La pente intuitivement : coefficient directeur, formule de la pente et y = mx + b

Sur une route de montagne, un panneau annonce une pente de 8 %. Ce nombre décrit la route qui vous attend : sur chaque tranche de 100 mètres de distance horizontale, la route monte ou descend de 8 mètres, selon le sens dans lequel vous roulez. Réduisez la distance à un seul mètre et la variation est de 0,08 mètre.

Ce 0,08 est une pente. Elle mesure de combien une grandeur (la hauteur) varie pour chaque pas d’une unité dans une autre (la distance horizontale). Dans un repère, les grandeurs sont $y$ et $x$, et la question reste la même : quand $x$ avance d’un pas vers la droite, de combien $y$ se déplace-t-il, et dans quel sens ?

La variation verticale sur la variation horizontale, la formule de la pente, $y = mx + b$ et la forme point-pente sont quatre façons d’écrire cette même réponse.

La pente est un taux de variation, pas une forme

La pente ressemble à une inclinaison, mais c’est un nombre, et ce nombre est un taux de variation.

La définition classique est le quotient Δy sur Δx, variation verticale sur variation horizontale. Entre deux points d’une droite, Δy est la variation verticale (en $y$) et Δx la variation horizontale (en $x$) :

$$\text{pente} = \frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$$

Diviser par Δx transforme une variation brute en variation par pas : un Δy de 6 pour un Δx de 3 donne la même pente que 2 sur 1, car dans les deux cas $y$ augmente de 2 pour chaque unité de $x$. Les manuels notent ce nombre $m$ et l’appellent coefficient directeur de la droite.

Comme la pente divise une grandeur par une autre, elle a une unité : des euros par gigaoctet pour un forfait mobile, des mètres par seconde (une vitesse) pour une distance divisée par une durée. Un « par » dans un énoncé signale généralement une pente.

Le signe de la pente donne le sens : avec une pente positive, la droite monte quand on la lit de gauche à droite ; avec une pente négative, elle descend. La route à 8 % a une pente de 0,08 pour un conducteur qui monte et de $-0.08$ pour celui qui descend. Sa valeur absolue donne la raideur : une pente de 5 est plus raide qu’une pente de 2, et $-5$ est plus raide que $-2$, même si $-5$ est le plus petit nombre.

L’image peut tromper. Étirez l’axe des ordonnées et toute droite oblique paraît plus raide, pourtant aucune pente ne change, car la pente se mesure dans les unités des axes, pas comme un angle sur la feuille.

Calculer la pente à partir de deux points

La façon de calculer la pente dépend des données dont vous disposez. À partir de deux points, soustrayez les ordonnées pour obtenir Δy et les abscisses pour obtenir Δx. C’est la formule de la pente :

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Prenez $(2, 3)$ et $(6, 11)$ comme point 1 et point 2 :

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Relisez le résultat comme un taux. De $x = 2$ à $x = 6$, il y a quatre pas, et à raison de 2 par pas, $y$ devrait monter de 8, de 3 à 11. C’est bien le cas.

Vous pouvez numéroter les points comme vous voulez. Appelez plutôt $(6, 11)$ point 1, et les deux soustractions s’inversent :

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

Δy et Δx changent tous les deux de signe, donc le résultat ne change pas. Inverser l’ordre à un seul endroit le fausse : $11 - 3$ sur $2 - 6$ donne $\frac{8}{-4} = -2$, une droite inclinée dans le mauvais sens. Le point placé en premier au numérateur doit aussi être placé en premier au dénominateur.

Les pentes négatives viennent de la même formule. Pour $(1, 7)$ et $(4, 1)$ :

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

À chaque pas vers la droite, $y$ diminue de 2, si bien qu’en trois pas il passe de 7 à 1.

La pente d’une droite est la même entre deux quelconques de ses points : $(4, 7)$ se trouve aussi sur la première droite, et avec $(2, 3)$ on retrouve $\frac{4}{2} = 2$. C’est ce taux constant qui rend une droite droite.

Lire la pente sur un graphique

Sur un graphique, on compte au lieu de soustraire. Choisissez deux points à coordonnées entières (des endroits où la droite passe exactement par un nœud du quadrillage) et comptez du point de gauche vers celui de droite : des unités vers le haut ou vers le bas pour Δy, des unités vers la droite pour Δx. En allant de gauche à droite, Δx reste positif, donc seul Δy décide du signe.

