Loi des sinus et loi des cosinus (Al-Kashi) : laquelle utiliser et quand

Un géomètre connaît deux côtés d'une parcelle et l'angle qu'ils forment, et il lui faut le troisième côté. Un pilote connaît deux angles du triangle qu'il forme avec deux balises radio, ainsi qu'une distance. Aucun des deux triangles n'a d'angle droit : SOH CAH TOA ne sert à rien ici. C'est précisément le rôle de la loi des sinus et de la loi des cosinus (le théorème d'Al-Kashi), les deux règles qui résolvent n'importe quel triangle dès que vous en connaissez trois éléments (à condition que l'un d'eux soit un côté).

La difficulté n'est presque jamais la formule. Elle tient au choix de la loi à utiliser, et à la seule situation où la calculatrice vous renvoie discrètement un angle faux. Ce guide commence par un tableau de décision, traite un exemple pour chaque cas, puis fait passer un même triangle par tous les résultats du cas ambigu en ne changeant qu'un seul côté. Si le sinus et le cosinus vous semblent encore des boutons plutôt que des idées, le guide de trigonométrie les reconstruit d'abord.

Notation dans tout l'article : les angles A, B, C sont opposés aux côtés a, b, c.

Quelle loi utiliser : partez de ce qu'on vous donne

Tout problème de triangle résoluble vous donne trois éléments. Nommez la configuration, et la loi suit :

Données, loi à utiliser et première inconnue

Vous connaissez	Configuration	Loi à utiliser	À trouver en premier
Deux angles et un côté qui n'est pas entre eux	AAC	Loi des sinus	Le troisième angle (180° moins les deux autres), puis les côtés
Deux angles et le côté compris entre eux	ACA	Loi des sinus	Le troisième angle, puis les côtés
Deux côtés et un angle qui n'est pas entre eux	CCA	Loi des sinus, avec prudence	L'angle opposé au second côté connu ; vérifiez s'il y a 0, 1 ou 2 triangles
Deux côtés et l'angle compris entre eux	CAC	Loi des cosinus	Le troisième côté
Les trois côtés	CCC	Loi des cosinus	Le plus grand angle (opposé au plus long côté)
Les trois angles	AAA	Aucune	Pas de solution unique : des triangles semblables de toute taille conviennent

Ce partage suit le manuel de précalcul d'OpenStax : la loi des sinus couvre ACA, AAC et CCA, et la loi des cosinus est l'outil des deux cas que la loi des sinus ne sait pas traiter, CAC et CCC (OpenStax, law of sines ; OpenStax, law of cosines).

La raison se voit bien sur les formules. La loi des sinus compare chaque côté à son angle opposé :

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Pour l'utiliser, il faut au moins un couple complet : un côté et l'angle qui lui fait face. CAC et CCC ne fournissent jamais de couple complet, il faut donc une autre règle pour démarrer.

La loi des cosinus : Pythagore plus une correction

La loi des cosinus, appelée aussi théorème d'Al-Kashi, s'écrit sous trois formes :

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Regardez la dernière avec $C = 90^{\circ}$. Alors $\cos C = 0$, le dernier terme s'annule et il reste $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. La loi des cosinus est le théorème de Pythagore muni d'un terme de correction pour les angles qui ne sont pas droits. OpenStax appelle l'identité dont elle part le « théorème de Pythagore généralisé ». L'idée est ancienne : les propositions 12 et 13 du livre II des Éléments d'Euclide la démontrent pour les triangles obtusangles et acutangles, dans un langage purement géométrique, bien avant l'existence des cosinus (Euclid II.12, Clark University edition).

La correction a un sens clair. Quand C est aigu, $\cos C$ est positif, donc c ressort plus court que la valeur pythagoricienne. Quand C est obtus, $\cos C$ est négatif, et le signe moins transforme la correction en addition : c ressort plus long. Ouvrez l'angle et le côté opposé s'étire ; refermez-le et il rétrécit.

Exemple résolu en CAC

Deux côtés mesurent $b = 8$ et $c = 11$, et l'angle entre eux est $A = 40^{\circ}$. Trouvez le reste.

