푸리에 변환 직관적으로 이해하기 (신호를 주파수로 푸는 법)

피아노 건반 세 개를 한꺼번에 누르면 악기에서는 뒤엉킨 하나의 압력파가 빠져나옵니다. 그것은 세 줄이 아니라 하나의 흔들리는 선으로 고막에 닿습니다. 그런데도 우리의 속귀는 아무런 노력 없이 그 선을 다시 세 개의 음으로 갈라내고, 훈련된 음악가는 그 화음의 이름까지 짚어냅니다. 공기와 의식 사이 어딘가에서 뒤섞인 신호가 순수한 주파수들로 풀린 것입니다.

이 풀어내기에는 이름이 있습니다. 푸리에 변환은 소리든, 이미지의 한 줄이든, 주가든, 교량의 진동이든 어떤 신호라도 받아들여 그 안에 든 순수한 주파수들의 목록으로 다시 쓰는 수학 기계입니다. 휴대폰이 오디오를 압축할 수 있는 이유이고, MRI 장비가 영상을 만들어내는 이유이며, 엔지니어가 덜컹거리는 엔진을 보고 "저건 400헤르츠 성분이다"라고 말할 수 있는 이유입니다.

대부분의 학생은 푸리에 변환을 외워야 할 공식으로 처음 만납니다. 안쪽에 복소 지수가 들어앉은 적분이 있고, 그래야 할 이유는 어디에도 보이지 않습니다. 이 글은 그 그림을 바닥부터 쌓아 올립니다. 최근 우리는 밀접하게 얽힌 라플라스 변환을 다루었고, 이 글을 마칠 즈음에는 둘이 다이얼 설정만 다른 같은 기계라는 사실이 보일 것입니다.

같은 대상을 기술하는 두 가지 방식

케이크 조리법을 떠올려 봅시다. 완성된 케이크를 기술하는 방법은 내부의 모든 지점에서 관찰되는 것을 층층이, 부스러기 하나까지 나열하는 것입니다. 아니면 재료를 적어 기술할 수도 있습니다. 밀가루 200그램, 달걀 3개, 설탕 100그램. 두 기술은 똑같은 케이크를 담고 있습니다. 하나는 무엇이 어디에 있는가를 말하고, 다른 하나는 무엇으로 만들어졌는가를 말합니다.

신호에도 똑같은 두 가지 기술이 있습니다:

• 시간 영역은 매 순간의 신호 값을 나열합니다. 0.001초에서의 고막 압력, 0.002초에서의 압력, 그렇게 계속 이어집니다. 현실 세계에서 신호가 도착하는 방식이 바로 이것입니다.
• 주파수 영역은 재료를 나열합니다. 440헤르츠 사인파가 얼마나 들어 있는지, 523헤르츠는 얼마인지, 가능한 모든 주파수가 각각 얼마인지를 적습니다. 푸리에 변환이 만들어내는 것이 바로 이 목록입니다.

열의 흐름을 연구하다 1822년에 처음 발표된 푸리에의 통찰은, 이 재료 목록이 완전하다는 것이었습니다. 아무리 들쭉날쭉한 신호라도 웬만하면 매끄러운 사인파의 합으로 정확히 복원할 수 있습니다. 어딘가에 숨어 있는 세 번째 재료는 없습니다. 사인만으로 충분합니다.

사인파가 신호의 알파벳인 이유

왜 사각파나 삼각파가 아니라 하필 사인일까요? 사인파만이 물리학이 관심을 두는 연산을 통과하고도 살아남는 유일한 형태이기 때문입니다.

사인파를 미분하면 코사인이 나오는데, 이는 같은 파형을 4분의 1 주기만큼 옮긴 것입니다. 한 번 더 미분하면 음의 사인이 나옵니다. 다시 같은 형태이며 배율만 달라졌습니다. 삼각함수 글에서 살펴보았듯이 사인파는 원을 옆에서 본 모습이고, 원을 회전시켜도 결코 다른 무언가로 바뀌지 않습니다.

사인파를 용수철에, 회로에, 혹은 콘서트홀에 집어넣으면 나오는 것은 같은 주파수의 사인파입니다. 더 커지거나 작아질 수 있고 지연될 수도 있지만 형태만은 결코 달라지지 않습니다. 엔지니어는 이런 성질을 가진 시스템을 선형 시불변 시스템이라 부르며, 거의 모든 물리 시스템이 적어도 근사적으로는 여기에 속합니다.

