradienten. Varje komponent är lutningen hos ett snitt, så hela objektet är en resa: «så långt österut, så långt norrut» i golvkoordinaterna, inte i höjden. Resan pekar i riktningen för brantaste stigning. Längden är hur brant den klättringen är. Den motsatta resan, -$\nabla f$, pekar nedåt, därför går gradientnedstigning mot gradienten.

Vid (1, 2) på skålen $x^{2} + y^{2}$ är gradienten (2, 4). Från den golvpunkten är den snabbaste vägen upp på taket riktningen hos vektorn (2, 4), samma riktning som (1, 2) själv. Den brantaste vägen på en cirkulär skål går radiellt utåt, vilket bilden redan antydde och gradienten bekräftar.

En punkt där båda partiella försvinner är en kritisk punkt. Gradientresan har längd noll: i första ordningen går ingen riktning uppåt eller nedåt. Det kan vara ett minimum (bottnen av skålen, i origo), ett maximum (toppen av en kulle) eller en sadel (ett bergspass: ett minimum längs ett snitt och ett maximum längs ett annat). Sadeln $x^{2} - y^{2}$ har en kritisk punkt i origo. x-snittet är en dal, y-snittet en rygg, och gradienten är noll därför att de två lutningarna av första ordningen tar ut varandra i ett plant ögonblick, inte i en plan omgivning.

Optimering i flera variabler är den här sökningen. Hitta var gradienten är nollresan, läs sedan de andra partiella, eller de närliggande snitten, för att se om du har en skål, en kulle eller ett pass. Andraderivatatestet med D = $f_xx$ $f_yy$ - ($f_xy$)² är en förpackad version av den läsningen. D självt är inte idén. Idén är att de två snitten, och vridningen mellan dem, klassificerar punkten.

Kedjeregeln i flera variabler är samma parning i rörelse. Om en bana (x(t), y(t)) går över golvet ändras höjden längs banan med takten

$$\frac{df}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$$

vilket är skalärprodukten av gradienten och banans hastighet. Ytan erbjuder en resa av lutningar. Banans erbjuder en resa av rörelse. Deras överenskommelse är takten med vilken höjden ändras för någon som faktiskt går. När banan är parallell med gradienten ändras höjden så snabbt som möjligt. När den är vinkelrät är höjden ögonblickligen konstant, och det är den geometriska innebörden av en höjdkurva.

Varifrån felen kommer

Fel med partiella derivator är nästan alltid att man inte fryser rätt variabel.

Det första: derivera allt i sikte. Ombedd om $\frac{\partial}{\partial x}$ av $3x^{2}$y skriver en student 6xy + $3x^{2}$, summan av båda partiella, eller 6x, som om y vore x. Snittregeln är strängare: y är ett tal under den här derivatan. I svaret stannar det bara som koefficient.

Det andra: tro att en yta har en enda lutning. Programvara som färglägger efter höjd kan dölja det, eftersom ögat läser en enda branthet. Fråga efter lutningen i en punkt och du måste svara «i vilken riktning?» En partiell derivata är ett sådant svar. Gradienten är samlingen av de axelriktade svaren. Ingen av dem är «takets» lutning.

Det tredje: blanda ihop ∂ och d. Om y verkligen beror på x är det fel modell av läget att frysa y. Relaterade hastigheter och vissa differentialekvationer behöver den totala derivatan, som låter varje beroende kanal bidra. En partiell derivata är korrekt när de andra ingångarna verkligen är oberoende, eller när du avsiktligt studerar en kanal.

Det fjärde: behandla en nollgradient som ett garanterat minimum. Origo för $x^{2} - y^{2}$ är kritiskt och är varken min eller max. Planhet av första ordningen är inte planhet av andra. Du måste ändå titta på snitten.

Det femte: läsa $\nabla f$ som ett värde av f. Gradienten är inte höjden. Den är en resa i ingångsplanet, byggd av lutningar. Att blanda ihop dem är samma förväxling som vektorartikeln varnade för: att behandla en riktning som om den vore en plats.

Var Math Zen passar in

Partiella derivator vilar på vanliga derivator så som matriser vilar på vektorer. Om de endimensionella reglerna fortfarande är verbala blir varje snitt ett ritual. Om de är flytande är en partiell derivata ett extra beslut: vilken ingång som rör sig.

Övningen med partiella derivator i Math Zen följer den ordningen. Tidiga hinkar borrar själva snittet: given f(x, y), skriv $f_x$ och $f_y$ genom att behandla den andra variabeln som konstant. Senare hinkar staplar derivator ($f_xx$, $f_xy$, $f_yx$), sätter ihop gradienten, tillämpar kedjeregeln längs en bana och klassificerar kritiska punkter. Bilderna i den här artikeln är exakt den listan.

En användbar slinga: välj en funktion av två variabler, rita de två snitten i en punkt, beräkna båda första partiella, bilda gradienten och säg högt åt vilket håll det lutar uppåt. Kom sedan tillbaka efter en paus, med samma schema för spaced repetition som resten av analysföljden. Målet är inte att memorera att «y är konstant». Det är att se en yta och veta vilken promenad du gör.

Kort sagt

En partiell derivata är lutningen hos en yta i en riktning, medan varje annan ingång hålls stilla. Det krökta d markerar den frysningen. Blandade partiella frågar hur ett snitts lutning ändras när du går längs den andra axeln, och på en slät yta stämmer de två ordningarna överens. Gradienten samlar de första partiella till en resa som pekar uppåt. Kritiska punkter är där den resan försvinner, och de kan vara skålar, kullar eller sadlar.

Hållet så är flervariabelderivering inte en ny sorts analys. Det är vanlig analys, riktad längs en rutnätslinje i taget, sedan hopfogad igen. Ytan har många lutningar. En partiell derivata är vad du får när du äntligen säger vilken du menar.