A matemática da física: o que treinar antes da AP Physics 1

Um aluno pode explicar claramente a segunda lei de Newton, desenhar corretamente o diagrama de corpo livre, montar a equação certa e ainda assim perder o ponto. A falha aparece duas linhas depois: uma fórmula é reorganizada de forma errada, o seno é usado onde deveria entrar o cosseno, ou uma velocidade em quilômetros por hora é multiplicada por um tempo em segundos.

Pergunte a um professor de física onde os pontos se perdem, e a resposta raramente é "não entenderam a física". É álgebra, trigonometria e unidades. Essas são habilidades matemáticas, e podem ser treinadas separadamente da física que as utiliza.

Este artigo mapeia a matemática por trás do primeiro ano de física, tema por tema, para que você possa praticar exatamente a habilidade que está falhando em vez de reler um capítulo que já entende. Foi escrito para estudantes se preparando para a AP Physics 1 ou A-Level Physics, e para qualquer pessoa que esteja começando no nosso aplicativo irmão Physics Zen e se perguntando por que a álgebra continua incomodando.

Reorganizar fórmulas é a habilidade que você usa em todos os temas

As fórmulas de física quase nunca são pedidas na forma em que aparecem impressas. A folha te dá $v = u + at$; a questão pede o tempo. Ela te dá $F = ma$; a questão fornece a força e a aceleração e quer a massa.

Reorganizar é álgebra comum: aplicar a mesma operação nos dois lados até a incógnita ficar sozinha. Os erros também são comuns. Subtrair um termo de apenas um dos lados. Dividir um termo de uma soma em vez da soma inteira. Mover uma grandeza ao quadrado e esquecer a raiz quadrada do outro lado.

Um exemplo útil é a aceleração centrípeta, $a = \frac{v^2}{r}$. Isolar o raio significa multiplicar os dois lados por $r$ e dividir por $a$, chegando a $r = \frac{v^2}{a}$. Isolar a velocidade exige uma raiz quadrada no final, $v = \sqrt{ar}$. Alunos que chegam a $v = \frac{ar}{1}$ não cometeram um erro de física; pularam uma etapa de álgebra.

Se alguma dessas etapas parecer lenta, o tema de álgebra do Math Zen treina simplificação, resolução e reorganização com novos números a cada vez, e o guia de álgebra explica por que as etapas são válidas. No Physics Zen, a mesma habilidade aparece logo no tema gratuito de Cinemática, onde todo problema entrega uma equação para você inverter.

Equações do segundo grau aparecem assim que a gravidade entra

A aceleração uniforme produz a equação

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Assim que a incógnita é o tempo, isso é uma equação do segundo grau. Uma bola lançada para cima a $15\ \text{m/s}$ de uma saliência $20\ \text{m}$ acima do solo chega ao chão quando

$$0 = 20 + 15t - 4.9t^2$$

A fórmula de Bhaskara dá duas raízes, aproximadamente $t = 4.07\ \text{s}$ e $t = -1.00\ \text{s}$. Apenas a raiz positiva descreve um tempo depois do lançamento. A física diz qual raiz manter; a álgebra diz quais são as raízes. As duas etapas precisam estar certas.

Os erros matemáticos mais comuns aqui são deslizes de sinal dentro da fórmula, usar $b$ em vez de $-b$, e erros de aritmética dentro da raiz quadrada. Cada um deles é treinado em Resolução de Equações no Math Zen, e o guia de equações do segundo grau mostra por que a fórmula funciona. Problemas de lançamento de projéteis e queda livre em cinemática do Physics Zen usam isso com novas velocidades de lançamento a cada vez.

Trigonometria transforma uma inclinação em dois números

Forças em um plano inclinado, tensão em uma corda em ângulo, a velocidade de lançamento de um projétil: tudo isso precisa ser decomposto em componentes. Isso é trigonometria do triângulo retângulo, e nada mais avançado do que isso.

A regra que evita a maioria dos erros: o componente adjacente ao ângulo conhecido usa cosseno; o componente oposto a ele usa seno. Em uma rampa de ângulo $\theta$, o componente do peso ao longo da rampa é $mg\sin\theta$ e o componente que pressiona contra a rampa é $mg\cos\theta$.

Verifique isso com um caso-limite. Em $\theta = 0$ a superfície é plana e nada deveria puxar o bloco ao longo dela. Como $\sin 0 = 0$, a versão com seno passa no teste. Se você tivesse escrito $mg\cos\theta$ para a força ao longo da rampa, o caso plano daria um $mg$ inteiro puxando para o lado, o que é claramente errado. Essa verificação de trinta segundos pega o erro de trigonometria mais comum em mecânica.

O Math Zen tem um tema dedicado de trigonometria exatamente para isso, e o tema de vetores cobre como somar componentes de volta. Leia o guia de trigonometria primeiro se seno e cosseno ainda parecem uma tabela de valores em vez de coordenadas em um círculo. Do lado da física, o plano inclinado é a última habilidade em dinâmica do Physics Zen.

Potências, raízes e o inverso do quadrado

A energia cinética é $\tfrac{1}{2}mv^2$. A aceleração centrípeta é $\frac{v^2}{r}$. A intensidade do campo gravitacional é $\frac{GM}{r^2}$. A física está cheia de quadrados em numeradores e denominadores, e cada um deles gera uma questão de raciocínio proporcional.

