Entendendo Autovalores Intuitivamente (As Direções que uma Matriz Não Gira)

Ponha uma folha de borracha sobre uma mesa, desenhe nela cem setas curtas em todas as direções e puxe a folha de modo que ela estique para os lados o dobro do que estica para cima. Observe as setas. Quase todas giram em direção à horizontal conforme a folha se deforma. Duas não se movem nem um pouco. A seta que já era horizontal continua horizontal e fica duas vezes mais longa. A seta que era vertical continua vertical e mantém o comprimento.

Essas duas setas são os autovetores do estiramento, e os números 2 e 1 são seus autovalores. Tudo neste assunto, a fórmula com o determinante, o polinômio característico, a diagonalização, os números complexos que aparecem quando uma matriz gira, é um jeito de encontrar essas setas especiais para uma máquina que você não enxerga só de olhar.

Se você ainda não leu Entendendo Matrizes Intuitivamente, este texto é a continuação. Aquele artigo montou a imagem de uma matriz como uma máquina que recebe uma viagem e devolve outra viagem. Este aqui faz à máquina uma única pergunta: quais viagens você deixa em paz?

Uma matriz é uma máquina, e quase toda seta é girada

Uma matriz $A$ pega um vetor $\vec{v}$ e produz um novo vetor $A\vec{v}$. Para a maioria das entradas, a saída aponta para um lugar novo. Um cisalhamento inclina as setas. Uma rotação gira todas elas pelo mesmo ângulo. Um estiramento mais forte em uma direção do que em outra arrasta as setas para a direção do puxão mais forte.

Pense na matriz como um túnel de vento. As setas entram, o vento bate nelas e elas saem tortas. A pergunta interessante não é o que acontece com uma seta qualquer. É se existe alguma seta que o vento não consegue entortar, uma seta que sai apontando exatamente para onde entrou, apenas mais longa ou mais curta.

As setas que se recusam a girar

Um autovetor de $A$ é um vetor não nulo $\vec{v}$ que a máquina mantém sobre a própria reta:

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

A letra grega lambda, $\lambda$, é o autovalor: o fator pelo qual a seta foi escalada. A equação diz que a máquina agindo sobre essa seta em particular é indistinguível de uma simples multiplicação por um número. Ao longo de um autovetor, a matriz deixa de ser matriz e vira um escalar.

O autovalor carrega muita informação em um único número:

• $\lambda > 1$ significa que a máquina alonga aquela direção.
• $0 < \lambda < 1$ significa que ela a encurta.
• $\lambda = 1$ significa que ela deixa aquela direção completamente intacta.
• $\lambda < 0$ significa que ela inverte a seta para o sentido oposto e depois a escala.
• $\lambda = 0$ significa que ela esmaga aquela direção até virar nada. A máquina achata o espaço ao longo daquela reta.

Repare no que um autovetor não é. Ele não é uma seta única, e sim uma direção: se $\vec{v}$ é um autovetor, então $3\vec{v}$ também é, com o mesmo autovalor. E o vetor nulo fica excluído por definição, porque toda matriz leva zero a zero, o que faria de todo número um autovalor e da ideia inteira algo inútil.

De onde vem a fórmula

Os livros entregam $\det(A - \lambda I) = 0$ como se ela tivesse caído do céu. Ela vem da frase acima.

Comece com $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. O lado direito é um número vezes um vetor. Para passá-lo para o outro lado da igualdade você precisa dele em forma matricial, e $\lambda\vec{v}$ é o mesmo que $\lambda I\vec{v}$, onde $I$ é a matriz identidade, que não faz nada. Agora subtraia:

$$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$$

Leia isso como uma afirmação sobre uma nova máquina, $A - \lambda I$. Ela pega uma seta não nula $\vec{v}$ e devolve o vetor nulo. Uma máquina que leva uma seta de verdade a um ponto achatou pelo menos uma direção do espaço. No artigo sobre matrizes vimos que o determinante mede quanta área sobrevive a uma máquina, então uma máquina que achata tem determinante zero:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

É essa a dedução inteira. Os autovalores são os valores de $\lambda$ que quebram a máquina $A - \lambda I$, e os autovetores são as direções ao longo das quais ela quebra. Expandir o determinante dá um polinômio em $\lambda$, chamado polinômio característico, e suas raízes são os autovalores. Para uma matriz $2 \times 2$ ele é do segundo grau; para $n \times n$ ele tem grau $n$, e é por isso que uma matriz $n \times n$ tem no máximo $n$ autovalores.

Um exemplo resolvido, devagar

Tome a matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Subtraia $\lambda$ ao longo da diagonal e calcule o determinante:

$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$$

Iguale a zero e fatore: $(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$, então os autovalores são $\lambda = 3$ e $\lambda = 1$.