주파수 영역이 유용한 이유가 통째로 여기에 있습니다. 시스템이 각각의 순수한 주파수에 무엇을 하는지 알고, 어떤 입력이든 순수한 주파수로 쪼갤 수 있다면, 그 시스템이 모든 입력에 무엇을 하는지 알게 됩니다. "트럭이 지나갈 때 이 다리가 어떻게 반응하는가"라는 어려운 문제가 "이 다리는 1헤르츠에서, 2헤르츠에서, 3헤르츠에서 어떻게 반응하는가"라는 쉬운 문제들의 목록으로 바뀝니다.

감기 기계

이제 그 기제를 볼 차례입니다. 신호가 하나 있고, 특정 주파수, 이를테면 초당 3회전이 그 안에 얼마나 숨어 있는지 알고 싶다고 합시다. 이 물음에 답하는 물리적인 절차가 있습니다.

시간 축을 따라 그려진 선인 신호의 그래프를 준비합니다. 이제 그 선을 원 둘레에 감되, 신호 시간 1초당 3바퀴의 비율로 감습니다. 신호가 큰 곳에서는 감긴 선이 중심에서 멀리 놓이고, 신호가 작은 곳에서는 중심에 바짝 붙습니다. 원점 주위에 그려진 낙서 같은 곡선이 하나 만들어집니다.

이제 그 낙서의 무게중심을 찾습니다.

신호에 3헤르츠 성분이 전혀 없다면 신호의 마루와 골은 원 주위의 제멋대로인 각도에 떨어집니다. 그것들은 서로 상쇄되고 무게중심은 원점 가까이에 머무릅니다. 그러나 신호에 3헤르츠 성분이 실제로 들어 있다면, 그 마루들은 회전을 거듭할 때마다 원의 같은 쪽에 떨어집니다. 그것들이 한쪽에 쌓이면서 무게중심은 원점에서 멀리 밀려납니다.

가능한 모든 감기 비율에 대해 이를 반복하고, 감기 비율에 대한 무게중심의 거리를 그리면 푸리에 변환을 그린 것입니다. 그래프의 봉우리는 신호 안에 존재하는 주파수입니다. 전체 아이디어는 이것이 전부입니다. 나머지는 모두 표기법입니다.

공식을 한 조각씩 뜯어보기

감기 기계를 기호로 옮기면 다음과 같습니다:

$$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

각 조각은 절차의 한 단계에 대응합니다.

감기. 인자 $e^{-i\omega t}$가 회전입니다. 오일러 공식에 따르면 $e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$이며, 이는 각진동수 ω로 단위원을 시계 방향으로 도는 점입니다. t가 흘러감에 따라 이 점은 돕니다. 그 회전이 감기이고, ω가 감기 비율입니다.

감싸기. 곱 $f(t)\, e^{-i\omega t}$가 바로 그 낙서입니다. 길이가 1인 회전하는 점에 신호 값 f(t)를 곱하면 그 점이 바깥으로 늘어나거나 안쪽으로 당겨집니다. 큰 신호 값은 점을 중심에서 멀리 밀어내고 작은 값은 안으로 끌어당깁니다. 이 곱이 앞 절의 낙서를 정확히 그려냅니다.

무게중심이 곧 적분입니다. 시간의 시작부터 끝까지 매 순간 낙서의 위치를 모두 더하고 그 결과를 하나의 복소수로 다루면, 원점으로부터의 거리가 신호가 ω에서 얼마나 강하게 공명하는지를 재는 점 하나가 나옵니다. 엄밀히 말해 이것은 평균이 아니라 총합이므로 신호의 지속 시간에 비례해 커지지만, 스펙트럼의 형태는 같습니다.

결과 $\hat{f}(\omega)$는 각 ω마다 하나씩 대응하는 복소수이며, 그 두 부분이 모두 중요합니다. 크기는 그 주파수의 진폭입니다. 조리법에 그 재료가 얼마나 들어갔는가입니다. 편각은 위상입니다. 주기의 어느 지점에서 그 재료가 시작되는가입니다. 두 신호가 모든 주파수에서 진폭이 같더라도 위상이 다르면 전혀 다르게 들릴 수 있습니다.

