絶対値方程式：距離として考えて解く

$|x|$を囲む二本の縦線は、暗記すべき新たな指示のように見えがちです。代わりに、これは「この数は0からどれだけ離れているか」という問いだと読んでみましょう。

5は0から5歩離れています。-5も反対方向にあるだけで、0から5歩離れています。だから$|5| = 5$であり、$|-5| = 5$です。絶対値は距離を残し、方向を取り除きます。

この図が見えれば、絶対値方程式を解くことは、指定された距離にある位置を探すことになります。よく使う二つの場合分けは、代数に後付けされた小技ではなく、数直線から自然に生じます。

距離は0になれるが、負にはなれない

絶対値の結果は非負です。「非負」という点が重要です。0は許されるので、絶対値は常に数を正にするという説明は厳密には誤りです。

実数$x$に対する定義は次のとおりです。

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

二行目は答えが負になるという意味ではありません。$x = -7$なら、$-x = -(-7) = 7$です。マイナス記号は、すでに負である数の方向を反転させます。この反転については負の数のガイドで詳しく説明しています。

絶対値を適用する前に、縦線の内側の式を計算します。

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

一般に、引き算の各項へ絶対値記号を分配することはできません。ここで$|3| - |8| = -5$となり、元の値とは異なります。縦線は一つの完全な式を囲み、その式全体の値が距離になります。

なぜ二つの答えが現れるのか

次の式を考えます。

$$|x| = 6$$

0から6単位離れた点はどこでしょうか。$x = 6$と$x = -6$の二つです。どちらも方程式を満たし、一方だけがより正しいということはありません。

今度は基準点を移します。

$$|x - 4| = 6$$

式$x - 4$は、$x$と4の符号付きの差を表します。その絶対値は二点間の距離です。4から右へ6単位、または左へ6単位進みます。

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{または} \quad x = 4 - 6 = -2$$

直接代入すると、$|10 - 4| = 6$と$|-2 - 4| = 6$の両方が成り立ちます。

基準点が正である必要はありません。$|x + 3| = 2$では、内側を$x - (-3)$と考えます。中心は-3なので、解は-1と-5です。

場合分けの前に絶対値を孤立させる

正の定数$c$に対する基本規則は次のとおりです。

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{または}\; A = -c$$

ここで$A$は縦線の内側にある式全体を表します。この規則を使う前に、通常の代数と同じ、等式を保つ演算で絶対値を孤立させます。

次の例を解きます。

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

4を引きます。

$$3|2x - 1| = 21$$

3で割ります。

$$|2x - 1| = 7$$

ここで二つの方程式に分けます。

$$2x - 1 = 7 \quad \text{または} \quad 2x - 1 = -7$$

一つ目から$2x = 8$となるので、$x = 4$です。二つ目から$2x = -6$となるので、$x = -3$です。

元の方程式で検算すると、$3|8 - 1| + 4 = 25$と$3|-6 - 1| + 4 = 25$になります。どちらも成り立ちます。

元の方程式で25を単に-25へ変えて場合分けしてはいけません。絶対値の規則で符号を変えるのは、孤立させた距離であり、問題に含まれるすべての項ではありません。Paul's Online Math Notesでも、この方程式を扱う際に孤立と検算の重要性を強調しています。

さらに計算する前に解なしを確認する

次の方程式を考えます。

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

5を引いて2で割ると、次の式になります。

$$|x + 1| = -2$$

ここで止めます。負の2という距離を持つ実数はありません。$x + 1 = -2$と$x + 1 = 2$に分けると、別の問いに対する答えを作り出してしまいます。

0は別の場合です。

$$|3x - 9| = 0$$

内側は0でなければならないので、$3x - 9 = 0$、したがって$x = 3$です。正の0と負の0を書いても、同じ答えを二度得るだけです。

定数でない一次式の絶対値を孤立させた場合、右辺の定数が正なら解は二つ、0なら一つ、負ならありません。この近道をあらゆる絶対値方程式に広げてはいけません。内側が二次式の場合も、右辺に変数がある場合もあります。

右辺に変数があるときは符号を確認する

次を解きます。

$$|x - 2| = 2x + 1$$

左辺は負にならないので、解は$2x + 1 \geq 0$、つまり$x \geq -\frac{1}{2}$を満たす必要があります。

候補となる二つの方程式を使います。

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{または} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

一つ目から$x = -3$を得ますが、これは符号の条件を満たしません。元の方程式で検算すると問題が見えます。左辺は5、右辺は-5です。

二つ目から$3x = 1$となるので、$x = \frac{1}{3}$です。代入すると両辺が$\frac{5}{3}$になります。これが唯一の解です。

ある演算によって元の方程式を満たさない候補が生じうるとき、検算は特に役立ちます。両辺を2乗する操作でも同じことが起こります。正の右辺と負の右辺の違いを消してしまうからです。

二つの絶対値は二つの距離を比べる

両辺に縦線がある方程式でも、簡単に解けることがあります。

$$|x - 1| = |x + 5|$$

これは1と-5から等しい距離にある点を尋ねています。数直線上では二点の中点である$x = -2$です。

代数でも同じ答えに至ります。絶対値が等しいなら、内側は等しいか、互いに反対です。

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{または} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

一つ目は$-1 = 5$となるので解はありません。二つ目は$2x = -4$となり、$x = -2$を得ます。各基準点からの距離は3です。

これは$|x - 1| + |x + 5| = 10$のように和を含む方程式とは異なります。一度の二つの場合分けで、すべての縦線を外すことはできません。この種の問題では通常、それぞれの内側の符号が変わる点を境に区間を分けます。

グラフを見ると解の個数がわかる

$y = |x|$のグラフはV字形です。0の右側では$y = x$に従い、左側では$y = -x$に従います。V字の先端を頂点と呼びます。

$y = |x - 4|$では、頂点が$(4, 0)$へ移動します。$|x - 4| = 6$を解くことは、このV字と水平線$y = 6$の交点を探すことです。交点は$x = -2$と$x = 10$の二つあります。

0の高さにある水平線は頂点に一度だけ触れます。0より下の水平線はグラフとまったく交わりません。解が二つ、一つ、または0個になる形が、そのまま図に表れています。

等号を不等号に変えると、交点だけでなく領域を求める問いになります。たとえば$|x - 4| < 6$は4からの距離が6未満という意味なので、$-2 < x < 10$です。この次の段階は不等式のガイドで詳しく扱っています。

短い解法ルーティン

まず縦線の内側にある数値部分を計算します。次に一つの絶対値を孤立させ、もう一方の辺の符号を調べ、その符号が許す場合だけ二つに分けます。それぞれを解き、すべての候補を元の方程式に代入します。

Math Zenの代数トピックには絶対値も含まれているので、そこでこの手順を練習できます。二つの場合の規則を使う前に、距離の図から始めましょう。基準点がどこにあり、方程式がどの距離を求めているかを説明できれば、代数が行うべき仕事も明確になります。