Troisième côté. Remplacez les valeurs dans la forme qui contient l'angle connu :

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

donc $a \approx 7.08$. À titre de comparaison, un angle droit en A aurait donné $\sqrt{185} \approx 13.60$ ; l'angle de 40° réduit cette valeur de presque moitié.

Angles restants. Il existe maintenant un couple complet (a avec A), donc la loi des sinus fonctionne. Calculez l'angle opposé au plus petit des deux autres côtés, c'est-à-dire b :

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Puis $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Remarquez que C est obtus. Si vous aviez utilisé la loi des sinus pour C, l'arcsinus de la calculatrice aurait renvoyé 86,55°, l'angle aigu de même sinus, et tous les nombres suivants auraient été faux. Calculer d'abord le plus petit angle évite le piège : dans un triangle, l'angle opposé à un côté plus court est plus petit, et au plus un angle peut valoir 90° ou plus ; l'angle opposé au côté le plus court est donc toujours aigu.

Les mêmes données donnent aussi l'aire directement, avec la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l'angle compris (la formule d'aire de la section d'OpenStax sur la loi des sinus) : $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

CCC : trouvez d'abord le plus grand angle

Avec les trois côtés, réarrangez la loi des cosinus pour isoler le cosinus :

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Prenez le triangle de côtés 5, 7 et 9. Le plus long côté est 9 ; commencez donc par l'angle qui lui est opposé :

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

Le cosinus négatif vous dit tout de suite que C est obtus. La loi des sinus est maintenant sûre pour les autres, puisque les deux angles restants sont forcément aigus :

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

et $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Une vérification avec la loi des cosinus pour B donne les mêmes 50,70°.

Dans l'autre ordre, le piège apparaît. Trouvez A d'abord, puis utilisez la loi des sinus pour C : vous obtenez $\sin C \approx 0.9950$, et l'arcsinus indique 84,26°. L'angle réel est son supplémentaire, 95,74°. Les notes de cours de l'Université de Houston énoncent la règle clairement : si vous avez le choix, « il vaut généralement mieux trouver d'abord le plus grand angle » (UH Math 1330, section 7.3).

La loi des sinus : AAC et ACA

Quand vous connaissez deux angles, le troisième vient gratuitement : leur somme fait 180°. Ensuite, la loi des sinus est une simple proportion.

Posons $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ et $a = 10$. Alors $C = 80^{\circ}$, et le rapport commun vaut

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Multipliez-le par chaque sinus : $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ et $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Rien d'ambigu ici, car chaque angle a été obtenu par soustraction et non par un arcsinus. ACA fonctionne de la même façon : on soustrait pour obtenir le troisième angle, on dispose alors d'un côté avec son angle opposé, et la proportion fait le reste.

Le cas ambigu (CCA) : un triangle, trois issues

CCA est le cas où les élèves perdent des points. OpenStax le décrit comme le cas où des données CCA « peuvent donner une ou deux solutions, voire aucune ». La façon la plus claire de comprendre pourquoi est de tout garder fixe sauf un côté.

Fixez l'angle $A = 30^{\circ}$ et le côté $b = 10$. Imaginez le côté b posé au sol, du sommet C au sommet A, avec l'angle de 30° en A. Le côté a pend depuis C et pivote comme un portillon jusqu'à retomber sur la droite qui part de A. Qu'il retombe, et où, dépend uniquement de sa longueur.

La longueur clé est la hauteur issue de C jusqu'à cette droite :

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Changez maintenant uniquement a. Chaque ligne du tableau a été calculée à partir de $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ et vérifiée à 12 chiffres significatifs :

Issues du cas CCA pour A = 30°, b = 10

Côté a	Comparé à h = 5 et b = 10	$\sin B$	Triangles	Angle B	Angle C	Côté c
4	plus court que h	1,25	0	aucun	aucun	aucun
5	égal à h	1	1	90°	60°	8,66
8	entre h et b	0,625	2	38,68° ou 141,32°	111,32° ou 8,68°	14,91 ou 2,42
12	au moins b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Lisez-le ligne par ligne :

• a = 4. Le portillon est plus court que la hauteur, il n'atteint donc jamais le sol. L'algèbre le confirme : $\sin B = 1.25$, et aucun angle n'a un sinus supérieur à 1. Aucun triangle.
• a = 5. Le portillon touche juste le sol, à la verticale. Un triangle, avec un angle droit en B.
• a = 8. Le portillon est plus long que la hauteur mais plus court que b : il touche le sol en deux points, un de chaque côté du pied de la hauteur. Les deux sont de vrais triangles. L'arcsinus donne 38,68° ; l'autre réponse est son supplémentaire, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, et comme $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$, il reste de la place pour un troisième angle. On obtient un triangle large avec c = 14,91 et un triangle étroit avec c = 2,42.
• a = 12. Le portillon est plus long que b : son second point de contact tomberait derrière A, hors du triangle. Le supplémentaire 155,38° plus 30° dépasse déjà 180° ; on l'écarte. Un seul triangle.

