Partiella derivator: övningsuppgifter med fullständiga lösningar

Bestäm båda partiella derivatorna av $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Om du får $2x$ och $6y$ har du tappat en koefficient och en hel term. Att hålla en variabel konstant betyder att behandla den som ett tal, inte att stryka varje term som innehåller den. Det korrekta paret är $f_x=2xy$ och $f_y=x^2+6y$.

Den här övningsserien börjar med det misstaget och går vidare till produkter, sammansatta funktioner, blandade derivator och numeriska kontroller. Försök lösa varje uppgift innan du läser lösningen. Skriv vilken variabel du håller fast bredvid din första rad. Den lilla anteckningen gör många felaktiga svar lättare att upptäcka.

För bilden bakom beräkningen kan du läsa den intuitiva guiden till partiella derivator. Här ligger tonvikten på att utföra algebran och kontrollera svaret, inte på att introducera ytor och gradienter en gång till.

Regeln att skriva över uträkningen

För $f_x$ deriverar du med avseende på $x$ och behandlar $y$ som en konstant. För $f_y$ byter du deras roller. OpenStax definition av partiella derivator visar uttryckligen den fasta indata i differenskvoten. Sedan gäller de vanliga deriveringsreglerna för variabeln som ändras.

När $y$ hålls fast är till exempel $y^2$ en konstant, medan $xy^2$ är en konstant multiplicerad med $x$. Derivatorna med avseende på $x$ är därför olika:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Sätt inte in båda koordinaterna före deriveringen. Om du sätter in en hel punkt blir uttrycket ett tal och den närliggande förändring du behöver försvinner. Derivera först, beräkna värdet sedan. Att bara sätta in den koordinat som hålls fast går däremot bra och ger en användbar oberoende kontroll.

Uppgift 1: polynom med två oberoende indata

Bestäm $f_x$ och $f_y$ för

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

och beräkna båda i $(1,2)$.

Med avseende på x: håll $y$ fast. Koefficienterna till $x^3$ och $x$ är $2y$ och $-5y^2$. Den sista termen ändras inte:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Med avseende på y: håll $x$ fast. Den första termen är linjär i $y$, den andra kvadratisk och den tredje linjär:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

I den begärda punkten gäller

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Båda derivatorna är negativa där. Deras tecken bestämmer inte funktionsvärdet: höjd och lutning är olika storheter. Kontrollera det första svaret oberoende genom att sätta $y=2$ i ursprungsfunktionen. Då får du $4x^3-20x+14$, vars vanliga derivata är $12x^2-20$. Vid $x=1$ blir värdet återigen $-8$.

Uppgift 2: produkt och exponentialfunktion

Bestäm båda partiella derivatorna av

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

För $g_x$ beror båda faktorerna på $x$, så använd produktregeln. Exponentialfunktionen kräver också kedjeregeln: när $y$ hålls fast är derivatan av $xy$ lika med $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

För $g_y$ är faktorn $x^2$ konstant. Bara exponentialfunktionen förändras, och derivatan av exponenten med avseende på $y$ är $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

I $(1,0)$ blir värdena $g_x=2$ och $g_y=1$. Ett vanligt felsvar är $g_x=2xe^{xy}$. Där har den första faktorn deriverats, men att den andra också beror på $x$ har glömts. Ett annat felsvar byter ut den inre derivatan mot 1 i båda beräkningarna och tappar skillnaden mellan $x$ och $y$.

Om du behöver mer övning i att hitta den inre funktionen delar exemplen med kedjeregeln upp varje nivå innan faktorerna sätts ihop igen.

Uppgift 3: logaritmer, bråk och definitionsmängd

Låt

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

Logaritmen kräver $x^2+2y^2>0$, så origo är utesluten. Överallt annars deriverar du insidan och delar med insidan:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

I $(2,1)$ är nämnaren 6, så båda derivatorna är $2/3$. Den likheten gäller bara i just den punkten. Den betyder inte att de två derivatafunktionerna är identiska.