Agora encontre a direção de cada um. Para $\lambda = 3$, resolva $(A - 3I)\vec{v} = \vec{0}$:

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

As duas linhas dizem $x = y$, então o autovetor é qualquer múltiplo de $(1, 1)$. Confira contra a máquina original: $A(1,1) = (3, 3) = 3 \cdot (1, 1)$. A seta diagonal sai três vezes mais longa, apontando para o mesmo lado.

Para $\lambda = 1$ as linhas dizem $x = -y$, então o autovetor é qualquer múltiplo de $(1, -1)$, e de fato $A(1,-1) = (1,-1)$. A seta antidiagonal fica intacta.

Agora você consegue descrever essa matriz em uma frase, coisa que não daria para fazer a partir das suas quatro entradas: ela estica o espaço por um fator 3 ao longo da diagonal e deixa a antidiagonal em paz. Toda outra seta do plano é arrastada para a diagonal, porque a componente diagonal cresce três vezes mais rápido que a outra.

O que os autovalores contam sobre a máquina

Dois fatos saem do polinômio característico e vale a pena guardá-los.

O produto dos autovalores é o determinante. No exemplo, $3 \times 1 = 3$, e o determinante de $A$ é $2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$. Faz sentido: o determinante é o fator de escala de área da máquina inteira, e se a máquina estica por 3 em uma direção e por 1 em outra, a área escala por 3.

A soma dos autovalores é o traço, a soma das entradas da diagonal. Aqui, $3 + 1 = 4 = 2 + 2$. Os dois fatos são conferências rápidas de que sua aritmética sobreviveu.

De modo mais amplo, os autovalores são um espectro da máquina. Os grandes são as direções que dominam depois que a máquina é aplicada muitas vezes. Uma máquina com autovalores $3$ e $1$, aplicada dez vezes, estica seu primeiro autovetor por $3^{10}$ e o segundo por $1$. Qualquer seta inicial com um mínimo traço da primeira direção termina quase perfeitamente alinhada com ela. É por isso que processos repetidos se acomodam em um autovetor: é a direção que vence.

Autovalores complexos significam rotação

Gire o plano em 90 graus. Toda seta muda de direção. Nenhuma direção fica intacta, então não deveria haver autovetores, e a fórmula concorda. A matriz de rotação é

$$R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

e seu polinômio característico é $\lambda^2 + 1 = 0$, que não tem soluções reais. Seus autovalores são $i$ e $-i$.

Isso não é uma falha do método. É o método lhe dizendo algo verdadeiro: essa máquina gira, e a rotação não tem direção fixa no plano real. Um autovalor complexo é a assinatura de um giro. Uma rotação geral por um ângulo $\theta$ tem autovalores $e^{i\theta}$ e $e^{-i\theta}$, os mesmos números girantes da identidade de Euler, e uma matriz com autovalores como $0.9 e^{\pm i\theta}$ espirala para dentro, girando e encolhendo ao mesmo tempo. Se os números complexos ainda parecem um truque, Entendendo Números Imaginários Intuitivamente constrói a imagem de $i$ como um quarto de volta, que é exatamente o papel dele aqui.

Diagonalização: troque de assento e a máquina vira multiplicação

Suponha que uma matriz $n \times n$ tenha $n$ autovetores apontando para direções genuinamente diferentes. Então esses autovetores podem servir como um novo conjunto de eixos. Descreva todo vetor em termos de quanto ele contém de cada autovetor, e a máquina fica trivial: ela apenas multiplica cada coordenada pelo autovalor correspondente.

Escrevendo isso, se $P$ é a matriz cujas colunas são os autovetores e $D$ é a matriz diagonal dos autovalores, então

$$A = P D P^{-1}$$

Leia da direita para a esquerda. $P^{-1}$ traduz um vetor para coordenadas de autovetores, $D$ escala cada coordenada, e $P$ traduz de volta. A máquina não mudou. Você encontrou os assentos de onde ela parece uma lista de números.

O ganho está nas potências. Aplicar a máquina cem vezes significa

$$A^{100} = P D^{100} P^{-1}$$

e $D^{100}$ é só cada autovalor elevado à centésima potência. Um cálculo que exigiria cem multiplicações de matrizes vira um punhado de multiplicações escalares. Toda pergunta de longo prazo sobre uma matriz, o que uma população faz depois de cinquenta gerações, para onde um passeio aleatório converge, como uma vibração decai, é uma pergunta sobre $D^n$.

