Variância e desvio padrão: um exemplo resolvido passo a passo

Dois grupos terminam um quebra-cabeça em uma média de quatro minutos. No primeiro, todo mundo termina em quatro minutos. No segundo, metade termina em dois minutos e a outra metade em seis. As médias são iguais, mas os tempos do segundo grupo estão mais espalhados. Variância e desvio padrão dão um número para essa diferença.

Ambos medem a mesma característica, a dispersão em torno da média, mas em escalas diferentes. A variância usa unidades ao quadrado. O desvio padrão tira sua raiz quadrada e volta às unidades originais. Se os dados estão em minutos, a variância está em minutos ao quadrado e o desvio padrão em minutos. O cálculo também muda conforme os dados representem uma população inteira ou só uma amostra.

Este guia percorre um conjunto de dados do começo ao fim. Se você ainda precisa do panorama geral de médias, medianas e distribuições, leia nossa introdução à estatística.

Comece pelos desvios em relação à média

Suponha que oito tentativas do quebra-cabeça levaram estes tempos, em minutos:

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

A soma é $40$ minutos, então a média é $40/8=5$ minutos. O próximo passo é subtrair cinco de cada tempo. Os desvios são:

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

Um desvio negativo indica mais rápido que a média; um positivo, mais lento. Esses desvios somam zero, como sempre acontece com desvios em relação à média aritmética. Fazer simplesmente a média deles mostraria dispersão zero até para um conjunto com valores muito diferentes. Isso não ajuda. Elevar cada desvio ao quadrado o torna não negativo e dá mais peso aos afastamentos maiores, como explica a referência do NIST sobre medidas de dispersão.

Aqui estão os oito desvios ao quadrado:

Tempo, minutos	Desvio em relação a 5, minutos	Desvio ao quadrado, minutos²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

A última coluna soma $32$ minutos quadrados. Essa soma é a base das duas medidas. Nenhum dos tempos observados muda daqui em diante. O denominador depende do que esses oito tempos representam.

Se eles forem toda a população

Imagine que as oito tentativas são todas as tentativas da pequena competição que lhe interessa. Você está descrevendo esse grupo completo, não estimando outro grupo maior que não observou. Divida a soma dos desvios ao quadrado pelo número de valores, $N=8$:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{minutos}^2$$

Essa é a variância populacional, representada por $\sigma^2$. Agora tire a raiz quadrada:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{minutos}$$

Esse é o desvio padrão populacional. A raiz quadrada não desfaz a conta para produzir a distância absoluta média. Ela devolve as unidades e a escala depois que os desvios já foram elevados ao quadrado e combinados. A seção do OpenStax sobre dispersão usa os mesmos símbolos e denominador para uma população.

O que significam dois minutos aqui? São uma medida da dispersão dos tempos em torno da média de cinco minutos, expressa em minutos. Isso não diz que todos os resultados ficam a até dois minutos de cinco: a própria lista contém dois e nove. Também não implica que certa fração deva cair nesse intervalo. Regras percentuais assim exigem hipóteses sobre a distribuição, não apenas um desvio padrão calculado.

Se eles forem uma amostra

Agora imagine que os mesmos oito tempos foram escolhidos entre um conjunto de tentativas muito maior, e você quer estimar a variabilidade dessa população maior. A média observada de cinco também foi calculada a partir da amostra. A variância amostral habitual usa $n-1$ no denominador:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{minutos}^2$$

O desvio padrão amostral é:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{minutos}$$

O resultado é um pouco maior que no cálculo populacional porque a mesma soma, $32$, é dividida por sete em vez de oito. Não se trata de escolher entre uma fórmula generosa e outra rígida. As duas respondem a perguntas diferentes: descrever os oito valores como o grupo completo ou usar oito observações para estimar a dispersão de um grupo maior. O texto de ciência de dados do OpenStax mostra as duas fórmulas e a diferença de unidades.

Por que sete? A média amostral é ajustada às mesmas observações, o que tende a fazer seus desvios parecerem menores do que os desvios em relação à média populacional desconhecida. Usar $n-1$ corrige essa tendência de subestimar a variância sob as condições habituais de amostragem. Um jeito de lembrar: depois de fixar a média amostral, sete desvios podem variar livremente; o oitavo precisa completar a soma zero. A razão estatística mais profunda envolve o comportamento da variância amostral ao longo de amostras repetidas. Para este artigo, basta a regra prática: identifique se tem uma população ou uma amostra antes de dividir.

Qual número você deve informar?

Use a variância quando o cálculo pede dispersão ao quadrado ou quando você continuará com uma fórmula estatística definida em termos de variância. Use o desvio padrão quando quiser que o leitor compare a dispersão às medidas originais. “Um desvio padrão de cerca de 2.14 minutos” é fácil de comparar a uma média de cinco minutos; “uma variância de cerca de 4.57 minutos quadrados” é matematicamente exata, mas mais difícil de visualizar.

Informe sempre qual regra usou. “DP = 2” e “DP = 2.14” vêm dos mesmos oito tempos. Sem indicar população ou amostra, o leitor não saberá por que diferem. Se sua calculadora oferece $\sigma$ e $s$, as teclas não são intercambiáveis. Escolha $\sigma$ para descrever a população completa e $s$ para calcular com uma amostra.