사인 대신 복소 지수를 쓰는 이유

학생들은 커널이 왜 그냥 사인파가 아니라 복소 지수인지 자주 묻습니다. 어차피 신호에 $\sin(\omega t)$를 곱해서 적분할 수도 있으니까요.

문제는 위상입니다. 신호에 주파수 ω의 코사인이 들어 있는데 같은 주파수의 사인으로 검사하면, 사인과 코사인이 4분의 1 주기만큼 어긋나 있기 때문에 곱의 평균이 0이 됩니다. 그 주파수가 완전히 들어 있는데도 없다고 결론 내리게 됩니다. 모든 위상을 붙잡으려면 사인에 대한 검사와 코사인에 대한 검사를 각각 수행한 뒤 결과를 합쳐야 합니다.

복소 지수는 두 검사를 한 번에 해냅니다. 실수부가 코사인 검사이고 허수부가 사인 검사이며, 이 둘이 하나의 회전하는 대상으로 포장되어 있습니다. 주파수가 어떤 위상으로 도착하든 회전의 어느 부분인가는 반드시 그것과 맞물립니다. 그렇게 나온 복소수의 크기는 두 번 검사해서 합친 결과와 같고, 편각은 위상을 덤으로 알려줍니다. 허수 글에서 우리는 i를 회전으로 설명했는데, 여기서 그 회전은 성실한 공학적 노동을 하고 있습니다.

음의 주파수는 오류가 아니다

적분은 음수 값을 포함한 모든 ω에 걸쳐 수행되고, 실신호의 변환은 언제나 음의 쪽에 거울상을 보여줍니다. 이것이 사람들을 불편하게 만듭니다. 음의 주파수는 물리적으로 대체 무엇을 뜻하는 걸까요?

오일러 공식을 다시 봅시다. 실수 코사인은 두 회전의 평균입니다:

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}$$

첫 항은 비율 ω로 반시계 방향으로 돌고, 둘째 항은 같은 비율로 시계 방향으로 돕니다. ω로 도는 시계 방향 회전이 바로 변환이 주파수 마이너스 ω로 기록하는 것입니다. 실숫값 신호는 두 방향을 구별할 수 없으므로 언제나 둘을 같은 양만큼 품고 있고, 그래서 스펙트럼이 대칭이 됩니다.

실신호에서 음의 절반은 새로운 정보를 담고 있지 않으며, 실무에서 엔지니어들은 양의 쪽만 그리는 경우가 많습니다. 그러나 양쪽을 모두 남겨 두면 공식이 대칭을 유지하고, 두 회전 방향이 실제로 구별되는 무선 통신이나 MRI의 신호처럼 복소숫값 신호까지 같은 변환으로 다룰 수 있게 됩니다.

귀환 여정

조리법을 다시 케이크로 되돌리는 것이 푸리에 역변환입니다:

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

이 식을 하나의 지시문처럼 읽으십시오. 모든 주파수 ω에 대해 그 재료의 양 $\hat{f}(\omega)$를 가져와 그 비율로 반시계 방향으로 돌린 뒤, 전부 더하라는 것입니다. 이제는 감는 것이 아니라 푸는 것이므로 지수의 부호가 마이너스에서 플러스로 뒤집혔습니다. 2π라는 인자는 한 바퀴가 2π라디안이라는 사실을 보정하는 정리용 상수입니다. 어떤 교재는 이를 $1/\sqrt{2\pi}$로 양쪽 변환에 대칭적으로 나누어 붙이고, 어떤 교재는 주파수를 초당 라디안 대신 헤르츠로 재어 아예 감춰 버립니다. 물리는 달라지지 않고 상수만 달라집니다.

두 공식은 거의 완벽하게 대칭입니다. 그 대칭은 깊은 암시입니다. 시간과 주파수는 하나의 대상을 보는 두 시선이며, 어느 쪽도 다른 쪽보다 더 근본적이지 않습니다.

미분이 다시 곱셈으로 바뀐다

라플라스 변환은 미분을 s를 곱하는 연산으로 바꾸어 제 몫을 했습니다. 푸리에 변환은 iω로 똑같은 재주를 부립니다.

