O problema de Monty Hall: por que trocar de porta dobra suas chances

Em 1990, um leitor mandou uma pergunta curta sobre um programa de auditório para a coluna de revista de Marilyn vos Savant. A resposta dela, de que você deve trocar de porta, provocou cerca de dez mil cartas de protesto, quase mil delas assinadas por doutores, muitas insistindo que uma colunista não tinha o direito de errar probabilidade básica. Ela não errou. Eles erraram.

É isso que faz o problema de Monty Hall valer o seu tempo. Não é uma pergunta capciosa e não depende de letra miúda. É um quebra-cabeça completamente justo, com três linhas de enunciado, e ele derrota com uma regularidade impressionante a intuição de gente inteligente, inclusive de matemáticos profissionais, até que enxerguem a única assimetria que passou batida. Depois que você vê, a resposta deixa de parecer paradoxal e passa a parecer inevitável.

As regras do jogo

O quebra-cabeça é inspirado no programa de auditório Let's Make a Deal, cujo apresentador original, Monty Hall, deu nome a ele. O cenário:

São três portas fechadas. Atrás de uma está um carro. Atrás das outras duas estão bodes. O carro foi colocado ao acaso, então, antes de qualquer coisa acontecer, cada porta tem 1/3 de chance de escondê-lo.

Você escolhe uma porta, digamos a porta 1. Ela continua fechada.

O apresentador, que sabe exatamente onde está o carro, abre uma das duas portas que você não escolheu, e ele sempre abre uma com bode. Digamos que ele abra a porta 3 e um bode olhe de volta para você.

Agora restam duas portas fechadas: a sua porta 1 e a intocada porta 2. O apresentador oferece uma escolha. Ficar com a porta 1 ou trocar para a porta 2.

O instinto de quase todo mundo diz a mesma coisa: duas portas, um carro, 50/50, então tanto faz. O instinto está errado. Ficar ganha 1/3 das vezes. Trocar ganha 2/3 das vezes. A troca literalmente dobra suas chances, e o quebra-cabeça inteiro consiste em entender de onde vem essa probabilidade extra.

A prova é só contagem

A maneira mais limpa de ver a resposta é notar que o jogo inteiro é decidido por um único evento: se o seu primeiro palpite estava certo.

Essa é a prova inteira. Ficar aposta que seu primeiro palpite às cegas estava certo, um evento de 1/3. Trocar aposta que ele estava errado, um evento de 2/3. Essas são as duas únicas opções, e não é páreo.

Se você prefere ver todos os casos escritos, fixe sua escolha na porta 1 e deixe o carro variar. Carro atrás da porta 1: o apresentador abre a porta 2 ou a 3, ficar ganha, trocar perde. Carro atrás da porta 2: o apresentador precisa abrir a porta 3, ficar perde, trocar ganha. Carro atrás da porta 3: o apresentador precisa abrir a porta 2, ficar perde, trocar ganha. Três mundos igualmente prováveis, e trocar ganha em dois deles. A contagem é a prova.

De onde vem a probabilidade extra

O instinto do 50/50 vem de uma regra de bolso que costuma servir bem: duas incógnitas, nenhuma razão para preferir uma, então divida a probabilidade igualmente. A regra é boa. O erro é achar que as duas portas fechadas são simétricas. Elas não são, porque tiveram histórias muito diferentes.

Sua porta foi escolhida por você, às cegas, antes de qualquer revelação. Nada do que aconteceu depois envolveu a sua porta: o apresentador não podia tocar nela, escondesse ela o carro ou não. Então nenhuma informação sobre a sua porta chegou a ser produzida, e a probabilidade dela fica onde começou, em 1/3.

A outra porta fechada sobreviveu a alguma coisa. O apresentador olhou as duas portas que você não escolheu, das quais pelo menos uma tinha bode, e eliminou de propósito um bode desse par. A porta que ele deixou fechada é lixo aleatório (no mundo de 1/3 em que seu palpite estava certo) ou o próprio carro (no mundo de 2/3 em que seu palpite estava errado). A escolha dele foi restringida pela verdade, e a restrição vaza informação. Todos os 2/3 de probabilidade com que o par começou desabam sobre o único membro sobrevivente.

A versão de 100 portas, para os não convencidos

Se o argumento de três portas ainda parece escorregadio, aumente a escala. Mesmas regras, 100 portas, um carro, 99 bodes. Você escolhe a porta 1. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre 98 das portas restantes, todas com bode, e deixa exatamente uma outra porta fechada. Ficar ou trocar?

