Parametrische vergelijkingen intuïtief begrijpen (een kromme met een klok)

Cartesiaanse grafieken beantwoorden één vraag: gegeven x, wat is y? Een groot deel van schoolwiskunde is die vraag, dus het begint te voelen alsof een kromme een grafiek van y tegen x is. Dan schrijft een later hoofdstuk x = cos t, y = sin t, noemt het paar parametrisch (een parametervoorstelling), en vraagt je het pad te schetsen. Leerlingen die vlot waren met y = f(x) kunnen ineens niet zeggen waar het deeltje is bij t = π/2, en de hellingformule $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$)/($\frac{dx}{dt}$) komt binnen als één ding extra om te stampen.

De twee beschrijvingen zijn geen rivalen. Een grafiek van y tegen x is een foto van een kromme. Parametrische vergelijkingen zijn een film van een punt dat die kromme aflegt, en de extra variabele t is de klok. Zodra dat het beeld is, is de parameter elimineren de klok vergeten, en zijn de calculusformules de kettingregel die twee tempo's tegen dezelfde klok afleest.

Een pad is geen grafiek van y tegen x

De verticale-lijntest is een regel over grafieken van functies, niet over krommen. Een cirkel zakt ervan door omdat één x de cirkel op twee hoogtes kan raken. Dat maakt de cirkel niet illegaal. Het maakt de cirkel iets wat één functie y = f(x) niet kan zijn.

Parametrische vergelijkingen zijn hoe je over die objecten praat: lussen, achten, een lijnstuk heen en weer getekend, een projectiel dat omhoog gaat en via dezelfde x weer naar beneden komt. Een functie is een machine met één invoer en één uitvoer. Parametrische vergelijkingen gebruiken twee machines die een invoer delen. Voer beide dezelfde t en je krijgt een punt (x(t), y(t)). Laat t lopen en het punt tekent een pad.

Dat pad heeft een richting, omdat t toeneemt. De grafiek van y = $x^{2}$ weet niet of je hem van links naar rechts of van rechts naar links liep. De parametervoorstelling x = t, y = $t^{2}$ loopt hem van links naar rechts naarmate t groeit. De parametervoorstelling x = −t, y = $t^{2}$ loopt dezelfde parabool de andere kant op. Dezelfde foto, twee films.

t is een klok

Het eerlijke alledaagse voorbeeld is beweging. Een vlieg op een raam wordt niet beschreven door een hoogte voor elke horizontale positie, omdat hij kan zweven, lussen, en dezelfde plek twee keer bezoeken. Hij wordt beschreven door waar hij op elk moment is. Dat is x(t) en y(t).

Je hoeft t niet als kloktijd te lezen. Het kan een hoek zijn, een booglengte, of een schuif in een animatie. De taak van t is de ene invoer te zijn waar beide coördinaten naar luisteren. Het een klok noemen is een beeld, geen wet.

Een kleine numerieke check houdt het beeld eerlijk. Neem x = cos t, y = sin t:

• $t = 0$ landt op (1, 0), het oostpunt van de eenheidscirkel
• $t = \pi/2$ landt op (0, 1), pal noord
• $t = \pi$ landt op (−1, 0), west
• $t = 2\pi$ is terug op (1, 0)

Dit is de eenheidscirkel uit goniometrie, nu geschreven als een trip rond de rand. Dezelfde verzameling punten als $x^{2} + y^{2} = 1$, plus een startpunt en een koers tegen de klok in. Poolcoördinaten schrijven die cirkel nog korter als r = 1, wat een uitspraak is over afstand tot de oorsprong. Parametrische vergelijkingen schrijven hem als een wandeling. Andere vragen, dezelfde kromme.

Snelheid zit ook in de klok. x = cos 2t, y = sin 2t tekent dezelfde cirkel twee keer zo snel: als t van 0 naar 2π gaat, ga je twee keer rond. Elimineer t en de twee films storten in tot één foto. Houd t en het verschil is overduidelijk.

De parameter elimineren is de klok vergeten

Als je één vergelijking naar t oplost en in de andere substitueert, verdwijnt t en krijg je een relatie tussen x en y. Voor x = t, y = $t^{2}$ krijg je meteen y = $x^{2}$. Voor x = cos t, y = sin t kwadrateer je en tel je op, met de identiteit $\cos^{2}$ t + $\sin^{2}$ t = 1, en je herwint $x^{2} + y^{2} = 1$.