Nämnaren ger en viktig varning. Varken ursprungsfunktionen eller formlerna har något värde i $(0,0)$. En uträkning som ger noll där har satt in värden i ett odefinierat bråk. Kontrollera definitionsmängden innan du beräknar ett värde, särskilt i uppgifter som kombinerar rötter, logaritmer och kvoter.

Uppgift 4: blandade derivator i båda ordningarna

Ta

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

I den här guiden betyder $p_{xy}$ att du först deriverar med avseende på $x$ och sedan med avseende på $y$. Skriv ut mellansteget så att ordningen blir entydig:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Derivera nu det uttrycket med avseende på $y$. Den andra termen behöver produktregeln:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Vänd på ordningen:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Svaren stämmer överens. Här är alla relevanta derivator kontinuerliga, så likheten väntas också av satsen om blandade derivator som OpenStax beskriver. Gör inte detta till en villkorslös regel för varje tänkbar funktion. I en vanlig uppgift med en slät funktion är det en utmärkt kontroll; vid en punkt där den nödvändiga regulariteten saknas spelar satsens antaganden roll.

Uppgift 5: en tredje variabel är ännu en fast indata

För

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

ska du bestämma alla tre första partiella derivatorna. Genom att hålla två indata fasta åt gången får du

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

I $(0,2,3)$ är värdena 4, 0 och 1. Nollan i mitten säger inte att funktionen aldrig beror på $y$. Den säger att förändringshastigheten av första ordningen i den riktningen är noll just i den punkten. Sätter du $x=0$ i ursprungsuttrycket ser du att snittet helt enkelt är $q=3$ när $z=3$.

Numerisk kontroll som hittar en saknad faktor

Gå tillbaka till uppgift 1 i $(1,2)$. Håll $y=2$ fast, välj ett litet positivt tal $s$ och beräkna den centrerade differensen

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

För detta polynom ger utveckling av täljaren exakt $-8+4s^2$. Kontrollerna blir:

Detta kontrollerar ett symboliskt svar, men bevisar inte en derivataformel. Det kontrollerar dessutom bara den valda punkten. Om du av misstag ändrar båda koordinaterna i täljaren mäter du förändring längs en annan väg. Med flyttalsaritmetik kan ett extremt litet steg skapa utsläckningsfel när nästan lika tal subtraheras. Fler nollor gör alltså inte alltid testet bättre.

Hitta felet innan du börjar om

Använd tabellen för att rätta just det felaktiga steget i stället för att skriva om all algebra. Om de vanliga deriveringsreglerna fortfarande är svåra kan du återvända till introduktionen till derivator.

Prova två till och jämför sedan din lösning

Övning A. Bestäm $r_x$ och $r_y$ för $r(x,y)=3x^2y+y^4$ och beräkna dem i $(2,-1)$.

Derivatorna är $r_x=6xy$ och $r_y=3x^2+4y^3$. I punkten är de $-12$ och $8$. Termen $y^4$ försvinner bara ur x-derivatan. I y-derivatan bidrar den med $4y^3=-4$.

Övning B. Bestäm båda första partiella derivatorna av $s(x,y)=\cos(2x-y)$ och beräkna dem i $(0,0)$.

Kedjeregeln ger $s_x=-2\sin(2x-y)$ och $s_y=\sin(2x-y)$. Plustecknet i det andra svaret kommer från två minustecken: ett när cosinus deriveras och ett när $2x-y$ deriveras med avseende på $y$. Båda värdena i origo är noll, trots att formlerna skiljer sig.

När dessa beräkningar känns bekväma kan du fortsätta med övningar i partiella derivator. Anteckna kort vilken feltyp du rättade: fast indata, produktregel, inre derivata eller för tidig insättning. Den anteckningen visar vilken sorts uppgift du bör upprepa härnäst.