O paradoxo do aniversário: por que 23 pessoas já bastam para haver coincidência
Na Copa do Mundo de 2014, jornalistas fizeram a conta nas 32 seleções. Cada elenco tinha exatamente 23 jogadores e, em 16 dos 32, metade deles, pelo menos dois jogadores faziam aniversário no mesmo dia. Ninguém combinou isso. É simplesmente o que o número 23 faz.
Esse é o paradoxo do aniversário: numa sala com 23 pessoas, é mais provável haver um aniversário repetido do que não haver. São 365 datas possíveis e apenas 23 pessoas, então a afirmação soa absurda, e essa reação é quase universal. Mas o resultado não é truque, não é ilusão estatística e não depende de letras miúdas. É um argumento curto de contagem e, assim que você percebe qual conta a intuição faz no lugar da certa, o paradoxo se dissolve em algo quase óbvio.
A afirmação, enunciada com cuidado
Tome 23 pessoas cujos aniversários sejam independentes e igualmente prováveis em qualquer um dos 365 dias, ignorando o 29 de fevereiro por enquanto. A afirmação é:
A probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia é 50,7%, um pouco melhor que cara ou coroa.
Dois detalhes importam. Primeiro, a afirmação é sobre duas pessoas quaisquer coincidirem, e não sobre coincidir com uma pessoa específica. Segundo, "fazer aniversário no mesmo dia" significa o mesmo dia do ano, como 14 de março, e não o mesmo dia e ano. Os dois detalhes parecem menores. Um deles, como veremos, é o paradoxo inteiro.
A prova é só contagem
A pergunta direta, qual é a probabilidade de alguém coincidir com alguém, é desconfortável de atacar de frente, porque as coincidências podem acontecer de muitas formas sobrepostas. A probabilidade tem um movimento padrão para isso: calcule a probabilidade de nada acontecer e subtraia de 1. Para um passeio desde o começo sobre por que esse movimento é legítimo, veja entendendo probabilidade de forma intuitiva.
Conte as oportunidades: 23 pessoas formam 253 pares
Um aniversário repetido é uma propriedade de um par de pessoas. Com 23 pessoas, o número de pares distintos é 23 vezes 22 dividido por 2, ou seja, 253. Cada par, isolado, coincide com probabilidade 1/365, o que é minúsculo. Mas há 253 bilhetes nessa loteria, não 22, e muito menos 1. Essa contagem é o coração de todo o assunto.
Calcule a probabilidade de todos os aniversários serem diferentes
Enfileire as pessoas e acrescente uma de cada vez. A primeira pessoa fica com qualquer data, livremente: probabilidade 365/365. A segunda escapa da coincidência se cair em qualquer um dos 364 dias restantes: probabilidade 364/365. A terceira precisa desviar de dois dias já ocupados: 363/365. Cada nova pessoa tem mais um dia a evitar, e a 23ª precisa desviar de 22 dias ocupados: 343/365. Como os aniversários são independentes, a probabilidade de todos os 23 serem diferentes é o produto de todas essas frações.
Multiplique tudo e inverta
O produto 365/365 vezes 364/365 vezes 363/365, descendo até 343/365, dá 0,4927. Essa é a probabilidade de não haver coincidência nenhuma. Então a probabilidade de pelo menos um aniversário repetido é 1 menos 0,4927, ou seja, 0,5073, pouco acima de um meio. Com 22 pessoas o mesmo produto dá 47,6%, ainda abaixo da metade. A linha é cruzada exatamente em 23.
É essa a prova inteira: conte os pares para ver por que a coincidência é plausível e depois multiplique 23 frações para ver exatamente quão plausível ela é. Nenhuma maquinaria avançada, nada para aceitar na fé. Cada passo pode ser conferido numa calculadora.
E a curva continua subindo rápido. Com 30 pessoas a probabilidade de coincidência é 70,6%. Com 50 pessoas é 97,0%. Com 70 pessoas é 99,9%: um aniversário repetido é praticamente garantido enquanto 295 dias do ano seguem intocados.
Onde a intuição erra
O paradoxo do aniversário engana as pessoas com regularidade, e engana de um jeito específico e diagnosticável: elas respondem à pergunta errada.
Ao ouvir o enigma, sua mente troca discretamente por uma versão estrelada por você. Qual é a chance de alguém aqui fazer aniversário no mesmo dia que eu? Essa pergunta realmente tem uma resposta pequena. Numa sala de 23, há apenas 22 outras pessoas, cada uma coincidindo com você com probabilidade 1/365, e a probabilidade total de alguém bater com a sua data é de cerca de 6%. Se o enigma fosse sobre o seu aniversário, os céticos teriam razão.
