Equações com valor absoluto: resolva pensando em distância

As duas barras em $|x|$ muitas vezes parecem apenas mais uma instrução para decorar. Em vez disso, leia-as como uma pergunta: a que distância este número está de zero?

Cinco está a cinco unidades de zero. Menos cinco também está a cinco unidades de zero, mas na direção oposta. É por isso que $|5| = 5$ e $|-5| = 5$. O valor absoluto preserva a distância e descarta a direção.

Quando essa imagem fica clara, resolver uma equação com valor absoluto se torna uma busca por posições a uma distância determinada. Os conhecidos dois casos são consequência da reta numérica, não um truque acrescentado à álgebra.

A distância pode ser zero, mas não pode ser negativa

O valor absoluto produz um resultado não negativo. A expressão “não negativo” é importante: zero é permitido, então dizer que ele sempre torna um número positivo é ligeiramente incorreto.

Para um número real $x$, a definição é:

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

A segunda linha não diz que a resposta é negativa. Se $x = -7$, então $-x = -(-7) = 7$. O sinal de menos inverte a direção de um número que já era negativo. Nosso guia sobre números negativos explica essa inversão em mais detalhes.

Calcule a expressão dentro das barras antes de aplicar o valor absoluto:

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

Em geral, não é possível distribuir as barras sobre uma subtração. Aqui, $|3| - |8| = -5$, que é diferente. As barras envolvem uma expressão completa, e é o valor dessa expressão que se transforma em distância.

Por que aparecem duas respostas

Considere:

$$|x| = 6$$

Quais pontos estão a seis unidades de zero? Existem dois: $x = 6$ e $x = -6$. Ambos satisfazem a equação, e nenhum é mais correto que o outro.

Agora desloque o ponto de referência:

$$|x - 4| = 6$$

A expressão $x - 4$ mede a diferença com sinal entre $x$ e 4. Tomar seu valor absoluto fornece a distância entre esses dois pontos. Partindo de 4, avance seis unidades para a direita ou seis unidades para a esquerda:

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{ou} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Confira ambos diretamente: $|10 - 4| = 6$ e $|-2 - 4| = 6$.

O ponto de referência não precisa ser positivo. Em $|x + 3| = 2$, reescreva mentalmente a expressão interna como $x - (-3)$. O centro é -3, portanto as soluções são -1 e -5.

Isole as barras antes de separar os casos

A regra básica para uma constante positiva $c$ é:

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{ou}\; A = -c$$

Aqui, $A$ representa toda a expressão dentro das barras. Antes de usar a regra, isole esse valor absoluto com as mesmas operações que preservam a igualdade e são usadas na álgebra comum.

Resolva este exemplo:

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Subtraia 4:

$$3|2x - 1| = 21$$

Divida por 3:

$$|2x - 1| = 7$$

Agora separe em duas equações:

$$2x - 1 = 7 \quad \text{ou} \quad 2x - 1 = -7$$

A primeira resulta em $2x = 8$, portanto $x = 4$. A segunda resulta em $2x = -6$, portanto $x = -3$.

Ao conferir na equação original, obtemos $3|8 - 1| + 4 = 25$ e $3|-6 - 1| + 4 = 25$. As duas soluções funcionam.

Não separe a equação original simplesmente trocando 25 por -25. A regra do valor absoluto muda o sinal da distância isolada, não o sinal de cada termo do problema. O Paul's Online Math Notes também destaca a necessidade de isolar e conferir ao abordar essas equações.

Verifique se não há solução antes de continuar a álgebra

Suponha que a equação seja:

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

Subtrair 5 e dividir por 2 resulta em:

$$|x + 1| = -2$$

Pare. Nenhum número real pode estar a uma distância negativa de duas unidades. Separar em $x + 1 = -2$ e $x + 1 = 2$ criaria respostas para uma pergunta diferente.

Zero é um caso separado:

$$|3x - 9| = 0$$

A expressão interna deve ser zero, então $3x - 9 = 0$ e $x = 3$. Escrever zero positivo e zero negativo produz a mesma resposta duas vezes.

Para o valor absoluto isolado de uma expressão linear não constante, uma constante positiva produz duas soluções, zero produz uma e uma constante negativa não produz nenhuma. Não estenda esse atalho a qualquer equação com valor absoluto: a expressão interna pode ser quadrática, ou o lado direito pode conter uma variável.

Uma variável no lado direito exige verificar o sinal

Agora resolva:

$$|x - 2| = 2x + 1$$

O lado esquerdo não pode ser negativo, portanto uma solução deve satisfazer $2x + 1 \geq 0$, ou seja, $x \geq -\frac{1}{2}$.

Use as duas equações candidatas:

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{ou} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

A primeira resulta em $x = -3$. Esse valor não respeita a restrição de sinal. A verificação na equação original deixa o problema visível: o lado esquerdo é 5, enquanto o lado direito é -5.

A segunda resulta em $3x = 1$, portanto $x = \frac{1}{3}$. A substituição produz $\frac{5}{3}$ nos dois lados. Essa é a única solução.

A verificação é especialmente útil quando uma operação pode introduzir candidatos que não satisfazem a equação original. Elevar os dois lados ao quadrado também pode fazer isso: essa operação apaga a diferença entre um lado direito positivo e um negativo.

Dois valores absolutos comparam duas distâncias

Uma equação com barras nos dois lados ainda pode ser simples:

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Ela pede o ponto que está à mesma distância de 1 e de -5. Na reta numérica, esse ponto é o ponto médio entre eles, $x = -2$.

A álgebra chega à mesma resposta. Valores absolutos iguais significam que as expressões internas são iguais ou opostas:

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{ou} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

A primeira equação se reduz a $-1 = 5$, portanto não tem solução. A segunda se torna $2x = -4$, resultando em $x = -2$. Sua distância até cada ponto de referência é 3.

Isso é diferente de uma equação com uma soma, como $|x - 1| + |x + 5| = 10$. Não é possível remover todas as barras com uma única separação em dois casos. Problemas assim normalmente exigem intervalos definidos pelos pontos em que cada expressão interna muda de sinal.

O gráfico torna visível a quantidade de soluções

O gráfico de $y = |x|$ tem a forma de um V. À direita de zero, ele segue $y = x$. À esquerda, segue $y = -x$. O ponto do V é o vértice.

Para $y = |x - 4|$, o vértice se desloca para $(4, 0)$. Resolver $|x - 4| = 6$ significa encontrar os pontos onde esse V cruza a reta horizontal $y = 6$. Há duas interseções, em $x = -2$ e $x = 10$.

Uma reta horizontal em zero toca o vértice uma vez. Uma reta horizontal abaixo de zero não encontra o gráfico. Esse é o padrão de duas, uma ou nenhuma solução desenhado na página.

Trocar a igualdade por uma desigualdade significa procurar uma região, não apenas pontos de interseção. Por exemplo, $|x - 4| < 6$ significa que a distância até 4 é menor que 6, portanto $-2 < x < 10$. Nosso guia sobre desigualdades desenvolve essa próxima etapa.

Um roteiro curto para resolver

Primeiro, calcule qualquer parte numérica dentro das barras. Depois, isole um valor absoluto, examine o sinal do outro lado e só separe os casos quando esse sinal permitir. Resolva cada caso e substitua cada candidato na equação original.

Pratique o processo no tópico de Álgebra do Math Zen, que inclui Valor absoluto. Comece pela imagem da distância antes de recorrer à regra dos dois casos. Se você consegue explicar onde está o ponto de referência e qual distância a equação exige, a álgebra passa a ter uma tarefa clara.