広義積分の収束判定：極限から解く例題

見慣れた原始関数があっても、積分の値が有限とは限りません。抜けているのは極限です。積分区間が無限に延びる場合や、関数が端点または区間の途中で際限なく大きくなる場合、印刷された境界をそのまま原始関数に代入できません。まず問題の境界を普通の変数に置き換えます。その変数が境界に近づくとき、結果がどうなるかを調べます。

これが広義積分です。名前は問題の形を表し、答えを先取りしません。有限値へ収束する広義積分もあれば、発散するものもあります。このガイドでは対になる例を並べ、どの段階で結論が分かれるかを示します。定積分の記法にまだ慣れていなければ、まず積分の入門記事を読んでください。以下の全例を判定する操作は極限のガイドで説明しています。

最初に広義積分となる場所を特定する

代表的な場合は二つです。無限区間には$+\infty$や$-\infty$のような境界があります。有界でない被積分関数には、書かれた上下限が有限でも、関数値が無限に大きくなる点があります。その点は端点にも区間内部にもあり得ます。

OpenStax『Calculus』第2巻 §3.7は、どちらも極限によって定義します。この区別は重要です。$\infty$を数のように代入したり、内部の特異点をまたいで一度に計算したりすると、もっともらしくても誤った答えが出ます。

極限が有限なら収束です。際限なく大きくなる、あるいは他の理由で有限値に落ち着かないなら発散です。同じ原始関数を使っても結論は分かれます。原始関数を求めるのは解答の一部にすぎません。

再利用できる四つの手順

1. 問題となる境界をすべて探す。 無限の端、ゼロになる分母、定義域を外れる対数、その他関数が有界でなくなる点を確認します。内部に特異点があれば、積分する前に区間を分けます。

2. 問題の境界を有限な変数に置き換える。 得られた普通の定積分を書きます。たとえば$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$を、有限な$R>1$について$\int_1^R f(x)\,dx$にします。

3. 普通の積分を計算する。 ここで原始関数が役立ちます。有限な上下限を代入する前に、定義域と符号を確認してください。直接積分できなくても、比較によって収束を判定できる場合があります。

4. 極限を取り、結論を書く。 有限な$R$や$\varepsilon$についての式だけで終わらせません。極限の結果を示し、「収束」または「発散」と明記します。内部の特異点で分けた場合は、左右で独立に行います。

順序を守れば解答を検査できます。どの境界を調べたか、最後の数値が本当に極限かが読み手にも分かります。

無限区間：有限の面積と無限の面積

まず収束する例です。

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

区間は終わりませんが、追加される面積が十分小さくなり、合計は1に近づきます。分母の指数だけを変えてみましょう。

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

こちらは発散します。$1/x$自体がゼロに近づいても、積み重なった面積が有限になるとは限りません。減り方が遅すぎるのです。二つの関数はどちらもゼロに近づき、初等的な原始関数を持ちます。それでも積分の極限が有限なのは片方だけです。

一般に$\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$の境目は$p=1$です。$p>1$なら収束、$p\le1$なら発散します。この近道も極限の計算から導かれ、$p=1$の対数の場合を含みます。指数や区間がこの形に当てはまるか不安なら、元の極限を書いて判断してください。

端点：別の方向から出会う無限

書かれた上下限がともに有限でも、積分が広義になることがあります。$x=0$で$x^{-1/2}$は有界ではありません。下限を$\varepsilon>0$に置き換えます。

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

関数は端点で際限なく大きくなりますが、積分は収束します。同じ区間の$1/x$と比べましょう。

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

こちらは発散です。$\ln x$にゼロを代入してはいけません。$\ln0$は定義されていません。問われているのは極限です。端点の二例は無限区間の二例と対応します。特異点があることだけでも、原始関数があることだけでも、収束かどうかは決まりません。

区間内部：穴を越えて相殺しない

最も危険な近道は、普通に見える二つの端点の間に特異点があるときです。次を考えます。

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

原始関数$\ln|x|$は$-1$と$1$で同じ値になります。差をゼロと書きたくなります。しかしこの計算は$1/x$が定義されない$x=0$を横切ります。微積分の基本定理は、その切れ目をまたぐ一回の引き算を認めません。全体に値を付ける前に、左右を別々に調べます。

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{と}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

各側に独立した極限が必要です。$\varepsilon>0$として左側は$\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$。右側は$\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$。どちらも有限値に収束しないため、元の広義積分は発散します。

左右対称に切り取ると、どの正の$\varepsilon$についてもゼロになります。しかしこれはコーシーの主値という別の構成です。二つの発散する側を組にして相殺させます。普通の広義積分の値ではありません。サウスカロライナ大学の演習資料も、内部の特異点では両側を個別に調べる条件を示しています。

原始関数が難しければ比較する

すべての広義積分で原始関数を求める必要はありません。非負の関数なら、その大きさを、振る舞いが既知の関数と比べられます。たとえば$x\ge1$で

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

$\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$は収束するので、それ以下の非負の積分$\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$も収束します。正確な値を求めずに収束だけを証明できました。OpenStax §3.7の比較定理に条件があります。不等号の向きに注意してください。発散する関数より小さいことだけでは何も言えません。一方、収束する非負の関数より小さい非負の関数なら収束を引き継ぎます。

提出前に答えを点検する

最後に問題となる境界を名指しし、解答の最終行を見てください。原始関数だけ、数として代入した$\infty$、未定義の$\ln0$では解答が終わっていません。内部の特異点なら二つの有限な片側極限が必要です。左右対称の相殺で代用できません。

確認問題を二つ。$\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$は収束するでしょうか。同じ計算から$1/2$です。$\int_0^1x^{-2}\,dx$はどうでしょう。端点での極限が無限に大きくなるため発散します。同じ指数でも問題となる境界と結論は違います。意外な結果なら、有限な境界の形に書き直し、極限が理由を示すのを確かめてください。

Math Zenの極限ガイドは最後の操作を支えます。ロピタルの定理のガイドは条件に合う極限形の道具を説明しますが、広義積分の問題箇所の発見や区間分割の代わりにはなりません。すべての問題点と正しい片側極限を書けたら、残りは通常の積分計算です。