Ces conditions correspondent aux quatre figures de la section d'OpenStax : a plus court que la hauteur ne donne aucun triangle, a égal à la hauteur donne un triangle rectangle, a entre la hauteur et b en donne deux, et a au moins égal à b en donne un (pour un angle A aigu).

Le réflexe à retenir : après tout arcsinus dans un problème CCA, notez aussi le supplémentaire et testez s'il est compatible avec l'angle donné. S'il l'est, il y a deux réponses, et l'énoncé les demande généralement toutes les deux. Si A lui-même est obtus, la figure est plus simple : a doit être plus long que b, sinon il n'y a aucun triangle.

Erreurs fréquentes

Utiliser la loi des sinus en CAC ou CCC. Sans couple complet formé d'un côté et de son angle opposé, la proportion a deux inconnues. Commencez par la loi des cosinus.

Oublier le second triangle du cas CCA. La calculatrice ne renvoie que l'arcsinus aigu. Testez toujours son supplémentaire.

Trouver un angle obtus avec un arcsinus. En CAC et CCC, trouvez le plus grand angle avec la loi des cosinus, ou trouvez d'abord les plus petits angles avec la loi des sinus.

Calculatrice en mode radians. $\cos 40$ en radians vaut environ $-0.667$, et non $0.766$. Si un côté dépasse la somme des deux autres, vérifiez le mode.

Arrondir trop tôt. Gardez toute la précision du côté que vous venez de trouver avant de l'utiliser à l'étape suivante ; les réponses ci-dessus ont été calculées en précision complète et arrondies seulement à la fin.

Exercices d'entraînement

Essayez chacun avant de lire la réponse.

1. CAC. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Trouvez a.
2. CCC. Un triangle a pour côtés 4, 6 et 8. Trouvez son plus grand angle.
3. CCA. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Combien de triangles conviennent, et quelles sont les valeurs possibles de c ?

Réponses.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, donc $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. Le plus grand angle est opposé à 8 : $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, donc $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. La hauteur est $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, et 9 se situe entre 7,71 et 12 : il y a donc deux triangles. $\sin B \approx 0.8571$ donne $B \approx 58.99^{\circ}$ ou $121.01^{\circ}$, puis $C \approx 81.01^{\circ}$ ou $18.99^{\circ}$, et $c \approx 13.83$ ou $4.56$.

L'entraînement à la trigonométrie de Math Zen inclut la loi des sinus et des cosinus à côté des rapports trigonométriques, des identités et des fonctions réciproques, avec de nouveaux nombres à chaque essai, pour que le choix entre les deux lois devienne automatique. Le même cosinus réapparaît dans le produit scalaire, que le guide des vecteurs présente comme la suite naturelle.

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?

Utilisez la loi des sinus pour AAC, ACA et CCA. Utilisez la loi des cosinus pour CAC et CCC, où aucun côté ne vient avec son angle opposé.

La loi des cosinus est-elle la même chose que le théorème de Pythagore ?

C'en est la version générale. Posez l'angle égal à 90° et le terme $-2ab\cos C$ disparaît, laissant $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

Qu'est-ce que le cas ambigu de la loi des sinus ?

Des données CCA peuvent décrire zéro, un ou deux triangles. Comparez le côté a avec la hauteur $h = b \sin A$ et avec le côté b pour savoir lequel.

Pourquoi faut-il trouver d'abord le plus grand angle ?

Un angle et son supplémentaire ont le même sinus : un arcsinus ne distingue donc pas 84° de 96°. Le plus grand angle est le seul qui puisse être obtus ; trouvez-le avec la loi des cosinus et les autres sont sûrs.