Por que o sinal da inequação se inverte ao multiplicar por um número negativo?

Multiplicar por um número negativo inverte a ordem de cada par de números na reta numérica. Como 2 é menor que 5, mas menos 2 é maior que menos 5, a comparação precisa ser escrita ao contrário para continuar verdadeira. Somar ou subtrair desloca os dois lados igualmente e não muda a ordem.

Qual é a diferença entre resolver uma equação e resolver uma inequação?

Uma equação costuma ter uma ou poucas soluções. Uma inequação descreve um intervalo inteiro de valores, então a resposta é um intervalo ou uma união de intervalos. Os passos são parecidos, mas é preciso acompanhar a direção e interpretar o resultado como um conjunto.

Como resolvo uma inequação composta?

Trate-a como duas inequações que precisam valer ao mesmo tempo. Para uma cadeia como 1 é menor que 2x mais 3, que é no máximo 9, aplique cada operação às três partes de uma vez, ou separe em duas inequações distintas e combine os resultados.

Como resolvo uma inequação com módulo?

Leia o módulo como uma distância até zero. A inequação módulo de x menor que 3 significa que x está a menos de 3 de zero, ou seja, menos 3 é menor que x, que é menor que 3. A inequação módulo de x maior que 3 significa que x está a mais de 3 de zero, o que dá duas semirretas separadas.

Posso dividir os dois lados de uma inequação por uma variável?

Somente se você souber o sinal dela. Se a variável puder ser positiva ou negativa, dividir por ela pode ou não inverter o sinal, então separe em casos ou passe tudo para um lado e analise o sinal da expressão.

Inequações de forma intuitiva: por que o sinal se inverte e o que a resposta significa

Uma equação faz uma pergunta estreita: qual número torna os dois lados iguais? Uma inequação faz uma pergunta mais ampla: quais números tornam um lado maior que o outro? A resposta não é um ponto, mas um trecho da reta numérica, e boa parte da confusão em torno das inequações vem de tratar esse trecho como se fosse um único valor.

A mecânica é quase a mesma das equações. Você soma, subtrai, multiplica e divide para isolar a variável. Uma regra é diferente, e é a regra que todo mundo lembra mas poucos sabem explicar: multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal.

Este artigo constrói a imagem que torna essa inversão óbvia e depois a usa para tratar inequações compostas, módulos e o caso quadrático, em que o sinal de um produto é toda a questão. Se os números negativos ainda parecem escorregadios, nosso guia de números negativos é o ponto de partida.

Uma inequação é um conjunto, não um número

Considere $x + 2 < 7$ . Subtraia 2 dos dois lados e obtém $x < 5$ . Isso não é “a resposta é 5”. A resposta é todo número à esquerda de 5 na reta numérica: 4, 0, $-100$ , 4.999, e assim por diante. O próprio 5 fica excluído, por isso a representação na reta usa um círculo aberto em 5 e sombreia tudo à sua esquerda.

Troque o símbolo por $\le$ e o 5 entra no conjunto: o círculo se preenche. Essa pequena diferença é real. “Menor que 5” e “no máximo 5” descrevem coleções diferentes, e uma questão de prova sobre quantos inteiros satisfazem uma inequação depende disso.

Escrever a solução como um intervalo mantém isso honesto. $x < 5$ é $(-\infty, 5)$ ; $x \le 5$ é $(-\infty, 5]$ . O colchete arredondado exclui o extremo, o colchete reto o inclui. Qualquer que seja a notação usada, confira a resposta escolhendo um número dentro do intervalo e outro fora, testando os dois na inequação original.

Somar e subtrair preservam a ordem

Imagine dois números na reta numérica, 2 e 5. Some 3 a ambos: 5 e 8. Subtraia 10 de ambos: $-8$ e $-5$ . Em todos os casos o primeiro continua à esquerda do segundo. Deslocar os dois números na mesma quantidade move a imagem sem mudar qual deles é maior.

É por isso que você pode somar ou subtrair qualquer coisa dos dois lados de uma inequação livremente, exatamente como nas equações. Mover termos de um lado para o outro é seguro. A direção do sinal não é afetada.

O mesmo vale para multiplicar ou dividir por um número positivo. Multiplique 2 e 5 por 3 e obtém 6 e 15; a ordem se mantém. A escala positiva estica ou comprime a reta numérica, mas nunca a inverte.

Multiplicar por um negativo inverte a reta

Agora multiplique 2 e 5 por $-1$ . Você obtém $-2$ e $-5$ . Na reta numérica, $-5$ fica à esquerda de $-2$ . A ordem se inverteu: $2 < 5$ , mas $-2 > -5$ .

Essa é toda a regra. Multiplicar por um número negativo reflete a reta numérica em torno do zero, e uma reflexão inverte esquerda e direita. Toda comparação se inverte junto. Por isso, ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma inequação por um número negativo, é preciso inverter o sinal para manter a afirmação verdadeira.

Trabalhe isso em $-3x > 12$ . Divida os dois lados por $-3$ e inverta: $x < -4$ . Teste: $x = -5$ dá $-3(-5) = 15$ , que é maior que 12. $x = 0$ dá 0, que não é. A resposta invertida é a correta.

Se a inversão parecer arbitrária, evite-a. Em vez disso, some $3x$ aos dois lados: $0 > 12 + 3x$ , depois subtraia 12: $-12 > 3x$ , depois divida por 3 positivo: $-4 > x$ . Mesma resposta, sem divisão por número negativo. Qualquer caminho funciona; o importante é saber por que a regra existe para poder escolher.