역변환 공식을 t에 대해 미분해 봅시다. t가 등장하는 유일한 자리는 $e^{i\omega t}$ 안이고, 그것을 미분하면 iω라는 인자가 앞으로 끌려 나옵니다:

$$\frac{d}{dt} f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(i\omega\, \hat{f}(\omega)\bigr)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

따라서 $f'(t)$의 푸리에 변환은 그저 $i\omega\, \hat{f}(\omega)$입니다. 시간에 대해 미분한다는 것은 각 주파수 성분에 iω를 곱한다는 뜻입니다. 높은 주파수는 증폭되고 낮은 주파수는 억눌리며, 모든 성분이 4분의 1 바퀴만큼 회전합니다. 미분이 잡음 많은 신호를 더 지저분하게 만드는 이유가 정확히 이것입니다. 잡음은 높은 주파수에 살고, 미분은 그것들에 큰 수를 곱합니다.

같은 논리가 상수계수 미분방정식을 ω에 대한 대수방정식으로 바꾸어 놓으며, 물리학자들이 파동방정식과 열방정식을 푸는 방법이 바로 이것입니다. 푸리에는 정확히 그 목적을 위해 이 도구를 발명했습니다.

푸리에와 라플라스: 하나의 기계, 두 개의 다이얼 설정

두 변환을 나란히 놓아 봅시다:

$$F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt, \qquad \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

라플라스 글에서 우리는 s를 두 개의 손잡이가 달린 다이얼 $s = \sigma + i\omega$로 설명했습니다. σ는 지수함수적 감쇠를, ω는 진동을 맡습니다. 감쇠 손잡이를 0에 놓아 σ = 0이 되면 s = iω가 되고, 라플라스 커널 $e^{-st}$은 푸리에 커널 $e^{-i\omega t}$이 됩니다. 푸리에 변환은 s-평면의 허수축을 따라 계산한 라플라스 변환입니다.

또 하나의 차이는 적분의 아래 끝입니다. 라플라스가 t = 0에서 시작하는 이유는 켜지는 순간과 초기조건을 가진 인과적 시스템을 위해 만들어졌기 때문입니다. 푸리에가 시간 전체에 걸쳐 적분하는 이유는 언제나 있어 왔고 앞으로도 있을 정상적인 신호, 즉 길게 끄는 음, 반송파, 멎지 않는 웅웅거림을 위해 만들어졌기 때문입니다.

무엇을 쓸지는 질문에서 따라 나옵니다. 과도 응답, 스위칭, 초기조건이라면 라플라스입니다. 스펙트럼, 필터, 정상 진동이라면 푸리에입니다. 감쇠 손잡이가 있기에 라플라스는 푸리에 적분이 감당하지 못하는, 끝없이 커지는 신호까지 다룰 수 있습니다. 양쪽으로 열린 적분이 있기에 푸리에는 시작이 없는 신호를 기술할 수 있습니다.

피할 수 없는 맞바꿈

마지막 성질 하나가 놀랄 만큼 많은 물리 현상을 설명합니다. 시간에서 좁은 신호는 주파수에서 넓고, 주파수에서 좁은 신호는 시간에서 넓습니다. 둘을 동시에 가질 수는 없습니다.

순수한 사인파는 단 하나의 주파수를 가지므로 스펙트럼이 뾰족한 봉우리 하나입니다. 그러나 순수한 사인파는 영원히 지속됩니다. 그것을 1초로 잘라내면 스펙트럼은 원래 주파수 주위로 퍼지고, 1밀리초로 자르면 훨씬 더 넓게 퍼집니다. 극한에서는 순간적인 딸깍 소리가 모든 주파수를 똑같이 품게 되는데, 손뼉 소리가 백색소음처럼 들리고 소리굽쇠 소리가 하나의 음처럼 들리는 이유가 이것입니다.

감기 그림을 보면 이 사실이 뻔해집니다. 짧게 터진 신호는 어떤 감기 비율에서도 원을 겨우 몇 바퀴밖에 돌지 않으므로 무게중심이 깔끔하게 상쇄될 기회를 얻지 못합니다. 가까운 여러 감기 비율이 모두 비슷하고 어중간한 값을 내놓습니다. 긴 신호는 수천 바퀴를 감기 때문에 정확히 일치하는 비율만이 상쇄를 견디고 살아남습니다.