Dobre a velocidade e a energia cinética fica quatro vezes maior. Dobre o raio orbital e a gravidade na superfície cai para um quarto. Triplique a velocidade na mesma curva e a força centrípeta necessária cresce nove vezes. Examinadores adoram essas questões porque a conta é trivial, mas o raciocínio não é.

Dois hábitos matemáticos importam aqui. Primeiro, saber como uma potência responde ao escalonamento da base: se $v$ é multiplicado por $k$, então $v^2$ é multiplicado por $k^2$. Segundo, estar confortável com notação científica, porque $G = 6.67 \times 10^{-11}$ e a massa da Terra, $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, serão multiplicados no mesmo problema.

A habilidade de potências e raízes no Math Zen treina os dois, e o guia de expoentes explica o que um expoente negativo realmente significa. A gravitação está em movimento circular e gravitação no Physics Zen.

Razões, proporções e conversões de unidades

Um carro viajando a $72\ \text{km/h}$ freia por $4\ \text{s}$. Antes que qualquer física possa acontecer, essa velocidade precisa virar $20\ \text{m/s}$. Dividir por $3.6$ não é um fato de física; é $1000$ metros por quilômetro dividido por $3600$ segundos por hora.

Conversão de unidades é raciocínio proporcional. O mesmo vale para questões de densidade, questões de "quantas vezes mais" e qualquer problema que dê duas grandezas em uma razão fixa. O erro é sempre o mesmo: multiplicar quando deveria dividir, ou converter apenas uma das duas unidades em uma grandeza composta como $\text{km/h}$.

A habilidade de razões e proporções no Math Zen cobre isso diretamente, com uma explicação mais completa no guia de razões. O movimento uniforme no Physics Zen, a primeiríssima habilidade do tema gratuito de Cinemática, pede a mesma conversão em quase todos os problemas.

Lendo gráficos: inclinação e área

Gráficos de velocidade em função do tempo são a representação mais cobrada no primeiro ano de física. A inclinação é a aceleração. A área entre a reta e o eixo do tempo é o deslocamento. Gráficos de posição em função do tempo dão a velocidade como inclinação. A física está em saber qual grandeza mora em cada lugar; a matemática está em ler uma inclinação e calcular uma área corretamente.

Os erros comuns são ler a altura de um gráfico quando a questão pergunta sobre a inclinação, e esquecer que a área abaixo do eixo conta como deslocamento negativo. Os dois são erros de leitura matemática, não erros de física.

O tema de análise de gráficos do Math Zen pratica interceptos, inclinações e comportamento de gráficos sem nenhuma física associada. Se depois você avançar para um curso baseado em cálculo, o guia de derivadas e o guia de integrais mostram que "inclinação" e "área" são as mesmas ideias tornadas exatas.

Duas incógnitas precisam de duas equações

Alguns problemas não podem ser resolvidos com uma equação de cada vez. Uma colisão elástica conserva tanto o momento quanto a energia cinética, o que dá duas equações para duas velocidades finais. Um circuito com duas baterias precisa da lei das malhas de Kirchhoff escrita para duas malhas. Uma questão de projétil pode combinar uma equação horizontal e uma vertical que compartilham o tempo de voo.

Isso são sistemas de equações, e o erro típico é substituir na equação errada ou perder de vista qual variável foi eliminada. A habilidade de sistemas lineares no Math Zen treina a mecânica da substituição e da eliminação. No Physics Zen, a mesma estrutura aparece em momento e colisões e em circuitos.

Um plano de prática que usa os dois aplicativos

A tabela abaixo relaciona cada tema de física com a habilidade matemática que mais falha dentro dele.

Tema de física (Physics Zen)	Habilidade matemática que mais falha (Math Zen)
Movimento uniforme	Razões e conversão de unidades
Aceleração uniforme, queda livre	Reorganização de fórmulas, equações do segundo grau
Movimento de projéteis	Trigonometria, equações do segundo grau, sistemas de equações
Leis de Newton, atrito, plano inclinado	Trigonometria, resolução de equações lineares
Trabalho, energia, potência	Potências e raízes, raciocínio proporcional
Momento e colisões	Sistemas lineares
Movimento circular e gravitação	Quadrados em frações, notação científica
Questões de gráficos em qualquer tema	Inclinação, área, comportamento de gráficos

Uma rotina viável é curta. Passe dez minutos na habilidade matemática da coluna da direita com problemas gerados na hora, depois vá para o tema de física da coluna da esquerda e resolva até a álgebra deixar de ser o que chama sua atenção. Os dois aplicativos geram novos números a cada vez, então você não consegue memorizar respostas, só métodos.

O Physics Zen é feito pela mesma equipe do Math Zen e segue o mesmo ciclo: um problema gerado, uma verificação instantânea, uma solução resolvida passo a passo e a teoria ao lado do item. Cinemática é gratuita do início ao fim. Está disponível para iPhone e Android. Para o olhar inverso, o blog do Physics Zen lista os erros de física que são na verdade erros de matemática e o que praticar para cada um.

Você não precisa de mais física para corrigir um sinal perdido. Precisa de cinco minutos da álgebra certa, e então a física que você já entende recebe o ponto que merece.