Математика для физики: что повторить перед AP Physics 1

Ученик может чётко объяснить второй закон Ньютона, правильно нарисовать диаграмму сил и составить нужное уравнение, а балл всё равно теряется. Сбой происходит двумя строчками позже: формула преобразована неверно, синус используется там, где нужен косинус, или скорость в километрах в час умножается на время в секундах.

Спросите учителя физики, где теряются баллы, и ответ редко звучит как «они не поняли физику». Дело в алгебре, тригонометрии и единицах измерения. Это математические навыки, и их можно тренировать отдельно от физики, которая их использует.

Эта статья раскладывает по темам математику, лежащую в основе первого года физики, чтобы вы могли отработать именно тот навык, который подводит, вместо того чтобы перечитывать главу, которую и так понимаете. Она написана для тех, кто готовится к AP Physics 1 или A-Level Physics, а также для всех, кто начинает пользоваться нашим родственным приложением Physics Zen и не понимает, почему алгебра продолжает подводить.

Преобразование формул: навык, нужный в каждой теме

Формулы физики почти никогда не спрашивают в том виде, в котором они напечатаны. Справочник даёт $v = u + at$, а в вопросе нужно найти время. Он даёт $F = ma$, а в вопросе известны сила и ускорение, и нужно найти массу.

Преобразование формулы - обычная алгебра: выполняйте одно и то же действие с обеими частями, пока неизвестная не останется одна. Ошибки тоже обычные. Вычесть слагаемое только из одной части. Разделить одно слагаемое суммы вместо всей суммы. Перенести величину в квадрате и забыть извлечь корень с другой стороны.

Полезный пример: центростремительное ускорение, $a = \frac{v^2}{r}$. Чтобы найти радиус, нужно умножить обе части на $r$ и разделить на $a$, получив $r = \frac{v^2}{a}$. Чтобы найти скорость, в конце нужен квадратный корень, $v = \sqrt{ar}$. Ученики, которые получают $v = \frac{ar}{1}$, ошиблись не в физике: они пропустили один шаг алгебры.

Если что-то из этого кажется медленным, раздел алгебры Math Zen тренирует упрощение, решение и преобразование формул каждый раз с новыми числами, а руководство по алгебре объясняет, почему эти шаги допустимы. В Physics Zen тот же навык сразу встречается в бесплатной теме «Кинематика», где в каждой задаче нужно обратить формулу.

Квадратные уравнения появляются, как только возникает гравитация

Равноускоренное движение даёт уравнение

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Как только неизвестной становится время, это квадратное уравнение. Мяч, брошенный вверх со скоростью $15\ \text{m/s}$ с выступа на высоте $20\ \text{m}$ над землёй, достигает земли, когда

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

Формула корней квадратного уравнения даёт два корня, примерно $t = 4.07\ \text{s}$ и $t = -1.00\ \text{s}$. Только положительный корень описывает время после броска. Физика подсказывает, какой корень оставить; алгебра подсказывает, какие вообще есть корни. Оба шага должны быть верными.

Обычные математические ошибки здесь: сбои со знаком внутри формулы, использование $b$ вместо $-b$, и арифметические ошибки под корнем. Каждая из них отрабатывается в разделе «Решение уравнений» в Math Zen, а руководство по квадратным уравнениям показывает, почему формула работает. Задачи на движение тела, брошенного под углом, и свободное падение в кинематике Physics Zen затем используют её каждый раз с новыми начальными скоростями.

Тригонометрия превращает наклон в два числа

Силы на наклонной плоскости, натяжение верёвки под углом, скорость вылета тела, брошенного под углом: всё это нужно раскладывать на составляющие. Это тригонометрия прямоугольного треугольника, и ничего более сложного.

Правило, которое предотвращает большинство ошибок: составляющая, прилежащая к известному углу, использует косинус; составляющая, противолежащая ему, использует синус. На наклонной плоскости с углом $\theta$ составляющая веса вдоль плоскости равна $mg\sin\theta$, а составляющая, прижимающая тело к плоскости, равна $mg\cos\theta$.

Проверьте это предельным случаем. При $\theta = 0$ поверхность плоская, и ничего не должно тянуть брусок вдоль неё. Поскольку $\sin 0 = 0$, вариант с синусом проходит проверку. Если бы вы записали $mg\cos\theta$ для силы вдоль плоскости, плоский случай дал бы полное $mg$, тянущее вбок, что явно неверно. Эта тридцатисекундная проверка ловит самую частую ошибку с тригонометрией в механике.

В Math Zen есть отдельный раздел тригонометрии именно для этого, а раздел векторов охватывает обратное сложение составляющих. Сначала прочитайте руководство по тригонометрии, если синус и косинус всё ещё кажутся таблицей значений, а не координатами на окружности. Со стороны физики наклонная плоскость: финальный навык в динамике Physics Zen.

Степени, корни и обратный квадрат

Кинетическая энергия равна $\tfrac{1}{2}mv^2$. Центростремительное ускорение равно $\frac{v^2}{r}$. Напряжённость гравитационного поля равна $\frac{GM}{r^2}$. Физика полна квадратов в числителях и знаменателях, и каждый из них создаёт задачу на пропорциональное рассуждение.