Mas o enigma é sobre qualquer coincidência. Você contra cada um dos outros: 22 pares. Mas também a pessoa 2 contra a pessoa 3, a pessoa 7 contra a pessoa 19 e toda outra combinação que não envolve você: mais 231 pares, 253 no total. A intuição conta as 22 comparações que consegue enxergar de dentro e é estruturalmente cega para as 231 das quais não participa. O paradoxo não é a probabilidade se comportando de forma estranha. É que uma sala com 23 pessoas contém onze vezes mais comparações do que qualquer pessoa sozinha vivencia.
Há um jeito elegante de medir o tamanho dessa diferença. Para ter 50% de chance de alguém coincidir especificamente com você, 22 outras pessoas estão longe de bastar: seriam necessárias 253 pessoas além de você. O número de outras pessoas necessárias para bater uma data fixa é igual ao número de pares entre 23 pessoas. Isso não é acaso, são as duas perguntas sendo resolvidas pela mesma aritmética, e mede com precisão o quanto o enquadramento do "meu aniversário" subestima a situação.
As letras miúdas que tornam a resposta honesta
O cálculo supôs 365 datas igualmente prováveis e nenhum dia bissexto. As duas suposições são falsas no mundo real, então é justo perguntar se os 50,7% sobrevivem ao contato com a realidade.
Sobrevivem e, na verdade, a realidade ajuda. Acrescentar o 29 de fevereiro como um raro 366º dia empurra a probabilidade para baixo por uma fração mínima, longe de tirar o limiar dos 23. Aniversários desiguais empurram para o outro lado: os dados reais de nascimentos mostram picos sazonais, com certos meses sistematicamente mais cheios que outros. Qualquer desigualdade assim torna as colisões mais prováveis, porque concentrar probabilidade em datas populares é exatamente do que as colisões se alimentam. O modelo uniforme é o cenário mais difícil possível para o paradoxo, e mesmo assim ele passa dos 50%.
Vale parar nessa robustez, porque é o oposto do que costuma acontecer com enigmas de sabor paradoxal. O problema de Monty Hall, por exemplo, é famoso por ser sensível às suas letras miúdas: mude o que o apresentador sabe e a resposta muda. O paradoxo do aniversário é o irmão robusto. Todo desvio realista das suposições de livro empurra a probabilidade para cima, então a surpresa sobrevive a qualquer reclamação.
Do truque de festa à quebra de funções hash
O paradoxo do aniversário já se pagaria como aposta de festa, mas ele também tem um trabalho sério. Na criptografia, é ele que define o preço de encontrar colisões, e uma estratégia inteira de ataque leva o seu nome.
Uma função hash comprime qualquer entrada numa impressão digital de tamanho fixo, e a segurança muitas vezes depende de ninguém encontrar duas entradas diferentes com a mesma impressão. Suponha que as impressões tenham 128 bits, ou seja, 2 elevado a 128 possibilidades, um número astronomicamente grande. Adivinhar uma entrada que caia numa impressão específica realmente exige da ordem de 2 elevado a 128 tentativas, algo desesperador para sempre. Mas quem só quer alguma colisão, duas entradas quaisquer que coincidam, está jogando o jogo do aniversário: gere entradas aleatórias e, pela regra da raiz quadrada, espera-se uma colisão depois de cerca de 2 elevado a 64 tentativas. Esse é o ataque do aniversário, e 2 elevado a 64 é um número grande, mas não é um número seguro; atacantes determinados já o ultrapassaram.
O paradoxo, em outras palavras, corta pela metade a força efetiva de um hash, medida em bits. É por isso que criptógrafos que querem 128 bits de resistência a colisão usam hashes com saídas de 256 bits: a raiz quadrada de 2 elevado a 256 é 2 elevado a 128, colocando até o atalho do aniversário fora de alcance. Um mesmo padrão decide quantas pessoas você convida para uma festa e quantos bits protegem a sua conexão com o banco, e o cálculo é o mesmo nas duas vezes.
Teste, porque não custa nada
Como os melhores resultados de probabilidade, este é barato de testar. Qualquer grupo de umas 25 pessoas serve: uma sala de aula, um andar de escritório, a lista de um time, a lista de convidados de um casamento. Pergunte o aniversário de todo mundo e espere a coincidência. Um único grupo não prova nada, claro. A afirmação é 50,7%, não certeza, então a aposta perde quase metade das vezes.
