Komplexa tal i polär form: omvandla, multiplicera och dividera

Talet $3+3i$ anger en position: tre enheter åt höger och tre uppåt. Det anger också en riktning och ett avstånd: nordost, på avståndet $3\sqrt{2}$ från origo. Rektangulär och polär form beskriver exakt samma tal. De förenklar olika beräkningar.

Rektangulär form är praktisk vid addition. Polär form gör multiplikation till två vanliga handlingar: skala och vrid. Därför kan en potens som ser krånglig ut bli en kort beräkning när du byter beskrivning.

Om den imaginära enheten fortfarande är obekant kan du börja med vår förklaring av imaginära tal. Här går vi vidare till nästa praktiska steg: att omvandla, räkna och kontrollera svaret.

Absolutbelopp och argument beskriver en pil

Rita en pil från origo till $z=a+bi$. Dess horisontella komponent är $a$ och dess vertikala komponent är $b$. Pilens längd, som kallas absolutbelopp, följer av den rätvinkliga triangeln:

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Ett argument är en vinkel $\theta$ som mäts moturs från den positiva realaxeln. Positiva vridningar går moturs och negativa medurs. Ett helt varv tar dig tillbaka till samma pil, så argumentet är inte entydigt.

De horisontella och vertikala komponenterna hos en pil med längden $r$ är $r\cos\theta$ respektive $r\sin\theta$. Sätter vi in komponenterna får vi polär form:

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Vissa böcker skriver detta som $r\operatorname{cis}\theta$. Förkortningen betyder exakt uttrycket inom parentesen. Det är ett kortare skrivsätt, inte en ny räkneoperation.

Här används geometrin från polära koordinater, men målet är att räkna med komplexa tal snarare än att rita polära kurvor.

Omvandla ett tal utan att tappa bort kvadranten

Betrakta $z=-3+3i$. Börja med absolutbeloppet:

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Realdelen är negativ och imaginärdelen positiv, så pilen pekar in i andra kvadranten. Referensvinkeln är $\pi/4$ eftersom de horisontella och vertikala avstånden är lika stora. Det sökta argumentet är därför $3\pi/4$, eller 135 grader:

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Varför inte bara skriva in $\arctan(b/a)$? Här är kvoten -1, och en vanlig beräkning med invers tangens ger $-\pi/4$. Den vinkeln pekar in i fjärde kvadranten, alltså i motsatt riktning. Kvoten ensam tappar informationen om tecknen som avgör kvadranten.

Använd samma ordning varje gång:

1. Beräkna absolutbeloppet.
2. Markera realdelens och imaginärdelens tecken i en skiss.
3. Bestäm en referensvinkel och placera den i rätt kvadrant.
4. Sätt tillbaka värdena och kontrollera båda komponenterna.

En räknar- eller programmeringsfunktion som heter $\operatorname{atan2}(b,a)$ hanterar både kvadranter och fall på axlarna. Kontrollera argumentens ordning och om svaret anges i radianer. Om du använder arctan med ett enda argument behöver du fortfarande skissen.

Omvandla tillbaka som kontroll

Att gå från polär till rektangulär form innebär att beräkna komponenterna var för sig. För exemplet ovan:

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

Resultatet är $-3+3i$, precis som det ska vara. Kontrollen avslöjar genast ett kvadrantfel: fel vinkel skulle ge fel tecken även om absolutbeloppet var rätt.

För vinklar utan enkla exakta värden bör du behålla argumentet oavrundat till sista steget. Tidig avrundning ger onödiga fel när du räknar tillbaka till komponenter.

Multiplikation skalar och vrider

Anta att ett tal har absolutbeloppet $r_1$ och argumentet $\theta_1$, och ett annat har absolutbeloppet $r_2$ och argumentet $\theta_2$. Vid multiplikation multipliceras längderna och vridningarna adderas:

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Ta två tal med absolutbeloppet 2 och argumenten $\pi/6$ respektive $\pi/3$. Produkten får absolutbeloppet 4 och argumentet $\pi/2$:

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Du kan kontrollera detta oberoende i rektangulär form. De två ursprungliga talen är $\sqrt{3}+i$ och $1+\sqrt{3}i$:

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

Realdelarna tar ut varandra eftersom $i^2=-1$. Båda beskrivningarna ger samma svar, men den polära beräkningen visar vridningen på 90 grader redan innan du utvecklar produkten.

Division gör skalningen och vridningen baklänges

För att dividera med ett komplext tal som inte är noll dividerar du absolutbeloppen och subtraherar argumenten:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Dividera exempelvis ett tal med absolutbeloppet 6 och argumentet $5\pi/6$ med ett tal som har absolutbeloppet 2 och argumentet $\pi/3$. Resultatet får absolutbeloppet 3 och argumentet $\pi/2$, så kvoten är $3i$.

Nämnaren måste ha ett absolutbelopp som inte är noll. Polär notation gör inte division med noll tillåten. Håll också ordning på subtraktionen: om du dividerar det andra talet med det första vänds både skalfaktorn och vinkelskillnaden.

Potenser upprepar samma operation

Att upphöja ett komplext tal till en positiv heltalspotens innebär att upprepa samma multiplikation. Absolutbeloppet upphöjs till potensen, och argumentet multipliceras med exponenten:

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

Detta är de Moivres formel. För $z=\sqrt{3}+i$ är absolutbeloppet 2 och ett argument är $\pi/6$. Upphöjt till tre blir det:

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Tre vridningar på 30 grader ger en vridning på 90 grader. Tre skalfaktorer på 2 ger tillsammans 8. Du kan fortfarande utveckla kuben, men polär form visar varför resultatet hamnar på imaginära axeln.

OpenStax kapitel om polär form behandlar också motsvarande rotberäkningar. Det viktiga är att ett komplext tal som inte är noll har flera olika n:te rötter när n ≥ 2; att bara dividera en vald vinkel med n ger inte allihop.

Håll isär de här specialfallen

Ett helt varv ändrar vinkeln, inte talet. Vinklarna $\theta$ och $\theta+2\pi k$ beskriver samma riktning för varje heltal $k$. Om uppgiften frågar efter huvudargumentet ska du använda det angivna intervallet, ofta $(-\pi,\pi]$. Andra kurser använder ett annat intervall, så ange din konvention.

Noll har ingen bestämd riktning. Absolutbeloppet är noll. Vilken vinkel som helst ger samma nollkomponenter, så det är inte meningsfullt att tilldela noll ett entydigt argument.

Radianer och grader får inte blandas. Båda fungerar i trigonometrisk form om du är konsekvent. Exponentialformen $re^{i\theta}$ använder radianer. Vår guide till Eulers identitet förklarar sambandet.

Addition följer inte multiplikationsregeln. Du adderar inte komplexa tal genom att addera absolutbelopp och argument. Omvandla till rektangulär form, addera komponenterna och omvandla tillbaka om det behövs.

Öva på ett beslut i taget

Math Zens övningar om komplexa tal innehåller polär form och de Moivres formel. Öva delarna var för sig: bestäm först kvadranten, sedan absolutbeloppet, gör därefter omvandlingen och prova först sedan produkter eller potenser.

Ställ tre frågor innan du lämnar in svaret. Är avståndet från origo rimligt? Stämmer riktningen med räkneoperationen? Ger de rektangulära komponenterna tillbaka talet du började med? De kontrollerna gör polär form till ett sätt att se beräkningen, i stället för ännu en formel att memorera.