A unidade também importa. Se os valores estão em centímetros, a variância usa $\mathrm{cm}^2$ e o desvio padrão usa centímetros. Se forem pontuações sem unidade, ambos os resultados são adimensionais. Chamar os dois números de “pontos” ou ambos de “pontos quadrados” esconde o que a raiz quadrada fez.

Por que não usar apenas a amplitude?

A amplitude dos tempos é $9-2=7$ minutos. Ela mostra a distância entre os extremos e nada sobre os seis valores intermediários. Mude um valor do meio mantendo dois e nove fixos: a amplitude continua sete, embora o padrão geral mude. A variância e o desvio padrão usam todas as observações, portanto alterações intermediárias afetam o resultado.

Essa força traz uma limitação: elevar ao quadrado dá grande influência a valores distantes. Nos dados calculados, a tentativa de nove minutos sozinha contribui $16$ dos $32$ minutos quadrados totais. Isso ajuda quando um afastamento grande importa, mas também significa que você deve olhar os dados antes de interpretar uma única medida de dispersão. O NIST observa o efeito mais forte dos grandes desvios ao comparar medidas de dispersão. Desvio padrão não substitui notar um valor incomum ou uma distribuição assimétrica.

Para criar intuição, compare dois conjuntos de quatro valores com média quatro: $[4,4,4,4]$ e $[2,2,6,6]$. O primeiro tem todos os desvios ao quadrado e o desvio padrão iguais a zero. No segundo, cada valor está a duas unidades de quatro; logo, cada desvio ao quadrado vale quatro. Tratando cada conjunto como uma população completa, a variância é quatro e o desvio padrão, dois. A média compartilhada escondia toda a diferença.

Erros comuns de cálculo

Dividir antes de decidir o que os dados representam. Escreva “população” ou “amostra” acima da conta. Para população, use $N$; para variância amostral usada para estimar a população, use $n-1$. Confundir os dois é o motivo mais comum de duas respostas aparentemente corretas serem diferentes.

Esquecer a raiz quadrada. A soma dividida pelo denominador é a variância. O desvio padrão é a raiz quadrada desse número. Informe ambos se o exercício pedir ambos.

Omitir as unidades. A soma dos desvios ao quadrado e a variância têm unidades ao quadrado; o desvio padrão tem a unidade original. É uma forma rápida de conferir seu trabalho.

Chamar de diferença absoluta média. Essa é outra medida, o desvio absoluto médio. Para o desvio padrão, primeiro elevamos ao quadrado, depois calculamos a média conforme a regra populacional ou amostral e, por fim, tiramos a raiz quadrada. Em geral, essas operações dão outro valor.

Arredondar todas as linhas. Mantenha os desvios ao quadrado e a fração exata pelo maior tempo possível. Para esses dados, $32/7$ dá um desvio padrão amostral mais preciso do que tirar a raiz de uma variância já arredondada.

Pratique sem copiar a tabela

Experimente $[1,3,3,5]$ e trate os quatro valores como população completa. A média é $3$. Os desvios são $[-2,0,0,2]$, então a soma dos quadrados é $8$. A variância populacional é $8/4=2$ unidades quadradas e o desvio padrão populacional é $\sqrt{2}\approx1.4142$ unidades. Se os quatro valores forem uma amostra, divida por três: variância amostral $8/3\approx2.6667$ e desvio padrão amostral $\sqrt{8/3}\approx1.6330$.

Mude só o último valor de cinco para nove. Antes de calcular, preveja se a dispersão vai aumentar. Vai, mas refaça a aritmética: a média também mudou, então você não pode atualizar somente uma linha da antiga tabela de desvios. É um bom exercício para perceber por que média e dispersão precisam ser calculadas juntas.

Os exercícios de estatística do Math Zen ajudam depois que você consegue completar uma tabela à mão. Use-os para praticar a identificação da média, a escolha do denominador certo e a checagem das unidades da resposta. Se a diferença entre amostra e população ainda parece abstrata, nosso guia de probabilidade explica por que uma amostra serve para raciocinar sobre um conjunto maior de resultados.

Perguntas frequentes

A variância é sempre maior que o desvio padrão?

Não. Eles têm unidades diferentes, então uma comparação direta de maior ou menor normalmente não faz sentido. Numericamente, quando uma variância é menor que um em certa unidade escolhida, sua raiz quadrada é maior que a variância; quando passa de um, a raiz é menor. Mudar de unidade pode alterar essa comparação numérica sem alterar os dados.

O desvio padrão pode ser negativo?

Não. Desvios ao quadrado não são negativos, sua soma também não, e a raiz quadrada usada no desvio padrão é não negativa. Ela só é zero quando todos os valores observados são iguais.

Quando uso n menos 1?

Use $n-1$ na variância e no desvio padrão amostrais habituais quando a média amostral é calculada a partir desses dados. Use $N$ quando os dados forem toda a população que você deseja descrever. Leia o enunciado antes de pegar a calculadora.

Qual a forma mais simples de lembrar a diferença?

Variância é dispersão medida com desvios ao quadrado. Desvio padrão é a raiz quadrada dessa variância, de volta às unidades originais dos dados. O exemplo vai de $32$ minutos quadrados na soma a $4$ minutos quadrados de variância populacional e a $2$ minutos de desvio padrão populacional.