Förstå differentialekvationer intuitivt: riktningsfält

En vanlig ekvation frågar efter ett tal. Den ger dig ett påstående som 2x + 3 = 11 och frågar vilket värde som gör det sant. En differentialekvation frågar efter en kurva. Den ger dig en lokal regel för förändring och frågar vilka hela lösningskurvor som kan följa den.

Det skiftet gör att ämnet först känns främmande. Det okända är en funktion, svaret innehåller ofta en godtycklig konstant och en punkt på en kurva räcker inte. Ekvationen beskriver hur kurvan måste röra sig genom ett helt intervall.

Ett riktningsfält av korta linjesegment gör explicita differentialekvationer av första ordningen begripliga. För en ekvation skriven som y' = F(x, y) får varje punkt där F är definierad ett segment som visar åt vilket håll en kurva ska luta. En lösning är en bana som följer dessa riktningar. När du ser fältet slutar lösningsfamiljer, begynnelsevillkor och exponentiell tillväxt att se ut som separata knep.

En differentialekvation är en regel för förändring

En derivata berättar hur snabbt en storhet förändras. En differentialekvation vänder på idén. Den ger dig ett samband som innehåller derivatan och ber dig återskapa storheten.

Betrakta

$$y' = 2y$$

Primtecknet betyder derivatan av y med avseende på x. Ekvationen säger att förändringstakten alltid är dubbelt så stor som det aktuella värdet. När y är 1 måste lutningen vara 2. När y är 3 måste lutningen vara 6. När y är negativt måste lutningen vara negativ. Regeln berättar inte direkt funktionsvärdet vid ett visst x. Den beskriver hur funktionsvärdet och lutningen hänger ihop.

Det här är den centrala omvändningen:

• I analys känner du funktionen och beräknar dess förändringstakt.
• I en differentialekvation känner du en regel för förändringstakten och återskapar funktionen.

Ekvationen y' = 2y är av första ordningen eftersom dess högsta derivata är förstaderivatan. En ekvation som innehåller y'' är av andra ordningen. Ordningen anger vilken högsta derivata som förekommer, inte hur svår ekvationen ser ut.

Det är också en ordinär differentialekvation, eller ODE, eftersom y beror på en oberoende variabel. Om en temperatur beror på både position och tid använder modellen partiella derivator och blir en partiell differentialekvation, eller PDE. Samma stora idé finns kvar, men den här artikeln håller sig till ODE:er: en oberoende variabel, en lösningskurva som utvecklas.

Lösningen är en funktion, inte ett tal

För att lösa y' = 2y behöver du en funktion vars derivata är dubbelt så stor som funktionen själv. Exponentialfunktioner beter sig precis så. Prova

$$y = Ce^{2x}$$

där C är en godtycklig konstant. Derivera den:

$$y' = 2Ce^{2x}$$

Eftersom y självt är $Ce^{2x}$ säger detta att y' = 2y. Den föreslagna funktionen uppfyller ekvationen för varje x och är därför en lösning.

Lägg märke till hur kontrollen fungerar. I en algebraisk ekvation sätter du in ett tal. I en differentialekvation deriverar du en funktion och sätter in resultatet. En korrekt lösning måste följa regeln överallt i det intervall du betraktar, inte bara gå genom en lämplig punkt.

Konstanten C betyder inte att arbetet är ofärdigt. Den är en del av svaret. Ekvationen beskriver en familj av kurvor:

• $C = 1$ ger $y = e^{2x}$.
• $C = 3$ ger $y = 3e^{2x}$.
• $C = -2$ ger $y = -2e^{2x}$.
• C = 0 ger den konstanta lösningen y = 0.

Varje medlem följer samma tillväxtregel men börjar på en annan höjd. En lag för förändring kan inte berätta var historien började. Det är exakt den saknade startinformationen som konstanten lagrar.

Det är också därför integration introducerar en additiv konstant. Derivering raderar konstanta lodräta förskjutningar eftersom deras derivata är noll, så när processen vänds måste varje möjlig förskjutning finnas kvar. Senare algebra kan ändra hur parametern ser ut. I det här exemplet gör exponentiering $e^{C}$ till en multiplikativ konstant framför $e^{2x}$.

Riktningsfält gör regeln till ett landskap

Du kan förstå en explicit ekvation av första ordningen y' = F(x, y) innan du löser den symboliskt. Ta ett rutnät av punkter där F är definierad. Beräkna den föreskrivna lutningen vid varje punkt och rita sedan ett kort linjesegment med den lutningen. Resultatet kallas ett lutningsfält eller riktningsfält.