Die relatie is de verzameling punten. Het is niet de film. De cirkelvergelijking zegt niet dat je bij (1, 0) begon, zegt niet dat je tegen de klok in ging, en zegt niet dat je één keer rondging in plaats van twee keer. Dat zijn feiten over t, en t is wat eliminatie wegstreept.

Soms is wegstrepen de juiste zet. Een vraag die alleen om de vorm geeft, wil de cartesiaanse relatie. Soms is het de verkeerde zet. Een vraag over snelheid, over een deeltje in rust, over welk kwadrant je inneemt bij t = 3, of over de afstand afgelegd langs het pad, is een vraag over de klok.

Je kunt ook niet altijd schoon elimineren. x = t − sin t, y = 1 − cos t is een cycloïde, het pad van een punt op de rand van een rollende cirkel. Er is geen vriendelijk y = f(x). De parametrische vorm is de eigen taal, geen kostuum over een cartesiaanse vergelijking.

Als een opgave je vraagt de parameter te elimineren, wil ze de foto. Als ze vraagt waar het deeltje is, welke kant het op kijkt, hoe snel het gaat, of hoe ver het heeft gelopen, houd de klok.

Cirkels, lijnen en geworpen objecten

Drie families duiken constant op, en elk is een trip.

Een lijn door (x₀, y₀) in de richting van een vector (a, b) is x = x₀ + a t, y = y₀ + b t. Start bij het punt, loop daarna de vector t keer. Dat is het tripbeeld met een klok eraan, en daarom duiken parametrische lijnen op het moment op dat meetkunde beweging langs een lijn moet beschrijven, inclusief de ruimte-meetkundevragen op de Franse Bac die lijnen in drie dimensies op dezelfde manier schrijven.

Een cirkel met straal r gecentreerd in de oorsprong is x = r cos t, y = r sin t. Middelpunt (h, k): tel die constanten bij elke coördinaat op. De parameter t is de koers, en daarom blijven deze vorm en poolcoördinaten sinus en cosinus delen. Pool is een adres: hoe ver, welke kant op. Parametrisch is een schema: op dit t, wees hier.

Een projectiel, in de voeten-en-seconden-eenheden die veel leerboeken nog gebruiken, is x = (v cos θ) t, y = (v sin θ) t − 16 $t^{2}$. Horizontale beweging is gelijkmatig; verticale beweging voelt zwaartekracht. Elimineer t en het pad is een parabool. De interessante vragen (wanneer landt het, wat is de snelheid bovenaan) zijn vragen over t, en daarom is de parametrische vorm degene waarmee je écht rekent.

Waarom examenmakers van parametrische vergelijkingen houden

AP Calculus BC behandelt parametrische krommen als een vast puntenonderwerp, naast pool en reeksen, en daarom groepeert de AP Calculus-gids ze in de alleen-BC-laag. De vragen zijn bijna altijd dezelfde paar zetten, en elke zet is korter als het klokbeeld zit.

Helling: $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$) / ($\frac{dx}{dt}$), mits $\frac{dx}{dt}$ niet nul is. Dit is geen nieuwe afgeleide. Beide coördinaten veranderen met t, dus $\frac{dy}{dt}$ en $\frac{dx}{dt}$ zijn gewone tempo's tegen de klok. Helling van het pad is hoe snel y verandert per eenheid x, en dat is hun quotiënt. Het is de kettingregel met de klok weggestreept.

Horizontale raaklijn: $\frac{dy}{dt}$ = 0 terwijl $\frac{dx}{dt}$ ≠ 0. De hoogte is gestopt met veranderen en het deeltje beweegt nog opzij. Verticale raaklijn: $\frac{dx}{dt}$ = 0 terwijl $\frac{dy}{dt}$ ≠ 0. Allebei nul tegelijk is geen raaklijn. Het is een deeltje dat is gestopt, en je moet naar nabije t kijken om te zien of het pad een cusp heeft of alleen een pauze.

De tweede afgeleide volgt hetzelfde patroon: $d^{2}$y/$dx^{2}$ = ($\frac{d}{dt}$ van $\frac{dy}{dx}$) / ($\frac{dx}{dt}$). Leerlingen die dit als een derde formule om te stampen behandelen, krijgen de noemer fout. Het is het quotiëntidee toegepast op de hellingfunctie, die zelf een functie van t is.