Nunca divida por algo cujo sinal você não conhece

A mesma lógica explica uma armadilha que pega até bons alunos. Considere $\frac{2}{x} > 1$ . A tentação é multiplicar os dois lados por $x$ e obter $2 > x$ . Mas se $x$ for negativo, essa multiplicação deveria ter invertido o sinal, e a “solução” agora inclui números negativos que não funcionam: $x = -1$ dá $-2 > 1$ , o que é falso.

O método seguro é passar tudo para um lado e estudar o sinal da expressão: $\frac{2}{x} - 1 > 0$ , logo $\frac{2 - x}{x} > 0$ . Essa fração é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal, o que ocorre para $0 < x < 2$ . A reta numérica com os pontos críticos 0 e 2 marcados torna isso visível em segundos.

Sempre que uma variável aparecer em um denominador ou como um fator pelo qual você quer dividir, pergunte se o sinal dela é conhecido. Se não for, separe em casos ou use a análise de sinal.

Inequações compostas são duas condições ao mesmo tempo

Uma afirmação como $1 < 2x + 3 \le 9$ é duas inequações compartilhando um meio: $1 < 2x + 3$ e $2x + 3 \le 9$ . As duas precisam valer. Você pode resolvê-las separadamente e cruzar as respostas, ou aplicar cada passo às três partes de uma vez, o que é mais rápido quando a variável só aparece no meio.

Subtraia 3 em toda a expressão: $-2 < 2x \le 6$ . Divida por 2: $-1 < x \le 3$ . A solução é o intervalo $(-1, 3]$ : aberto em $-1$ , fechado em 3.

A palavra “ou” produz uma imagem diferente. “ $x < -1$ ou $x > 3$ ” são duas semirretas separadas com um espaço entre elas, e o conjunto solução é a união delas, não a interseção. Leia a palavra de ligação antes de desenhar qualquer coisa. “E” restringe; “ou” amplia.

Inequações com módulo tratam de distância

A expressão $|x|$ é a distância de $x$ até zero. Depois que você a lê assim, as duas formas padrão deixam de precisar de regras decoradas.

$|x| < 3$ diz que a distância até zero é menor que 3, então $x$ fica estritamente entre $-3$ e 3: $-3 < x < 3$ . Um intervalo.

$|x| > 3$ diz que a distância até zero é maior que 3, então $x$ está além de 3 em qualquer direção: $x < -3$ ou $x > 3$ . Duas semirretas.

A mesma imagem funciona com um deslocamento. $|x - 4| \le 2$ significa que a distância de $x$ até 4 é no máximo 2, então $x$ fica a até 2 de 4: $2 \le x \le 6$ . Desenhe o centro, marque o raio, e o intervalo aparece antes de escrever uma linha de álgebra.

Inequações quadráticas: encontre as raízes, depois confira o sinal

Para $x^2 - 5x + 6 < 0$ , fatore: $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Um produto é negativo exatamente quando seus fatores têm sinais opostos. Marque as raízes 2 e 3 em uma reta numérica; elas a dividem em três regiões. Teste um número de cada uma: $x = 0$ dá um produto positivo, $x = 2.5$ dá um negativo, $x = 4$ dá um positivo. A inequação vale apenas na região do meio, então a solução é $2 < x < 3$ .

O erro a evitar é tratar a inequação como a equação e relatar “ $x < 2$ e $x < 3$ ”, o que não faz sentido como afirmação combinada. As raízes são fronteiras da região, não a resposta. Nosso guia de equações quadráticas cobre como encontrar essas raízes; o passo da inequação é sempre a verificação de sinal que vem depois.

Esboçar a parábola dá o mesmo resultado. $y = x^2 - 5x + 6$ abre para cima e desce abaixo do eixo entre suas raízes, então só é negativa ali. Para uma parábola que abre para baixo, a imagem e a resposta se invertem.

Uma lista de verificação que evita os erros comuns

Decida se o sinal é estrito ou inclusivo antes de começar, e leve essa escolha até a resposta final.
Some e subtraia livremente. Multiplique ou divida por números positivos livremente.
Ao multiplicar ou dividir por um número negativo, inverta o sinal na mesma etapa. Escreva a inversão; não a guarde apenas na cabeça.
Não divida por uma variável ou expressão de sinal desconhecido. Passe os termos para um lado e analise o sinal em vez disso.
Para “e”, faça a interseção. Para “ou”, faça a união. Desenhe as duas em uma mesma reta numérica.
Leia $|\,\cdot\,|$ como distância. Menor que dá um intervalo; maior que dá duas semirretas.
Em quadráticas, encontre as raízes, teste um valor em cada região e relate as regiões onde a inequação vale.
Confira a resposta com um número dentro do conjunto solução e outro fora.

Pratique isso no tópico de álgebra do Math Zen, onde as habilidades de inequações geram problemas novos a cada vez e mostram a resolução quando a verificação de sinal dá errado. O guia de álgebra cobre os passos de resolução de equações que as inequações compartilham.

Uma inequação é a descrição de uma região. Cada regra acima é uma forma de mover ou refletir essa região sem perder de vista onde ela está. Mantenha a reta numérica à vista e a inversão deixa de ser uma regra para decorar e vira algo que você consegue enxergar.