Distribuição binomial: exemplos de exatamente, pelo menos e no máximo

Suponha que você lance uma moeda cinco vezes e queira obter cara exatamente três vezes. É simples calcular a probabilidade de uma sequência específica, como cara, cara, coroa, cara, coroa. Mas essa é apenas uma das várias formas de obter três caras. Um cálculo binomial faz as duas coisas: encontra a chance de uma sequência e conta todas as sequências que atendem à condição.

Estes exemplos de distribuição binomial mostram como calcular um número exato de sucessos, pelo menos um sucesso e no máximo dois sucessos. Antes de aplicar a fórmula, verifique se a situação realmente se encaixa nela. Se você quiser uma introdução mais leve à linguagem da probabilidade, leia nosso guia de probabilidade.

Confira as quatro condições binomiais

O modelo binomial conta sucessos em tentativas repetidas. A lição sobre distribuição binomial do OpenStax descreve um modelo que podemos conferir em quatro partes:

1. Número fixo de tentativas: defina $n$ antes de observar os resultados.
2. Dois resultados por tentativa: chame cada resultado de sucesso ou fracasso de acordo com a pergunta.
3. Tentativas independentes: conhecer um resultado não altera a probabilidade de outro.
4. Probabilidade de sucesso constante: o mesmo $p$ vale em todas as tentativas.

Se as quatro condições forem satisfeitas, seja $X$ o número de sucessos. Então $X$ pode ser qualquer inteiro de zero a $n$. A palavra sucesso não significa que o resultado seja bom. Se você está contando peças defeituosas, uma peça com defeito pode ser o sucesso matemático porque é o evento que escolheu contar.

Considere cinco questões independentes, com probabilidade $p=0.4$ de acertar cada uma. Fixamos cinco questões, chamamos a resposta correta de sucesso, supomos independência e mantemos a chance em 0.4 todas as vezes. Essa é uma situação binomial.

Monte a fórmula da probabilidade

Para obter exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas, comece por uma sequência específica. Se a probabilidade de sucesso é $p$, a de fracasso é $1-p$. Pela independência, a probabilidade de uma sequência com $k$ sucessos e $n-k$ fracassos é $p^k(1-p)^{n-k}$.

Agora conte as sequências. Existem $\binom{n}{k}$ maneiras de escolher em quais $k$ posições das tentativas ocorrerá um sucesso. Todas têm a mesma probabilidade, portanto:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Por exemplo, três sucessos em cinco tentativas têm $\binom{5}{3}=10$ arranjos possíveis. Não é preciso listar todos. Se o termo de contagem não for familiar, permutações e combinações explica por que escolher posições é uma combinação, não uma questão de ordenar os elementos.

Como conferência rápida da escala, a média de sucessos nesse modelo é $np$ e a variância é $np(1-p)$, como apresenta o OpenStax. São resumos da distribuição inteira, não substitutos da probabilidade de uma contagem específica. Para distinguir variância de desvio padrão, consulte este guia.

Exemplo 1: exatamente três sucessos

Volte às cinco questões independentes, cada uma com $p=0.4$ para uma resposta correta. Encontre a probabilidade de acertar exatamente três. O número de tentativas é $n=5$, e a contagem solicitada é $k=3$. Substitua os valores antes de usar a calculadora:

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

Portanto, a probabilidade é $23.04\%$. O fator $10$ conta onde as três respostas corretas podem aparecer. Sem ele, $0.02304$ seria a probabilidade de apenas uma sequência, como certa, certa, errada, certa, errada. Esse é o termo que mais se esquece em uma solução para contagem exata.

Os expoentes também ajudam a conferir o problema: três sucessos mais dois fracassos são cinco tentativas. Se os expoentes não somarem $n$, pare antes de calcular. Um bom hábito é manter o decimal exato $0.2304$ nos passos seguintes e arredondar apenas quando apresentar a resposta.

Exemplo 2: pelo menos um sucesso

Suponha quatro tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso de $0.3$. Encontre a probabilidade de pelo menos um sucesso. Isso inclui um, dois, três e quatro sucessos. Você poderia somar quatro termos binomiais, mas o complementar é mais curto: zero sucessos.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

A resposta é $75.99\%$. Leia o complementar em palavras antes de escolhê-lo: “pelo menos um” só falha quando não há nenhum. Já o complementar de “pelo menos dois” inclui zero e um. Subtrair apenas $P(X=0)$ nesse caso daria a resposta errada.

Note que $P(X=0)=(1-p)^n$. O termo de combinações é um porque existe exatamente uma sequência sem sucessos. Esse atalho funciona porque as tentativas compartilham a mesma probabilidade e são independentes.

Exemplo 3: no máximo dois sucessos

Agora imagine seis tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso $p=0.25$. “No máximo dois” significa zero, um ou dois. Some precisamente esses três casos mutuamente exclusivos:

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

Isso é cerca de $83.06\%$. Aqui a soma direta usa três termos. O complementar, $1-P(X\geq3)$, exigiria quatro, por isso é menos conveniente. Se o limite for grande, compare o número de termos dos dois lados e calcule o menor. A função de probabilidade binomial acumulada da calculadora pode ajudar, mas você ainda precisa escolher a desigualdade correta. Uma função que devolve $P(X\leq2)$ inclui o dois; uma que devolve $P(X<2)$ não inclui.

Se você arredondar cedo demais os decimais intermediários, a soma pode mudar algumas unidades na última casa decimal. Mantenha a precisão completa durante a soma e só então arredonde a probabilidade final conforme a questão pedir. A resposta deve ficar entre zero e um.

Uma situação que não é binomial

Você retira três cartas de um baralho padrão de 52 cartas sem reposição e conta os ases. O número de retiradas é fixo, e cada carta pode ser classificada como ás ou não ás. Mas o baralho muda depois da primeira retirada. Se saiu um ás, a probabilidade de outro ás na segunda carta é $3/51$; se não saiu, é $4/51$. A probabilidade de sucesso deixa de ser fixa, e as retiradas são dependentes. Portanto, a fórmula binomial com $n=3$ e $p=4/52$ não é um modelo exato.

Recolocar cada carta e embaralhar antes da próxima retirada restauraria a probabilidade constante e a independência neste exemplo simplificado. Essa distinção importa mais do que decorar a fórmula: primeiro determine o que está sendo retirado e se uma tentativa muda a seguinte.

Resolva três perguntas e depois confira as soluções

1. Exatamente duas. Um jogo tem cinco rodadas independentes e chance de vitória de $0.2$ em cada uma. Qual é a probabilidade de exatamente duas vitórias?

Solução: $n=5$, $k=2$ e $p=0.2$. Existem $\binom{5}{2}=10$ arranjos das duas vitórias. Assim,

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

A chance é $20.48\%$. Contar apenas um arranjo produziria $0.02048$, um décimo da resposta correta.

2. Pelo menos duas. Quatro tentativas independentes têm probabilidade de sucesso de $0.5$ cada uma. Qual é a probabilidade de pelo menos dois sucessos?

Solução: “Pelo menos dois” exclui zero e um. Com $p=0.5$, o complementar é simples:

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

A resposta é $68.75\%$. Subtrair somente zero sucessos responderia à pergunta “pelo menos um”.

3. No máximo uma. Três verificações independentes têm, cada uma, probabilidade de resultado positivo de $0.1$. Qual é a probabilidade de no máximo um resultado positivo?

Solução: Inclua zero e um, depois some:

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

A resposta é $97.2\%$.

Para praticar mais os fundamentos, acesse os exercícios de probabilidade do Math Zen. O primeiro passo mais valioso em cada questão continua sendo verificar as quatro condições.