양자역학에서 위치와 운동량은 푸리에 쌍이며, 바로 이 맞바꿈이 하이젠베르크 불확정성 원리입니다. 그것은 측정의 한계가 아닙니다. 파동의 성질입니다.

실수는 어디에서 오는가

푸리에 변환을 다루는 학생들은 예측 가능한 세 지점에서 넘어집니다.

첫 번째는 위상을 버리는 것입니다. 그래프로 그려지는 것이 진폭 스펙트럼이다 보니, 학생들은 변환을 진폭의 목록으로만 생각하기 시작합니다. 그러면 $\hat{f}(\omega)$의 편각을 버린 탓에 역변환이 엉뚱하게 나옵니다. 변환은 복소수의 목록이며, 각 수의 절반은 그 편각입니다.

두 번째는 부호와 상수의 혼동입니다. 교재마다 2π를 다른 자리에 놓고 지수의 부호도 다르게 고르지만, 정변환과 역변환이 서로 맞기만 하면 모두 옳습니다. 하나의 규약을 골라 두 공식을 종이 맨 위에 적어 두고, 간단한 함수를 변환했다가 역변환했을 때 원래대로 돌아오는지 확인하십시오.

세 번째는 유한한 신호에 깔끔한 스펙트럼을 기대하는 것입니다. 실제 측정은 유한하므로 그 스펙트럼에는 언제나 앞 절에서 말한 퍼짐이 나타나고, 가장자리에서 갑자기 끊긴 탓에 생기는 잔물결까지 얹힙니다. 그것은 계산의 오류가 아닙니다. 맞바꿈이 제 존재를 주장하는 것이며, 그것을 다스리기 위해 창 함수가 존재합니다.

Math Zen이 도움이 되는 지점

푸리에 변환은 세 가지 기술 위에 세워져 있으며, 이것들이 자동으로 나와야 직관이 여러분을 실어 나를 수 있습니다. 삼각함수 항등식, 복소 지수, 그리고 곱의 적분입니다.

$\cos(\omega t)$와 복소 지수 사이를 오가는 데 의식적인 노력이 들거나, $e^{-at} e^{-i\omega t}$를 손으로 적분하는 일이 불안하게 느껴진다면 이 변환은 언제까지나 블랙박스로 남습니다. Math Zen은 짧은 매일의 훈련으로 그 조각들을 단련합니다:

• 삼각함수: 합 공식과 배각 공식, 그리고 그 뒤에 놓인 원 그림에 익숙해지는 삼각함수 연습 모듈.
• 복소수: 극형식, 오일러 공식, 곱셈에 의한 회전을 다루는 복소수 연습 모듈.
• 변환: 도함수의 변환을 포함해 같은 커널 적분 기제를 익히는 라플라스 변환 연습 모듈.

이것들이 반사 신경이 되고 나면 푸리에 변환은 더 이상 공식이 아니라 그 본모습, 곧 신호의 조리법을 읽어내는 감기 기계가 됩니다.

핵심 요약

푸리에 변환은 신호를 "각 시각에서의 값은 얼마인가"에서 "각 주파수가 얼마나 들어 있는가"로 다시 씁니다. 이것이 통하는 이유는 사인파가 물리 시스템이 형태를 바꾸지 않고 통과시키는 파형이기 때문이며, 그래서 신호의 주파수 성분을 알면 어떤 선형 시스템이 그 신호에 어떻게 반응할지 알 수 있습니다.

공식은 하나의 감기 기계입니다. $e^{-i\omega t}$가 비율 ω로 신호를 원에 감고, 적분이 무게중심을 찾으며, 원점에서 멀리 놓인 무게중심은 그 주파수가 존재한다는 뜻입니다. 복소 지수는 모든 위상을 한 번에 붙잡고, 음의 주파수는 모든 실신호가 지니고 다니는 거울상이며, 역변환은 반대 방향으로 돌려 감긴 것을 풉니다.

라플라스 변환의 감쇠 손잡이를 0에 놓으면 푸리에 변환이 됩니다. 스위칭과 과도 응답에는 라플라스를, 스펙트럼과 정상 신호에는 푸리에를 쓰십시오. 그리고 어느 쪽을 쓰든, 시간에서 짧은 신호는 언제나 주파수에서 넓다는 사실을 기억하십시오.