Por que tudo sai à caça de autovetores

Assim que você vê os autovetores como as direções que vencem sob repetição, as aplicações deixam de parecer uma lista e passam a parecer uma única ideia.

• PageRank. O ranqueamento original do Google é o autovetor, com autovalor 1, de uma matriz gigante que descreve quais páginas apontam para quais. É a distribuição de atenção que fica parada quando você segue os links mais uma vez.
• Equações diferenciais. Um sistema $\dot{\vec{x}} = A\vec{x}$ tem soluções construídas a partir de $e^{\lambda t}$ ao longo de cada autovetor. Autovalores positivos crescem, negativos decaem, complexos oscilam. Os autovalores são as taxas do sistema. As transformadas de Laplace são a mesma caça a comportamento exponencial, feita com uma integral em vez de um determinante.
• Vibrações. Uma ponte, uma corda de violão ou uma molécula tem frequências naturais, e elas são os autovalores de sua matriz de rigidez. Os autovetores são os formatos em que ela vibra.
• Dados. A análise de componentes principais encontra os autovetores de uma matriz de covariância. O autovetor de maior autovalor é a direção ao longo da qual os dados mais variam, que é o primeiro eixo que você escolheria para resumi-los.
• Mecânica quântica. Grandezas observáveis são autovalores de operadores. Uma medição devolve um dos autovalores, e os autovetores são os estados em que o sistema se acomoda.

Em todos os casos o método é o mesmo: encontre as direções que a máquina deixa em paz, e o comportamento complicado vira multiplicação ao longo dessas direções.

De onde vêm os erros

Os erros neste assunto são consistentes, e a maioria vem de perder a imagem de vista.

Aceitar o vetor nulo. Resolver $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ sempre permite $\vec{v} = \vec{0}$. Isso não é um autovetor. Se a sua única solução é zero, você usou o $\lambda$ errado.

Esperar que uma linha só dê a resposta. No exemplo resolvido, as duas linhas de $(A - \lambda I)$ diziam a mesma coisa, $x = y$. Essa redundância não é um erro; é o achatamento. Se as duas linhas dão equações independentes com apenas a solução nula, o autovalor está errado.

Supor que sempre há autovetores suficientes. A matriz de cisalhamento com linhas $(1, 1)$ e $(0, 1)$ tem o único autovalor $1$, repetido, mas uma só direção de autovetor. Ela não pode ser diagonalizada. Autovalores repetidos são o lugar em que se confere, em vez de supor.

Confundir as duas palavras. Um autovalor é um número. Um autovetor é uma direção. Questões que pedem um deles em geral precisam do outro como etapa, e responder com o tipo errado de objeto é a forma mais comum de perder o ponto.

Escorregar nos sinais do polinômio característico. Para uma matriz $2 \times 2$ o polinômio é sempre $\lambda^2 - (\text{trace})\lambda + \det$. Escrevê-lo dessa forma, e conferir que as raízes multiplicadas dão o determinante, pega quase todos os escorregões.

Normalizar sem que ninguém tenha pedido. Um autovetor é qualquer vetor não nulo sobre a sua reta. Escalá-lo para comprimento 1 às vezes é exigido e muitas vezes é opcional; faça isso só quando a questão mandar, e nunca perca a direção no caminho.

Onde o Math Zen se encaixa

A imagem de uma máquina esticando certas direções e girando outras vale uma hora de contemplação. A mecânica, subtrair $\lambda$ ao longo da diagonal, expandir o determinante, fatorar, substituir de volta para obter a direção, vale trinta exercícios, porque cada um dos erros acima é um hábito que só a repetição quebra.

O tópico Matrizes no Math Zen gera problemas novos de autovalores com a resposta conferida contra o seu trabalho, de polinômios característicos $2 \times 2$ até autovetores e as conferências de traço e determinante, ao lado dos determinantes e inversas de que eles dependem. A explicação ao lado de cada problema mostra a imagem do achatamento, não só a álgebra, para que a fórmula continue presa à razão pela qual ela funciona.

A conclusão

Uma matriz gira quase toda seta. Um autovetor é uma seta que ela não gira, e o autovalor é o quanto ela estica essa seta em vez disso. A fórmula $\det(A - \lambda I) = 0$ é só a observação de que $A - \lambda I$ precisa achatar o espaço ao longo de um autovetor, e uma máquina achatada tem determinante zero. Autovalores complexos significam que a máquina gira, diagonalização significa descrever a máquina a partir dos assentos de onde ela parece uma simples multiplicação, e processos repetidos terminam ao longo do autovetor de maior autovalor, que é por que buscadores, pontes e populações acabam todos no mesmo cálculo.

Encontre as direções que a máquina deixa em paz, e a máquina para de ser misteriosa.