För y' = 2y beror lutningen bara på höjden:

• Längs y = 0 är varje segment vågrätt.
• Längs y = 1 har varje segment lutningen 2.
• Längs y = -1 har varje segment lutningen -2.
• Ju större ett positivt y-värde är, desto brantare pekar segmenten uppåt.
• Ju mindre ett negativt y-värde är, desto brantare pekar segmenten nedåt.

Fältet ser ut som vågräta band med samma lutning. En lösningskurva kan börja i vilken punkt som helst, men därefter måste den följa de lokala segmenten. Positiva lösningar böjer uppåt och växer. Negativa lösningar faller bort från noll. Nollösningen förblir platt eftersom varje pil på den linjen är vågrät.

Den här bilden skiljer ekvationen från en enskild lösning. Differentialekvationen skapar hela fältet. Varje lösning är en tråd genom det.

Den låter dig också förutsäga beteende utan att hitta en formel. Om segmenten pekar uppåt i ett område ökar lösningarna där. Om de är vågräta längs y = c för varje relevant x är y = c en konstant jämviktslösning. Om närliggande segment pekar mot den linjen dras närliggande lösningar tillbaka till den. Om de pekar bort växer små störningar. I tillämpningar är just denna kvalitativa förståelse ofta viktig: förstå hur lösningar kan bete sig innan du härleder deras exakta formler.

För y' = 2y förändras högerledet mjukt med y, så de vanliga villkoren för existens och entydighet garanterar en lösning genom varje punkt. Riktningsfältet illustrerar resultatet men bevisar det inte. Att dela en punkt och lutning räcker inte för varje ekvation: mindre reguljära högerled kan tillåta att lösningar möts och senare skiljs åt.

Begynnelsevillkor väljer en bana

Lägg nu till villkoret y(0) = 3 till samma ekvation. Det är ett begynnelsevillkor: kurvan går genom punkten (0, 3). Börja med lösningsfamiljen

$$y = Ce^{2x}$$

och sätt in den kända punkten:

$$3 = Ce^{0} = C$$

så den särskilda lösningen är

$$y = 3e^{2x}$$

Differentialekvationen gav familjens form. Begynnelsevillkoret valde en medlem. I riktningsfältet markerar det punkten (0, 3), så att bara lösningskurvan genom den punkten återstår.

För reguljära begynnelsevärdesproblem följer antalet villkor du normalt behöver ekvationens ordning. En hastighetslag av första ordningen y' = v(x, y), där hastigheten redan är angiven, behöver vanligtvis en begynnelseposition. En accelerationslag av andra ordningen behöver i allmänhet både en begynnelseposition och en begynnelsehastighet.

Ta till exempel den normaliserade ekvationen för en odämpad fjäder

$$y'' + y = 0$$

Den säger att accelerationen pekar tillbaka mot jämvikten. Den fysikaliska formen är m y'' + k y = 0. Om man väljer enheter där k/m = 1 får man den normaliserade ekvationen ovan. Lösningarna kombinerar sinus och cosinus. Att bara känna startpositionen berättar inte om fjädern släpptes från vila eller redan var i rörelse. Lägg till starthastigheten så blir rörelsen bestämd.

Variabelseparation betyder att lösa upp kopplingen

Ekvationen y' = 2y kan lösas systematiskt och behöver inte bara gissas. Skriv derivatan som $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = 2y$$

För alla y-termer till sidan med dy och alla x-termer till sidan med dx:

$$\frac{dy}{y} = 2 dx$$

Integrera nu båda leden:

$$\ln|y| = 2x + C$$

Exponentiering ger

$$y = Ae^{2x}$$

Här är A i det här steget inte noll, eftersom divisionen med y uteslöt y = 0. Testa den uteslutna funktionen i den ursprungliga ekvationen: y = 0 fungerar. Den fullständiga familjen kan därför skrivas y = $Ae^{2x}$ för varje reell konstant A, inklusive noll.

Metoden kallas variabelseparation eftersom den skiljer allt som innehåller y från allt som innehåller x före integreringen. Den fungerar för ekvationer som kan skrivas om till formen

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

men algebran innehåller en fälla. Division med g(y) kan kasta bort lösningar där g(y) = 0. I exemplet uteslöt divisionen med y tillfälligt jämviktslösningen y = 0.

För de släta ekvationer som brukar introduceras med variabelseparation blir familjen fullständig när uteslutna jämviktslösningar läggs tillbaka. Mindre reguljära ekvationer kan också ha styckvisa lösningar som stannar vid en jämvikt en tid innan de lämnar den. Variabelseparation är därför inget universellt fullständighetsbevis. Efter division eller omskrivning ska du testa den härledda familjen och varje uteslutet värde mot den ursprungliga ekvationen.

Tillväxt, avklingning och svängning följer olika regler

Små förändringar i en differentialekvation skapar mycket olika typer av rörelse.

