Частные производные: задачи с подробными решениями

Найдите обе частные производные функции $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Если у вас получились $2x$ и $6y$, вы потеряли коэффициент и целое слагаемое. Зафиксировать переменную значит считать ее числом, а не вычеркивать все слагаемые, в которых она есть. Правильный ответ: $f_x=2xy$ и $f_y=x^2+6y$.

Эта подборка начинается с такой ошибки, затем переходит к произведениям, вложенным функциям, смешанным производным и численным проверкам. Попробуйте решить каждую задачу до чтения решения. Рядом с первой строкой запишите, какую переменную держите постоянной: такая небольшая пометка помогает заметить многие неверные ответы.

Геометрический смысл расчета изложен в интуитивном руководстве по частным производным. Здесь главное выполнять алгебраические действия и проверять результат, а не повторно вводить поверхности и градиенты.

Правило, которое стоит написать над решением

Чтобы найти $f_x$, дифференцируйте по $x$, считая $y$ постоянной. Для $f_y$ поменяйте роли переменных. Определение частной производной в OpenStax явно показывает фиксированную переменную в разностном отношении. К изменяющейся переменной применяются обычные правила дифференцирования.

Например, если $y$ зафиксирована, то $y^2$ является постоянной, но $xy^2$ представляет собой постоянную, умноженную на $x$. Их производные по $x$ поэтому различаются:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Не подставляйте обе координаты до дифференцирования. Подстановка целой точки превращает выражение в число и уничтожает изменение рядом с ней, которое нужно найти. Сначала возьмите производную, потом вычислите ее значение. Подставлять только зафиксированную координату можно: это дает полезную независимую проверку.

Задача 1: многочлен с двумя независимыми переменными

Найдите $f_x$ и $f_y$ для

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

затем вычислите обе производные в точке $(1,2)$.

По x: зафиксируйте $y$. Коэффициенты при $x^3$ и $x$ равны $2y$ и $-5y^2$. Последнее слагаемое не меняется:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

По y: зафиксируйте $x$. Первое слагаемое линейно по $y$, второе квадратично, третье снова линейно:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

В заданной точке

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Обе производные там отрицательны. По их знаку нельзя определить значение самой функции: высота и наклон не одно и то же. Для независимой проверки первой производной подставьте $y=2$ в исходную функцию. Получится $4x^3-20x+14$, обычная производная которого равна $12x^2-20$. При $x=1$ она снова равна $-8$.

Задача 2: произведение и экспонента

Найдите обе частные производные функции

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Для $g_x$ оба множителя зависят от $x$, поэтому примените правило произведения. Экспонента также требует правила цепочки: при фиксированной $y$ производная $xy$ равна $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Для $g_y$ множитель $x^2$ постоянен. Изменяется только экспонента, а производная ее показателя по $y$ равна $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

В точке $(1,0)$ получаем $g_x=2$ и $g_y=1$. Частый неправильный ответ $g_x=2xe^{xy}$ учитывает производную первого множителя, но забывает, что второй также зависит от $x$. Другая ошибка заменяет внутреннюю производную единицей в обоих расчетах и теряет различие между $x$ и $y$.

Если вам нужна практика в распознавании внутренней функции, примеры на правило цепочки сначала разделяют слои, а затем снова соединяют множители.

Задача 3: логарифм, дроби и область определения

Пусть

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

Для логарифма требуется $x^2+2y^2>0$, поэтому начало координат исключено. В любой другой точке продифференцируйте внутреннее выражение и разделите на него:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

В точке $(2,1)$ знаменатель равен 6, поэтому обе производные равны $2/3$. Это равенство относится только к данной точке. Оно не означает, что функции двух производных тождественны.

Знаменатель подсказывает важную проверку. Ни исходная функция, ни эти формулы не определены в точке $(0,0)$. Если расчет дал там ноль, в него подставили значения при нулевом знаменателе. Проверяйте область определения до вычисления значения, особенно в задачах с корнями, логарифмами и дробями.

Задача 4: смешанные производные в обоих порядках

Возьмем

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

В этой статье $p_{xy}$ означает: сначала дифференцировать по $x$, затем по $y$. Выпишите промежуточную производную, чтобы порядок был однозначным:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Теперь возьмите производную этого выражения по $y$. Во втором слагаемом потребуется правило произведения:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Повторите расчет в обратном порядке:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Результаты совпали. Здесь все нужные производные непрерывны, поэтому равенство следует и из теоремы о смешанных производных, описанной в OpenStax. Не превращайте это в безусловное правило для любой мыслимой функции. Для обычной гладкой функции совпадение служит отличной проверкой, но в точке, где гладкости нет, важны предпосылки теоремы.

Задача 5: третья переменная тоже фиксируется

Для

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

найдите все три частные производные первого порядка. Каждый раз фиксируя два аргумента, получаем

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

В точке $(0,2,3)$ их значения равны 4, 0 и 1. Ноль посередине не означает, что функция вообще не зависит от $y$. Он означает, что скорость изменения первого порядка в этом направлении равна нулю именно в этой точке. Подстановка $x=0$ в исходное выражение подтверждает: срез равен просто $q=3$ при $z=3$.

Численная проверка пропущенного множителя

Вернитесь к задаче 1 в точке $(1,2)$. Зафиксируйте $y=2$, выберите небольшое положительное число $s$ и вычислите центральную разность

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Для этого многочлена раскрытие скобок дает точно $-8+4s^2$. Получаются такие проверки:

Это проверка символьного ответа, а не доказательство формулы производной. Кроме того, она проверяет только выбранную точку. Если вы нечаянно измените в числителе обе координаты, то измерите изменение вдоль другого пути. При вычислениях с плавающей точкой очень маленький шаг может вызвать потерю точности из-за вычитания близких чисел. Поэтому больше нулей не всегда означает лучшую проверку.

Найдите причину ошибки, прежде чем решать заново

Используйте таблицу, чтобы исправить конкретный шаг, а не переписывать всю алгебру. Если ошибки возникают и в обычных правилах дифференцирования, вернитесь к введению в производные.

Еще две задачи: сначала решите сами

Задание A. Найдите $r_x$ и $r_y$ для $r(x,y)=3x^2y+y^4$ и вычислите их значения в $(2,-1)$.

Производные равны $r_x=6xy$ и $r_y=3x^2+4y^3$. В указанной точке получаем $-12$ и $8$. Слагаемое $y^4$ исчезает только в производной по x. В производной по y оно дает $4y^3=-4$.

Задание B. Найдите обе частные производные первого порядка функции $s(x,y)=\cos(2x-y)$ и вычислите их в $(0,0)$.

Правило цепочки дает $s_x=-2\sin(2x-y)$ и $s_y=\sin(2x-y)$. Положительный знак во втором ответе возникает из двух минусов: один дает производная косинуса, второй производная $2x-y$ по $y$. В начале координат оба значения равны нулю, хотя формулы различны.

Когда такие расчеты станут привычными, переходите к задачам на частные производные. Кратко записывайте тип исправленной ошибки: фиксированный аргумент, правило произведения, внутренняя производная или слишком ранняя подстановка. Эта запись подскажет, какие задачи повторить дальше.