Booglengte van t = a tot t = b is de integraal van sqrt(($\frac{dx}{dt}$)² + ($\frac{dy}{dt}$)²) dt. Die wortel is Pythagoras op het minuscule stapje (dx, dy). Snelheid is de integrand; booglengte is opgehoopte snelheid, en daarom is het een integraal. Je hebt geen nieuw meetkundig idee nodig. Je hebt de afstandsformule nodig, toegepast op een bewegend punt.

Niets hiervan vervangt vaardigheid met gewone afgeleiden. Parametrische calculus vergeeft geen wankele kettingregel. Ze ontmaskert hem, omdat elke helling, elk rustpunt en elke booglengte-integrand door $\frac{dx}{dt}$ en $\frac{dy}{dt}$ loopt.

Waar de fouten vandaan komen

Parametrische fouten clusteren op drie plekken, en elk is een beeldfout.

De eerste is t behandelen alsof het x was. x = $t^{2}$, y = t schetsen op assen gelabeld t en y, of t = 2 in slechts één coördinaat stoppen. Het paar is een punt in het vlak. Plot beide, in de volgorde (x(t), y(t)), en markeer een paar t-waarden zodat de looprichting zichtbaar is. Zonder die pijlen lijken de foto en de film hetzelfde, en de volgende vraag gaat over de film.

De tweede is $\frac{dy}{dx}$ = ($\frac{dy}{dt}$)/($\frac{dx}{dt}$) schrijven bij een t waar teller en noemer beide verdwijnen, en dan een horizontale of verticale raaklijn aankondigen uit de overgebleven 0. Op dat instant is de snelheid de nulvector. De raaklijn, als die bestaat, moet van het pad worden afgelezen, niet van een 0/0. Het standaardvoorbeeld is x = $t^{2}$, y = $t^{3}$ bij t = 0: beide afgeleiden zijn nul, de cartesiaanse relatie is $y^{2} = x$³, en het pad heeft een cusp.

De derde is het interval voor t laten vallen. x = cos t, y = sin t met t van 0 tot π is een halve cirkel, geen cirkel. x = cos t, y = sin t met t van 0 tot 4π is de cirkel twee keer belopen. De cartesiaanse vergelijking is in alle drie de gevallen identiek. De examenvraag is dat meestal niet.

Waar Math Zen in past

Parametrische krommen zitten bovenop functies, goniometrie en de kettingregel, en ze delen een verdieping met vectoren en poolcoördinaten. Als t nog "nog een letter" is in plaats van een klok, voelen helling en snelheid als losse formules. De parametrische buckets van Math Zen gaan ervan uit dat die verdiepingen al dragend zijn: vroeg werk is (x(t), y(t)) en de looprichting lezen, daarna $\frac{dy}{dx}$ via de twee tempo's, daarna booglengte, precies het paar dat AP Calculus BC écht vraagt.

Korte gemengde oefening wint van één stampblok op "het parametrische hoofdstuk". Het klokbeeld, de 0/0-rustpunten en de booglengte-integrand worden pas automatisch wanneer ze naast gewone y = f(x)-afgeleiden opduiken, in de stijl van gespreide herhaling voor wiskunde. Op het BC-examen is de beloning geen nieuw vak. Het is herkennen dat de deeltjesvragen de afgeleide zijn die je al kent, gevraagd van twee functies tegelijk.

De kern

Parametrische vergelijkingen zijn cartesiaanse vergelijkingen met een klok. Een grafiek van y tegen x is een foto van een verzameling punten. Het paar x(t), y(t) is een film van een punt dat die verzameling aflegt: het kent het startpunt, de koers en de snelheid. De parameter elimineren gooit de klok weg en houdt de foto, wat nuttig is voor vorm en nutteloos voor beweging. Helling is het quotiënt van twee gewone tempo's tegen t. Booglengte is Pythagoras opgehoopt langs de trip.

De grafieken waarmee je opgroeide zijn er nog. Parametrische vergelijkingen vervangen ze niet. Ze geven je een manier om te praten over krommen die één functie y = f(x) niet kan zijn, en je grijpt ernaar wanneer de natuurlijke vraag is waar het punt is op tijdstip t, niet alleen welke punten het ooit inneemt.