Intégrales impropres : convergence et exemples détaillés

Une intégrale peut avoir une primitive familière sans avoir de valeur finie. L'étape manquante est une limite. Si l'intervalle s'étend à l'infini, ou si la fonction devient non bornée à une extrémité ou au milieu de l'intervalle, on ne peut pas simplement reporter les bornes écrites dans la primitive. Il faut d'abord remplacer la borne problématique par une variable ordinaire, puis examiner ce qui se passe quand cette variable s'en approche.

C'est ce qui rend l'intégrale impropre. Le mot décrit le problème posé, pas sa réponse. Certaines intégrales impropres convergent vers un nombre fini, d'autres divergent. Ce guide rapproche des exemples pour montrer l'étape qui distingue les deux verdicts. Si la notation d'une intégrale définie est encore nouvelle, commencez par notre introduction aux intégrales. Le guide des limites présente l'opération décisive pour chaque exemple qui suit.

Repérer d'abord ce qui rend l'intégrale impropre

Deux cas reviennent souvent. Un intervalle infini possède une borne telle que $+\infty$ ou $-\infty$. Une fonction non bornée devient infiniment grande en un point, même lorsque les bornes affichées sont finies. Ce point peut être une extrémité ou se trouver à l'intérieur de l'intervalle.

OpenStax, Calculus Volume 2, §3.7 définit ces deux cas par des limites. La distinction compte, car traiter $\infty$ comme un nombre ou évaluer en une seule fois de part et d'autre d'une singularité intérieure peut produire une réponse vraisemblable, mais fausse.

Une limite finie signifie que l'intégrale converge. Si la limite croît sans borne ou ne se stabilise pas sur une valeur finie, elle diverge. La même primitive peut apparaître dans les deux cas. Trouver cette primitive n'est donc qu'une partie du travail.

Une méthode en quatre étapes

1. Trouvez chaque frontière suspecte. Cherchez une borne infinie, un dénominateur nul, un logarithme hors de son domaine ou un autre point où la fonction n'est pas bornée. Si le point est intérieur, coupez l'intervalle avant d'intégrer.

2. Remplacez une frontière suspecte par une variable finie. Écrivez l'intégrale propre correspondante. Par exemple, remplacez $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ par $\int_1^R f(x)\,dx$, où $R>1$ est fini.

3. Calculez cette intégrale propre. Une primitive aide à ce stade. Vérifiez son domaine et les signes avant de substituer les bornes finies. Si l'intégration directe est difficile, une comparaison peut encore trancher la convergence.

4. Prenez la limite et formulez le verdict. Ne donnez pas seulement l'expression pour un $R$ ou un $\varepsilon$ fini. Écrivez le résultat de la limite, puis « convergente » ou « divergente ». Après une coupure à une singularité intérieure, recommencez indépendamment des deux côtés.

Cet ordre rend le raisonnement vérifiable : on voit si la bonne frontière a été testée et si le nombre final provient réellement d'une limite.

À l'infini : une aire finie et une aire infinie

Voici un cas convergent :

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

L'intervalle ne s'arrête jamais, mais l'aire ajoutée devient assez petite pour que le total s'approche de 1. Modifions uniquement la puissance au dénominateur :

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Cette intégrale diverge. Le fait que $1/x$ tende vers zéro ne suffit pas pour rendre l'aire accumulée finie : la fonction décroît trop lentement. La comparaison est instructive. Les deux fonctions tendent vers zéro et possèdent une primitive élémentaire, mais une seule fournit une limite finie pour l'intégrale.

Pour $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$, la frontière se situe à $p=1$. L'intégrale converge si $p>1$ et diverge si $p\le1$. Ce raccourci vient du calcul de la limite, y compris du cas logarithmique $p=1$. Si vous doutez que l'exposant et l'intervalle correspondent à ce modèle, revenez à la définition par limite.

À une extrémité : une autre façon de rencontrer l'infini

Une intégrale peut être impropre malgré deux bornes affichées finies. En $x=0$, la fonction $x^{-1/2}$ n'est pas bornée. Remplaçons la borne inférieure par $\varepsilon>0$ :

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

La fonction grandit sans borne à l'extrémité et pourtant l'intégrale converge. Comparons $1/x$ sur le même intervalle :

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Celle-ci diverge. Ne remplacez pas $x$ par zéro dans $\ln x$, car $\ln0$ n'est pas défini. La vraie question mathématique est la limite. Cette paire au voisinage d'une extrémité répond à la paire à l'infini : une singularité ne fixe pas à elle seule le verdict, pas plus que l'existence d'une primitive.

Au milieu : ne pas annuler de part et d'autre du trou

Le raccourci le plus trompeur apparaît lorsque la singularité se trouve entre deux bornes d'apparence ordinaire. Considérons

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

La primitive $\ln|x|$ a la même valeur en $-1$ et en $1$. On serait tenté d'écrire zéro. Mais ce calcul traverse $x=0$, où $1/x$ n'est pas défini. Le théorème fondamental ne permet pas une seule soustraction à travers cette rupture. Il faut d'abord examiner séparément les deux côtés :

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{et}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Chaque côté demande sa propre limite. À gauche, avec $\varepsilon>0$, $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. À droite, $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Aucun côté ne converge vers une valeur finie. L'intégrale impropre de départ diverge donc.

Une coupure symétrique peut produire zéro pour tout $\varepsilon$ positif, mais elle définit une autre construction : la valeur principale de Cauchy. Elle associe deux côtés divergents en les laissant s'annuler. Ce n'est pas la valeur de l'intégrale impropre ordinaire. Cette feuille d'exercices de l'Université de Caroline du Sud exige deux vérifications latérales lorsqu'une singularité est intérieure.

Quand la primitive résiste, comparer

Toutes les intégrales impropres n'ont pas une primitive que l'on souhaite calculer. Pour une fonction positive ou nulle, on peut comparer sa taille à celle d'une fonction dont le comportement est connu. Par exemple, si $x\ge1$,

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Comme $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ converge, l'intégrale plus petite et non négative $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$ converge aussi. On a démontré la convergence sans calculer la valeur exacte. Le théorème de comparaison dans OpenStax, §3.7 détaille les conditions. Le sens de l'inégalité compte : se trouver sous une fonction dont l'intégrale diverge ne permet aucune conclusion, tandis qu'être sous une fonction d'intégrale convergente donne la convergence si les fonctions sont non négatives.

Vérifier la réponse avant de la rendre

Avant d'achever la solution, nommez la frontière problématique et inspectez la dernière ligne. Une primitive seule, une substitution de $\infty$ comme nombre, ou un $\ln0$ indéfini ne constituent pas une réponse complète. À une singularité intérieure, il faut deux limites latérales finies. Une annulation symétrique ne peut pas les remplacer.

Essayez deux contrôles rapides. $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$ converge-t-elle ? Le même calcul donne $1/2$. Et $\int_0^1x^{-2}\,dx$ ? Sa limite à l'extrémité croît sans borne : elle diverge. Les frontières et les verdicts diffèrent même si la même puissance figure dans les deux expressions. Si un résultat vous surprend, écrivez l'intégrale avec une borne finie et laissez la limite expliquer la réponse.

Le guide des limites de Math Zen aide pour la dernière étape. Le guide de la règle de l'Hôpital présente un outil adapté à certaines formes de limite, sans remplacer le repérage des frontières impropres ni la coupure nécessaire. Dès que tous les points problématiques et les limites latérales correctes sont écrits, le calcul redevient un exercice ordinaire d'intégration.