Integrais impróprias: convergência e exemplos resolvidos

Uma integral pode ter uma primitiva familiar e ainda assim não ter um valor finito. O passo que falta é um limite. Se o intervalo se estende ao infinito, ou se a função cresce sem limite numa extremidade ou dentro do intervalo, não basta substituir os limites escritos na primitiva. Primeiro, troque a fronteira problemática por uma variável comum. Depois, pergunte o que acontece quando essa variável se aproxima da fronteira.

Isso torna a integral imprópria. O nome descreve o problema, não a resposta. Algumas integrais impróprias convergem para um número finito; outras divergem. Este guia coloca exemplos lado a lado para mostrar qual passo faz a diferença. Se a notação da integral definida ainda é nova, comece pela introdução às integrais. O guia de limites explica a operação que decide cada exemplo abaixo.

Identifique primeiro o que torna a integral imprópria

Há dois casos comuns. Um intervalo infinito tem um limite como $+\infty$ ou $-\infty$. Um integrando ilimitado tem um ponto onde a função cresce sem limite, mesmo que os limites escritos sejam finitos. Esse ponto pode estar numa extremidade ou no interior do intervalo.

OpenStax Calculus, Volume 2, §3.7 define os dois casos por meio de limites. A distinção importa porque tratar $\infty$ como um número, ou atravessar uma singularidade interna num único cálculo, pode produzir uma resposta plausível e falsa.

Um limite finito significa convergência. Se o resultado cresce sem limite ou não se estabiliza num valor finito, há divergência. A mesma primitiva pode aparecer nos dois resultados. Encontrá-la é apenas parte do trabalho.

Quatro passos que servem para outros exemplos

1. Localize toda fronteira suspeita. Inclua um extremo infinito, um denominador igual a zero, um logaritmo fora do domínio ou outro ponto onde a função é ilimitada. Uma singularidade interna exige separar o intervalo antes de integrar.

2. Substitua uma fronteira suspeita por uma variável finita. Escreva a integral própria correspondente. Por exemplo, troque $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ por $\int_1^R f(x)\,dx$ para um $R>1$ finito.

3. Calcule a integral própria. Uma primitiva ajuda aqui. Confira seu domínio e os sinais antes de substituir os limites finitos. Se a integração direta for difícil, uma comparação ainda pode decidir a convergência.

4. Tome o limite e declare o resultado. Não entregue só a expressão para $R$ ou $\varepsilon$ finito. Escreva o valor limite e diga convergente ou divergente. Se houve uma singularidade interna, faça o cálculo independentemente de cada lado.

Essa ordem torna a solução verificável. Quem a lê consegue identificar a fronteira examinada e confirmar se o número final veio mesmo de um limite.

No infinito: uma área finita e outra infinita

Comece por um exemplo convergente:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

O intervalo nunca termina, mas a área acrescentada fica pequena o suficiente para o total se aproximar de 1. Agora mude apenas a potência no denominador:

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Essa integral diverge. O fato de $1/x$ tender a zero não torna finita a área acumulada. A função diminui devagar demais. A comparação mostra a ideia: os dois integrandos tendem a zero e têm primitivas elementares, mas apenas um dá um limite finito para a integral.

Para $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$, a fronteira está em $p=1$. A integral converge se $p>1$ e diverge se $p\le1$. Esse atalho vem do cálculo do limite, incluindo o caso logarítmico em $p=1$. Se houver dúvida sobre o expoente ou o intervalo, volte ao limite que fundamenta a regra.

Na extremidade: a mesma pergunta pelo outro lado

Uma integral pode ser imprópria mesmo com os dois limites escritos finitos. Em $x=0$, $x^{-1/2}$ é ilimitada. Troque o limite inferior por $\varepsilon>0$:

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

A função cresce sem limite na extremidade, mas a integral converge. Compare $1/x$ no mesmo intervalo:

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Essa integral diverge. Não substitua zero em $\ln x$: $\ln0$ não está definido. A pergunta matemática é o limite. O par na extremidade espelha o par no infinito: a singularidade por si só não resolve a convergência, e a existência de uma primitiva tampouco.

Dentro do intervalo: não cancele através da falha

O atalho mais perigoso aparece quando a singularidade fica entre dois limites que parecem comuns. Considere

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

A primitiva $\ln|x|$ tem o mesmo valor em $-1$ e $1$. É tentador escrever zero. Mas esse passo atravessa $x=0$, onde $1/x$ não está definida. O teorema fundamental não autoriza uma única subtração através da falha. Examine os dois lados separadamente antes de atribuir um valor ao todo:

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{e}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Cada lado precisa do seu próprio limite. À esquerda, com $\varepsilon>0$, $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. À direita, $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Nenhum dos dois converge para um valor finito. Portanto, a integral imprópria original diverge.

Um corte simétrico pode produzir zero para qualquer $\varepsilon$ positivo, mas isso define outra construção, o valor principal de Cauchy. Ela emparelha os dois lados divergentes para que se cancelem. Não é o valor da integral imprópria comum. A lista de exercícios da University of South Carolina especifica a exigência dos dois lados numa singularidade interna.

Se a primitiva for difícil, compare

Nem toda integral imprópria tem uma primitiva que você queira calcular. Para um integrando não negativo, pode comparar seu tamanho com o de outro cujo comportamento já conhece. Por exemplo, para $x\ge1$,

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Como $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ converge, a integral menor e não negativa $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$ também converge. Isso prova a convergência sem encontrar o valor exato. O teorema de comparação do OpenStax, §3.7 detalha as condições. O sentido da desigualdade importa: estar abaixo de uma função cuja integral diverge não diz nada por si só; estar abaixo de uma cuja integral converge permite concluir convergência quando ambas são não negativas.

Revise antes de entregar a resposta

Antes de concluir, indique qual fronteira é problemática e confira a última linha. Uma primitiva isolada, um $\infty$ substituído como número ou um $\ln0$ indefinido são soluções incompletas. Numa singularidade interna, são necessários dois limites laterais finitos. O cancelamento simétrico não os substitui.

Experimente duas verificações. $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$ converge? O mesmo cálculo dá $1/2$. E $\int_0^1x^{-2}\,dx$ converge? Seu limite na extremidade cresce sem limite, portanto diverge. São fronteiras e conclusões diferentes, apesar de aparecer a mesma potência. Se um resultado surpreender, escreva a versão com limite finito e deixe o limite explicar a resposta.

O guia de limites do Math Zen ajuda com a última etapa. O guia da regra de L'Hôpital apresenta uma ferramenta para formas elegíveis de limite, mas não substitui a identificação nem a divisão da fronteira imprópria. Depois que você localiza todos os pontos problemáticos e escreve os limites laterais certos, o resto volta a ser cálculo comum.