Modellen

$$y' = ky$$

beskriver exponentiell tillväxt för positiva storheter när k är positivt och exponentiell avklingning mot noll när k är negativt. Mer allmänt växer beloppet av varje lösning som inte är noll för positivt k och krymper för negativt k. Modellen dyker upp när förändringstakten är proportionell mot den aktuella mängden. Idealiserad befolkningstillväxt, kontinuerlig förräntning och radioaktivt sönderfall är välkända exempel. Samma formel gör inte varje verklig befolkning eller investering exponentiell för alltid. Den säger att exponentiellt beteende följer om antagandet om proportionell takt fortsätter att gälla.

Fjäderekvationen y'' + y = 0 ger i stället svängning. Dess lösningar byggs av sinus och cosinus eftersom deras tecken vänds när de deriveras två gånger. Jämför den med

$$y'' - y = 0$$

vars lösningar byggs av exponentialfunktioner, eller likvärdigt av hyperboliska funktioner. Tecknet avgör om systemet dras tillbaka till en upprepad rörelse eller skjuts mot tillväxt och avklingning.

Verkliga modeller lägger till termer för yttre krafter, friktion, begränsade resurser eller samspel mellan flera storheter. En logistisk befolkningsmodell bromsar tillväxten nära en bärförmåga. En dämpad fjäder tappar amplitud med tiden. Ett system av differentialekvationer kan följa flera storheter som förändras tillsammans. Varje ny term ändrar den lokala regeln och därmed vilka banor systemet kan följa.

Var misstagen uppstår

Det första misstaget är att leta efter ett tal. I en differentialekvation är det okända vanligtvis en funktion. Om ditt svar är ett enda värde på y utan att någon frågat efter ett värde i en viss punkt har du antagligen slutat för tidigt.

Det andra är att bara kontrollera ett begynnelsevillkor. Att en kurva går genom (0, 3) gör den inte till en lösning av y' = 2y. Oändligt många kurvor går genom den punkten. Kurvan måste också uppfylla derivataregeln genom hela intervallet.

Det tredje är att utelämna den godtyckliga konstanten. En differentialekvation utan tillräckligt många villkor beskriver normalt en familj. Om du skriver en medlem som om den vore hela svaret kastar du bort giltiga förlopp.

Det fjärde är att förlora en jämvikt vid division. Om du dividerar med y, y - 1 eller något annat uttryck som innehåller den okända funktionen ska du stanna och testa uttryckets nollvärden i den ursprungliga ekvationen.

Det femte är att behandla en modell som om den vore själva verkligheten. y' = ky ger exponentiell tillväxt eller avklingning eftersom den antar en konstant proportionell takt. Ett verkligt system följer kurvan bara så länge antagandet är en användbar approximation. Att lösa ekvationen korrekt bevisar inte att den var rätt modell.

Var Math Zen passar in

Differentialekvationer kombinerar flera färdigheter som ofta lärs ut i separata kapitel. Du behöver läsa en derivata som en förändringstakt, skriva om algebra utan att förlora fall, känna igen när en exponentialfunktion förblir proportionell mot sig själv efter derivering, integrera båda leden och använda ett begynnelsevillkor för att bestämma den återstående konstanten. En svaghet i ett enda lager kan få hela metoden att verka mystisk.

Math Zen innehåller övningar med separabla och linjära differentialekvationer av första ordningen, ekvationer av andra ordningen, homogena, exakta och Bernoulli-ekvationer samt system av ordinära differentialekvationer. Ställ samma tre frågor som i den här artikeln innan du räknar: vilken förändring kräver ekvationen, vilken familj av banor kan följa den och vilka villkor väljer den bana du behöver?

Den användbara övningsloopen är enkel: klassificera en ekvation, förutsäg lösningarnas riktning, lös eller kontrollera den och granska sedan begynnelsevillkoret och alla uteslutna jämvikter. Återvänd till blandade uppgifter efter ett uppehåll enligt samma metod med spridd repetition som används i resten av Math Zen. Målet är inte att memorera en hel samling lösningsrecept. Det är att se vilken regel för förändring du har framför dig.

Slutsatsen

En differentialekvation beskriver ett samband mellan en storhet och hur den förändras. Dess lösning är en hel funktion, ofta en medlem i en familj. Den godtyckliga konstanten lagrar var banan kan ha börjat, och ett begynnelsevillkor väljer banan som stämmer med den faktiska startpunkten.

För explicita ekvationer av första ordningen håller bilden av riktningsfältet ihop ämnet. Den lokala regeln fyller definitionsmängden med tillåtna riktningar och en lösning följer dem. Variabelseparation, begynnelsevärdesproblem, tillväxt, avklingning och svängning är olika sätt att läsa landskapet eller följa en väg genom det. En differentialekvation förvandlar en lokal regel för förändring till en global kurva.