Toute droite entre dans l’un de ces quatre cas :

Droite sur le graphique	Exemple	Δy sur Δx	Pente
Monte de gauche à droite	$y = 2x + 1$	positif sur positif	positive
Descend de gauche à droite	$y = -3x + 4$	négatif sur positif	négative
Horizontale	$y = 5$	0 sur n’importe quel Δx	0
Verticale	$x = 5$	n’importe quel Δy sur 0	non définie

Les deux dernières lignes se confondent facilement, car toutes deux font intervenir un zéro. Sur une droite horizontale $y = c$, tous les points ont la même ordonnée, donc Δy vaut 0, et 0 divisé par un Δx non nul vaut 0. La droite a une pente, et cette pente est nulle.

Sur une droite verticale $x = c$, tous les points ont la même abscisse, donc Δx vaut 0, et une division par zéro n’est pas définie. En termes de taux, la droite ne fait jamais un pas en $x$, donc « variation de $y$ par pas de $x$ » n’a pas de réponse. Si l’on vous dit qu’une droite verticale « n’a pas de pente », comprenez que sa pente n’est pas définie, et non qu’elle est nulle.

L’équation réduite : y = mx + b

L’équation réduite met en évidence les deux nombres clés d’une droite :

$$y = mx + b$$

Ici, $m$ est la pente et $b$ la valeur de $y$ quand $x = 0$, là où la droite coupe l’axe des ordonnées (en France, on écrit plutôt y = mx + p, ou f(x) = ax + b pour une fonction affine). Cette valeur est l’ordonnée à l’origine, et dans les problèmes concrets, c’est généralement une valeur de départ.

Supposons qu’un forfait mobile coûte 15 € par mois plus 2 € par gigaoctet de données. Avec $x$ gigaoctets et une facture de $y$ euros :

$$y = 2x + 15$$

Sans consommer de données, vous payez 15 €, l’ordonnée à l’origine. Chaque gigaoctet ajoute 2 €, la pente, donc 5 gigaoctets coûtent $2(5) + 15 = 25$ euros. Pour tracer la droite, placez $(0, 15)$, puis avancez de 1 vers la droite et montez de 2, encore et encore.

Les équations se présentent souvent sous forme cartésienne, $Ax + By = C$, où la pente est cachée. Isolez $y$ et elle apparaît :

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

La pente vaut donc $-\frac{A}{B}$ dès que $B \neq 0$. Pour $3x + 4y = 12$, soustrayez $3x$ aux deux membres puis divisez par 4 : $y = -\frac{3}{4}x + 3$. La pente vaut $-\frac{3}{4}$ et l’ordonnée à l’origine vaut 3.

Les points d’intersection avec les axes le confirment : la droite passe par $(0, 3)$ et $(4, 0)$, et $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$. Quand $B = 0$, l’équation devient $Ax = C$, une droite verticale, exactement le cas où $-\frac{A}{B}$ diviserait par zéro.

La forme point-pente : partir d’un point connu

Vous connaissez souvent la pente et un point, mais pas l’ordonnée à l’origine. La forme point-pente utilise exactement ces informations :

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Autrement dit : à partir du point connu $(x_1, y_1)$, $y$ varie de $m$ pour chaque pas en $x$. C’est la formule de la pente réarrangée : pour tout autre point $(x, y)$ de la droite, $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$, et multiplier les deux membres par $x - x_1$ donne la forme point-pente.

Trouvez la droite de pente 3 passant par $(2, 5)$ :

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

C’est déjà une réponse correcte. Pour la convertir en équation réduite, développez, puis ajoutez 5 aux deux membres :

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

Vérifiez avec le point connu : $3(2) - 1 = 5$.

Une droite passant par deux points demande une étape de plus. Pour $(2, 3)$ et $(6, 11)$, la pente vaut 2, comme calculé plus haut, donc $y - 3 = 2(x - 2)$, ce qui se simplifie en $y = 2x - 1$. L’autre point le confirme : $2(6) - 1 = 11$.

Choisissez la forme adaptée à ce que vous savez. L’équation réduite convient pour tracer une droite et pour tout problème avec une valeur de départ, comme le forfait mobile. La forme point-pente est la plus rapide à partir d’un point et d’une pente, ou de deux points. L’équation cartésienne garde des coefficients entiers, donne rapidement les deux points d’intersection avec les axes et prépare les équations pour l’élimination.

Droites parallèles et perpendiculaires

Deux droites de même pente montent au même rythme, donc l’écart vertical entre elles ne change jamais. Si leurs ordonnées à l’origine diffèrent, elles sont parallèles et ne se coupent jamais : $y = 2x + 1$ et $y = 2x - 4$ ont le même $m$ et des $b$ différents.