A versão convincente é a repetição. Elencos esportivos são ideais para isso, e é por isso que a Copa do Mundo vive aparecendo em artigos sobre o paradoxo do aniversário: times de 23 são o experimento exatamente no tamanho do limiar, já montados e públicos. Confira dez elencos e espere coincidências em cerca de cinco. Ou simule: poucas linhas de código sorteando 23 números de 1 a 365 e checando repetições, rodadas dez mil vezes, chegam a uma fração de ponto percentual de 0,507. O argumento de multiplicar 23 frações faz uma previsão precisa, o mundo continua concordando com ela, e há poucos jeitos mais rápidos de sentir a probabilidade virar algo real.
O zen de tudo isso
O paradoxo do aniversário resiste ao tempo porque é uma miniatura perfeita de uma falha geral. A intuição avalia situações a partir de um único ponto de vista, o seu, e em situações combinatórias esse ponto de vista único erra por um fator que cresce com a multidão. Nada no acaso está se comportando mal. O erro está inteiramente em qual pergunta acaba respondida em silêncio.
E a cura é a mesma de sempre em probabilidade: recuse-se a chutar e conte. Conte os pares e a plausibilidade aparece. Multiplique as frações e o número exato cai no colo. A mesma conta reaparece depois, sem mudar nada, no projeto de sistemas criptográficos, que é a lição discreta de todo o assunto: um argumento de probabilidade não sabe se está sendo usado numa aposta de bar ou para proteger a internet.
Vinte e três pessoas. Duzentas e cinquenta e três chances. A sala nunca esteve tão vazia quanto parecia.
Perguntas frequentes
- O que é o paradoxo do aniversário?
- É o fato de que, num grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de pelo menos duas fazerem aniversário no mesmo dia é um pouco maior que 50%. Com 30 pessoas fica em torno de 71%, com 50 pessoas em torno de 97% e com 70 pessoas chega a 99,9%. Chamam de paradoxo não porque a matemática seja discutível, mas porque o número 23 parece pequeno demais. O resultado sai da probabilidade comum, contando todos os pares possíveis de pessoas em vez de comparar todo mundo com uma única data fixa.
- Por que 23 é o número mágico do paradoxo do aniversário?
- Porque 23 pessoas formam 253 pares distintos, e cada par é uma nova chance de coincidência. A probabilidade de todos os 253 pares escaparem de uma colisão cai abaixo de um meio exatamente em 23 pessoas: a chance de não haver coincidência é de cerca de 49,3%, então a de haver um aniversário repetido é de cerca de 50,7%. Há ainda uma coincidência elegante escondida nos números: 365 vezes o logaritmo natural de 2 dá quase exatamente 253, e é por isso que o ponto de meio a meio cai onde cai.
- Por que o paradoxo do aniversário parece tão errado?
- Porque a intuição responde a outra pergunta. Ao ouvir o enigma, você imagina automaticamente alguém fazendo aniversário no mesmo dia que você, e numa sala de 23 existem só 22 chances disso, algo em torno de 6%. Mas a pergunta real é se duas pessoas quaisquer coincidem, e isso envolve 253 pares, a maioria deles sem nenhuma relação com você. A intuição acompanha as 22 comparações que consegue visualizar e ignora por completo os 231 pares dos quais ela não faz parte.
- O que é um ataque do aniversário em criptografia?
- É uma estratégia de ataque batizada diretamente em homenagem a esse paradoxo. Uma função hash deveria tornar difícil encontrar duas entradas diferentes com a mesma saída. O paradoxo do aniversário diz que colisões entre valores aleatórios aparecem depois de aproximadamente a raiz quadrada do número de valores possíveis, e não do número inteiro de valores. Assim, um hash com 2 elevado a 128 saídas possíveis pode ser atacado em cerca de 2 elevado a 64 tentativas, e é por isso que os criptógrafos dimensionam as saídas para deixar até a raiz quadrada fora de alcance.
- O paradoxo do aniversário leva em conta anos bissextos e datas desiguais?
- O cálculo padrão supõe 365 datas igualmente prováveis e ignora o 29 de fevereiro, raro o bastante para quase não mexer no resultado. Os aniversários reais não são perfeitamente uniformes, em muitos países há picos sazonais, mas isso só ajuda o paradoxo: qualquer desigualdade na distribuição torna as colisões mais prováveis, não menos. Portanto 50,7% com 23 pessoas é um piso na prática, e a probabilidade do mundo real é um pouco maior.
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