Seu primeiro palpite acertou 1 vez em 100. Nos outros 99 casos, o carro está em algum lugar entre as portas que você não escolheu, e as 98 revelações do apresentador foram forçadas a contorná-lo: ele abriu tudo, menos o carro. A única porta que ele deixou fechada não é uma sobrevivente aleatória. É onde o carro tem que estar, 99 vezes em 100.

Ninguém fica no jogo de 100 portas. Mas o jogo de três portas é o mesmo jogo. A revelação do apresentador foi forçada a contornar o carro exatamente do mesmo jeito; só havia menos coisa para observar. Se trocar é obviamente certo com 100 portas, o ônus da prova é de quem afirma que três portas são diferentes, e a contagem de casos acima mostra que não são.

A letra miúda que deixa a resposta honesta

Aqui está a parte que as versões populares costumam pular, e é a diferença entre saber a resposta e entendê-la. O resultado de 2/3 depende do comportamento do apresentador, não apenas do que você viu.

As regras padrão supõem que o apresentador sempre abre uma porta, sempre abre uma com bode e sempre oferece a troca. Mude essas regras e a resposta muda. A variante clássica às vezes é chamada de Monty Fall: o apresentador tropeça, abre ao acaso uma das duas portas não escolhidas, e calha de revelar um bode. Mesmas portas, mesmo bode, mesma imagem na sua tela. Mas agora trocar ganha só metade das vezes.

Por que a diferença? No jogo padrão, o apresentador revela um bode em todos os mundos, então a revelação não conta nada sobre o seu palpite estar certo, e a sua porta continua em 1/3. No Monty Fall, um apresentador aleatório às vezes expõe o carro sem querer. Ver um bode passa a ser, em si, uma evidência, e é uma evidência a favor da sua escolha original, porque mundos em que seu palpite estava certo nunca poderiam expor o carro. Faça as contas e as duas portas fechadas terminam genuinamente em 1/2 cada.

Teste, porque todo mundo deveria ao menos uma vez

O problema de Monty Hall tem uma grande misericórdia: é barato de testar. Pegue três copos e uma moeda e recrute um amigo para ser o apresentador, ou simule sozinho com algumas linhas de código, ou no papel com um dado para posicionar o carro. Jogue trinta rodadas sempre ficando, depois trinta rodadas sempre trocando.

O resultado é estranhamente convincente de um jeito que os argumentos não são. Quem fica converge para ganhar cerca de um terço das vezes, quem troca para cerca de dois terços, e depois de rodadas suficientes o padrão deixa de parecer um paradoxo e passa a parecer a consequência óbvia do passo 1 acima: seu primeiro palpite às cegas costuma estar errado, e trocar lucra exatamente com isso. Médias calculadas sobre muitas tentativas também são de onde as afirmações de probabilidade tiram seu significado, um ponto explorado em entender estatística de forma intuitiva.

Foi assim, historicamente, que a discussão se encerrou. Depois do incêndio provocado por vos Savant, salas de aula do país inteiro rodaram o experimento, e as simulações confirmaram os 2/3 com quantas casas decimais alguém quisesse calcular. Muitos dos matemáticos que tinham escrito cartas irritadas escreveram uma segunda carta, bem mais envergonhada.

O zen da coisa

O problema de Monty Hall dura porque é uma miniatura perfeita de como a probabilidade funciona de verdade e de como a intuição humana falha de verdade. O instinto que ele derrota, a ignorância simétrica sobre duas portas fechadas, é um bom instinto. Ele só não sobrevive ao contato com uma história assimétrica, e o quebra-cabeça esconde a assimetria bem à vista: uma porta foi protegida pela sua escolha, a outra foi selecionada por alguém que sabia a resposta.

Repare no que resolveu a confusão. Não foi fórmula nem autoridade. Foi contagem. Três mundos igualmente prováveis, um balanço honesto do que acontece em cada um e a disposição de confiar no balanço em vez do sentimento. Esse movimento, enumerar as possibilidades e contá-las, é quase tudo o que a probabilidade é, e dá para aprender.

Na próxima vez que duas opções parecerem obviamente 50/50, vale fazer a pergunta de Monty Hall: essas duas possibilidades chegaram aqui do mesmo jeito? Às vezes chegaram, e o cara ou coroa é real. E às vezes uma delas ficou de pé por causa de um processo que sabia de alguma coisa, e as chances estão silenciosa e decisivamente desequilibradas.

As portas não lembram. O procedimento lembra.