Les droites perpendiculaires suivent une règle moins évidente. Quand aucune des deux n’est verticale, chaque pente est l’opposé de l’inverse de l’autre : on retourne la fraction et on change le signe. Autrement dit, le produit des deux pentes vaut $-1$. La pente 2 va avec $-\frac{1}{2}$, et $-\frac{3}{4}$ va avec $\frac{4}{3}$.

Cette règle vient de la rotation d’un pas. Un pas le long d’une droite de pente 2, c’est Δx = 1 et Δy = 2. Faites tourner ce pas d’un quart de tour dans le sens antihoraire, et les deux nombres échangent leur place, l’un d’eux changeant de signe : Δx devient $-2$ et Δy devient 1. La nouvelle pente est $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Ainsi, la droite perpendiculaire à $y = 2x - 1$ passant par $(4, 1)$ a pour pente $-\frac{1}{2}$ : $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$, soit $y = -\frac{1}{2}x + 3$. L’exception des droites verticales est bien réelle : une droite horizontale et une droite verticale sont perpendiculaires, mais la verticale n’a pas de pente à multiplier. La section d’OpenStax sur les fonctions affines propose d’autres exemples de droites parallèles et perpendiculaires, et d’autres exercices pour écrire l’équation d’une droite.

Où la pente mène ensuite

Une droite a la même pente partout ; une courbe, non. La variation verticale sur la variation horizontale entre deux points d’une courbe fonctionne quand même : elle donne le taux de variation moyen, c’est-à-dire la pente de la sécante passant par les deux points. Pour $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ et $x = 3$ :

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Rapprochez le second point de $x = 1$ et le taux moyen change : 3 sur l’intervalle de 1 à 2, 2,5 de 1 à 1,5, 2,1 de 1 à 1,1. Les valeurs se rapprochent de 2, la pente de la tangente en $x = 1$. Cette pente limite est le nombre dérivé, et notre guide des dérivées construit le calcul différentiel à partir de cette image.

Côté algèbre, c’est une pente constante qui caractérise une fonction affine, comme le montre notre guide des fonctions avec les autres allures de courbes courantes. Et puisque chaque équation linéaire à deux inconnues se représente par une droite, les pentes permettent de prévoir le comportement d’un système d’équations : deux droites de pentes différentes se coupent en exactement un point, deux droites de même pente et d’ordonnées à l’origine différentes ne se rencontrent jamais, et deux équations de la même droite ont tous leurs points en commun.

Erreurs courantes sur la pente

• Δx sur Δy. Diviser la variation horizontale par la variation verticale donne l’inverse, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ au lieu de 2 pour le premier couple de points. Comme $y$ a varié de 8 tandis que $x$ variait de 4, la pente devait forcément dépasser 1.
• Points pris dans le désordre. Commencer les soustractions du numérateur et du dénominateur par des points différents inverse le signe. Nommez d’abord les points.
• Signes perdus avec des coordonnées négatives. Pour $(-3, -4)$ et $(1, 4)$, Δy vaut $4 - (-4) = 8$, pas 0, et Δx vaut $1 - (-3) = 4$, donc la pente est 2. Mettez entre parenthèses chaque coordonnée négative que vous remplacez.
• Dire qu’une droite verticale a une pente nulle. Un sol plat a une pente nulle. Un mur a une pente non définie.
• Confondre l’ordonnée à l’origine avec la raideur. La droite $y = 0.5x + 100$ part haut mais monte lentement, tandis que $y = 3x + 1$ part bas et monte six fois plus vite. L’ordonnée à l’origine déplace une droite vers le haut ou le bas ; seul $m$ change sa raideur.

Entraînez-vous à passer d’une forme à l’autre

Prenez une droite et retrouvez-la sous toutes ses formes : deux points, un graphique, $y = mx + b$, la forme point-pente et l’équation cartésienne. Passez de l’une à l’autre jusqu’à ce que chaque conversion devienne un réflexe, et mêlez-y des droites horizontales et verticales pour qu’un zéro au numérateur et un zéro au dénominateur cessent de se ressembler.

Math Zen n’a pas d’exercice unique dédié à la pente ; l’entraînement le plus proche se répartit donc sur deux thèmes : Étude de graphes pour les intersections avec les axes et la lecture de graphiques, et Algèbre pour la résolution d’équations et de systèmes linéaires, où les pentes déterminent si deux droites se coupent. Les équations linéaires et la pente figurent aussi au SAT, à l’ACT et au GED ; notre guide de maths pour le SAT montre où elles se situent dans cet examen.

Chaque formule ici répond à la question du panneau routier : de combien $y$ varie-t-il quand $x$ fait un pas ? Quand une formule vous échappe, posez cette question aux nombres devant vous et reconstruisez la formule.