Удвойте скорость: и кинетическая энергия станет в четыре раза больше. Удвойте радиус орбиты: и ускорение свободного падения на поверхности упадёт до четверти. Утройте скорость на той же кривой: и нужная центростремительная сила вырастет в девять раз. Экзаменаторы любят такие задачи, потому что арифметика в них тривиальна, а рассуждение нет.

Здесь важны две математические привычки. Во-первых, знать, как степень реагирует на масштабирование основания: если $v$ умножить на $k$, то $v^2$ умножается на $k^2$. Во-вторых, свободно обращаться со стандартным видом числа, потому что $G = 6.67 \times 10^{-11}$ и массу Земли $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ придётся перемножать в одной и той же задаче.

Навык степеней и корней в Math Zen тренирует и то и другое, а руководство по степеням объясняет, что на самом деле означает отрицательный показатель степени. Гравитация находится в разделе «Круговое движение и гравитация» в Physics Zen.

Отношения, пропорции и перевод единиц

Автомобиль, движущийся со скоростью $72\ \text{km/h}$, тормозит в течение $4\ \text{s}$. Прежде чем начнётся какая-либо физика, эту скорость нужно превратить в $20\ \text{m/s}$. Деление на $3.6$: это не физический факт, это $1000$ метров в километре, делённые на $3600$ секунд в часе.

Перевод единиц измерения - это пропорциональное рассуждение. Так же устроены задачи на плотность, вопросы «во сколько раз больше» и любая задача, где две величины даны в фиксированном отношении. Ошибка всегда одна и та же: умножить там, где нужно разделить, или перевести только одну из двух единиц в составной величине вроде $\text{km/h}$.

Навык отношений и пропорций в Math Zen охватывает это напрямую, а более полное объяснение есть в руководстве по отношениям. Равномерное движение в Physics Zen, самый первый навык в бесплатной теме «Кинематика», требует того же перевода почти в каждой задаче.

Чтение графиков: наклон и площадь

Графики скорости от времени: самое часто проверяемое представление в физике первого года обучения. Наклон - это ускорение. Площадь между линией и осью времени - это перемещение. Графики координаты от времени дают скорость как наклон. Физика заключается в том, чтобы знать, какая величина где находится; математика в том, чтобы правильно читать наклон и вычислять площадь.

Распространённые ошибки: читать высоту графика, когда вопрос касается его наклона, и забывать, что площадь ниже оси считается отрицательным перемещением. Обе они относятся к чтению математики, а не к физике.

Раздел анализа графиков в Math Zen отрабатывает точки пересечения, наклоны и поведение графиков без всякой привязки к физике. Если позже вы перейдёте к курсу с математическим анализом, руководство по производным и руководство по интегралам показывают, что «наклон» и «площадь»: те же самые идеи, сделанные точными.

Для двух неизвестных нужны два уравнения

Некоторые задачи нельзя решить по одному уравнению за раз. Упругое столкновение сохраняет и импульс, и кинетическую энергию, что даёт два уравнения для двух конечных скоростей. Цепь с двумя источниками тока требует правила Кирхгофа для контуров, записанного для двух контуров. Задача о движении тела, брошенного под углом, может объединять горизонтальное и вертикальное уравнения, у которых общее время полёта.

Это системы уравнений, и типичная ошибка: подставить не в то уравнение или потерять из виду, какая переменная уже исключена. Навык систем линейных уравнений в Math Zen тренирует механику подстановки и исключения. В Physics Zen та же структура встречается в разделах «Импульс и столкновения» и «Электрические цепи».

План практики с использованием обоих приложений

Таблица ниже сопоставляет каждую тему физики с математическим навыком, который чаще всего в ней подводит.

Физика (Physics Zen)	Математический навык, который чаще всего подводит (Math Zen)
Равномерное движение	Отношения и перевод единиц измерения
Равноускоренное движение, свободное падение	Преобразование формул, квадратные уравнения
Движение тела, брошенного под углом	Тригонометрия, квадратные уравнения, системы уравнений
Законы Ньютона, трение, наклонная плоскость	Тригонометрия, решение линейных уравнений
Работа, энергия, мощность	Степени и корни, пропорциональное рассуждение
Импульс и столкновения	Системы линейных уравнений
Круговое движение и гравитация	Квадраты в дробях, стандартный вид числа
Вопросы с графиками в любой теме	Наклон, площадь, поведение графика

Рабочий режим тренировок короткий. Потратьте десять минут на математический навык из правой колонки со свежесгенерированными задачами, затем переходите к теме физики слева и решайте, пока алгебра не перестанет быть тем, что бросается в глаза. Оба приложения каждый раз генерируют новые числа, так что запомнить ответы нельзя, только методы.

Physics Zen создан той же командой, что и Math Zen, и следует тому же циклу: сгенерированная задача, мгновенная проверка, разобранное решение и теория рядом с заданием. Кинематика бесплатна от начала до конца. Приложение доступно для iPhone и Android. Для обратного взгляда блог Physics Zen перечисляет ошибки в физике, которые на самом деле являются ошибками в математике, и то, что стоит потренировать в каждом случае.

Вам не нужно больше физики, чтобы исправить потерянный знак. Нужны пять минут правильной алгебры, и тогда физика, которую вы уже понимаете, получит заслуженный балл.