順列と組み合わせ：順序で数が変わる理由

5人がプロジェクトに志願しました。リーダーと副リーダーが必要です。リーダーは5通り、その後の副リーダーは4通りなので、割り当ては20通りです。

一文だけ変え、役割の区別がない2人委員会が必要だとします。同じ5人からできる委員会は10組です。人は変わっていません。変わったのは、何を一つの結果とするかです。

順列と組み合わせは、すべてを列挙せずに結果を数える方法です。結果にどの情報を残すかを決めれば、公式の意味が分かります。まずその判断を作り、次に記法を導きます。

公式ではなく位置から始める

リーダーと副リーダーと書かれた空欄を想像してください。最初は5人から選べ、埋めると2番目には4人が残ります。最初の選択それぞれに4通りの続きがあります。

$$5 \times 4 = 20$$

これが積の法則です。ある段階の各選択肢に同数の続きがあれば、各段階の数を掛けます。5本の枝がそれぞれ4本に分かれる樹形図としても考えられます。

位置の名前が重要です。リーダーがアレックス、副リーダーがベアの場合と、その逆は別の結果です。同じ人でも位置が違います。これが順序付きの選択、つまり順列です。

委員会には名前付きの位置がありません。アレックス、ベアとベア、アレックスは同じ組です。20通りを使えば、各組を2回数えています。

交換テストで順序が重要か分かる

選んだ2要素を交換すると、別の結果になるか？ と問います。

競走の表彰台なら、金と銀は違う結果なので答えは「はい」です。ピザのトッピングなら通常は「いいえ」で、マッシュルームとオリーブは順番を逆にしても同じ選択です。

判断するのは名詞ではなくモデルです。同じ本でも、買う3冊を選ぶなら順序を無視し、棚に3冊を並べるなら順序を記録します。「本」という語だけでは公式は決まりません。

計算前に結果の例を書きます。「リーダーはアレックス、副リーダーはベア」には役割があります。「アレックスとベアを含む組」にはありません。この一手は公式集の暗記より多くの誤りを防ぎます。

状況	結果が記録するもの	モデル
金・銀・銅を授与	各順位の人	順序あり、重複なし
委員を3人選ぶ	所属する人だけ	順序なし、重複なし
4桁コードを作る	各位置の数字	順序あり、重複可の場合あり
アイスを数スクープ選ぶ	各味の個数	順序なし、重複可の場合あり

最後の2行では重複の可否も確認します。順序だけで決めないでください。

階乗は完全な並べ方を数える

異なる4冊を一列に並べます。最初は4通り、次は3通り、その次は2通り、最後は1通りです。

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

感嘆符は階乗を表し、数を一つずつ減らして掛ける積の略です。非負整数$n$について、階乗は異なる$n$個すべての並べ方を数えます。

なぜ$0! = 1$なのでしょうか。何も並べない方法は空の並び1通りです。また、この値なら$1! = 1 \times 0!$も一貫します。

階乗を累乗や反復加算と混同しないでください。4の階乗は24、4の4乗は256です。階乗では要素を再利用できず選択肢が減りますが、累乗では選択肢が一定です。

順列は積を途中で止める

7人の走者から同着なしで上位3人だけを考えます。1位は7通り、2位は6通り、3位は5通りです。

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

残る4人の順位は問いません。1まで掛けると別の問いへの答えになります。

重複なしで$r$個の順序付き位置を、異なる$n$個の要素から埋めるとき：

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

分母が階乗の未使用部分を消します。走者の例では7の階乗を4の階乗で割ると、7掛ける6掛ける5だけが残ります。

この公式は$0 \le r \le n$で、候補が異なる要素であることを前提とします。条件が違えば、無理に代入せず空欄の考え方へ戻ります。

組み合わせは重複した並べ方を除く

7人から委員を3人選びます。順序付きでは210通りですが、同じ3人の異なる並びを別の答えとして数えています。

アレックス、ベア、チェンの3人は、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBAの6順に並べられます。$3! = 6$なので、各3人組は順序付きの数に6回現れます。

重複した並びの数で割ります。

$$\binom{7}{3} = \frac{210}{6} = 35$$

一般には：

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

これは「n個からr個を選ぶ」と読みます。最初の割り算で未使用要素を除き、次の割り算で区別しない順序を除きます。

$\binom{7}{3} = \binom{7}{4}$という対称性もあります。参加する3人を選べば、参加しない4人も決まります。二つの表現は同じ判断を指します。

重複があると問いも変わる

4桁コードでは、先頭も含め各位置で0から9を使え、数字の重複も許すとします。各欄は10通りです。

$$10^4 = 10000$$

重複不可なら：

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

「コード」ではなく「4桁の数」なら、通常は先頭の0を除きます。重複可なら：

$$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$$

よく似た三つの文でも答えは三つです。公式が不確かなのではなく、制約が変わりました。

同じ味を複数選ぶアイスのような、重複を許す順序なしの選択には別の方法が必要です。通常の組み合わせは各要素を一度までしか選べない前提です。慣れた公式が使えないと見抜くことも正しい第一歩です。

この順序で判断する

計算前に、完成した結果を一つ書きます。次に、順序や役割で結果を区別するか、要素を繰り返せるか、特定位置に特別な制約があるかを確認します。

答えを見る前に三問を解いてください。

1. 6人から、兼任なしで議長と書記を選ぶ。
2. 同じ6人から、対等な代表者を2人選ぶ。
3. 4種類の記号を使い、重複可で3文字コードを作る。

1問目は$6 \times 5 = 30$通りです。2問目はそれを$2!$で割り、15組です。3問目は各位置で4記号すべてを使えるため$4^3 = 64$通りです。

数より説明が重要です。なぜ一方は2で割り、他方は割らないかを説明できれば、違いを理解しています。

数え上げは確率の土台

同様に確からしい結果を正しく数えれば、望ましい結果と全結果を比べて確率を求められます。次は確率を直感的に理解するガイドで扱います。誕生日のパラドックスでは、適切な数え方が意外な結果を扱いやすくします。

今は、一つの結果を定義し、位置があれば描き、各因子を説明することに集中します。次の応用にはMath Zenの確率練習を使い、記号が考え方を隠し始めたら小さな例へ戻ってください。

順列は並びを残し、組み合わせは所属だけを残します。階乗で割るのは、同じ組を再び数えずに並びの情報を忘れる操作です。