Comment résoudre un problème de maths : une méthode pas à pas

Vous lisez l'énoncé une fois. Vous le relisez. Les mots sont simples, les nombres sont petits, et pourtant vous n'avez aucune idée de par où commencer. Pendant ce temps, la même équation, écrite en symboles, vous prendrait trente secondes. Si c'est vous, voici la vérité rassurante : les problèmes écrits ne sont pas des maths plus difficiles. C'est une compétence différente greffée sur les maths, et cette compétence s'apprend comme n'importe quelle autre.

Cette compétence, c'est la traduction. Un problème de maths cache une équation toute simple à l'intérieur d'une petite histoire, et votre travail consiste à l'en extraire. Les élèves qui peinent sur les problèmes peinent presque toujours sur l'extraction, pas sur la résolution. Cet article vous donne une méthode en cinq étapes pour cette extraction, les schémas de traduction les plus courants, et les pièges que les concepteurs d'épreuves adorent tendre.

Pourquoi les problèmes écrits semblent tellement plus durs

Un exercice classique vous livre la mise en place : résolvez 3x + 12 = 30. Un problème écrit vous oblige à la construire vous-même : « Une salle de sport facture 12 $ de frais d'inscription plus 3 $ par visite. Après combien de visites un membre aura-t-il payé 30 $ ? » Les maths sont identiques. La différence, c'est que la seconde version vous fait décider quelle est l'inconnue, quels nombres comptent et comment ils se relient, tout cela avant le moindre début d'algèbre.

C'est pourquoi « je suis nul en problèmes » est généralement un mauvais diagnostic. Le calcul et la compréhension sont des compétences séparées, et il est parfaitement normal que l'une traîne derrière l'autre. La bonne nouvelle en découle directement : vous pouvez entraîner l'étape de traduction toute seule, et elle progresse vite quand vous le faites. Si ce sont les équations elles-mêmes qui vacillent, consolidez-les d'abord avec comprendre l'algèbre intuitivement ; la méthode ci-dessous suppose que vous savez résoudre ce que vous mettez en place.

Étape 1 : lisez la question d'abord

Commencez par la fin. La dernière phrase d'un problème contient presque toujours la vraie question, et la connaître change votre façon de lire tout le reste. Sans la cible, le problème est une histoire que vous absorbez passivement. Avec elle, le texte devient une liste d'indices et vous lisez comme un détective : lequel de ces nombres me mène à la chose dont j'ai besoin ?

Cette seule habitude élimine le mode d'échec le plus courant, qui est de répondre à la mauvaise question. Les énoncés demandent régulièrement le nombre de visites mais vous tentent de donner le coût total, ou demandent l'âge de Maria alors que vous venez de calculer celui de son frère. Lire la question d'abord, et entourer ou noter exactement ce qui est demandé, rend cette erreur presque impossible.

Étape 2 : nommez les données et l'inconnue

Lisez maintenant l'énoncé en entier et extrayez chaque information donnée, en écrivant chaque nombre avec sa signification attachée. Pas « 12, 3, 30 » mais « frais d'inscription = 12 $, coût par visite = 3 $, total payé = 30 $ ». Les nombres sans étiquette, voilà comment les quantités s'échangent en cours de résolution.

Donnez ensuite un nom à l'inconnue. Écrivez explicitement « soit v = nombre de visites ». Cela ressemble à de la bureaucratie quand le problème est facile, mais c'est le geste qui sépare ceux qui s'en sortent face aux problèmes difficiles de ceux qui n'y arrivent pas. Les problèmes complexes à deux ou trois quantités deviennent ingérables précisément quand les quantités n'ont pas de nom. La discipline de l'étiquetage est une assurance bon marché, et elle inclut les unités : garder « km » et « heures » accrochés aux nombres attrape des erreurs que l'arithmétique pure ne verrait jamais.

Étape 3 : traduisez les phrases en maths

C'est le cœur de la méthode. Prenez les relations décrites avec des mots et convertissez-les, une expression à la fois, en symboles. La plupart des problèmes puisent dans un lexique étonnamment réduit :

• « Somme », « total », « ensemble », « en tout » signifient généralement une addition
• « Différence », « de moins », « il reste » signifient généralement une soustraction
• « De », « fois », « par », « chacun » signifient généralement une multiplication
• « Partagé », « réparti équitablement », « par » (encore lui) signifient généralement une division
• « Est », « vaut », « fera », « coûte » signifient généralement le signe égal

Remarquez le mot « généralement ». Les mots-clés sont des indices, pas des règles, et les traiter comme des règles est exactement ce que les concepteurs d'épreuves exploitent. Le piège classique est l'ordre : « 5 de moins que x » s'écrit x - 5, pas 5 - x, parce que l'expression décrit une quantité située 5 en dessous de x. De même, « Anna en a 3 fois plus que Ben » signifie A = 3B, même si « Anna » se trouve juste à côté de « 3 fois » et vous tente d'écrire 3A = B. La parade est toujours la même : après avoir traduit une expression, relisez-la et vérifiez le sens avec des nombres faciles. Si Ben en a 2, Anna devrait en avoir 6. Est-ce que votre équation dit cela ?

Pour le problème de la salle de sport, la traduction donne : total payé égale frais d'inscription plus coût par visite fois le nombre de visites, donc 30 = 12 + 3v. L'histoire est devenue une équation, et le plus dur est derrière vous.

Étape 4 : résolvez, et étape 5 : confrontez à l'histoire

Résoudre est la partie que vous savez déjà faire, et c'est tout l'intérêt de la méthode : elle ramène un problème inconnu à un problème familier. Un conseil à garder : si l'algèbre devient monstrueuse, avec des fractions de fractions ou des nombres qui refusent de tomber juste, soupçonnez votre mise en place avant de forcer davantage. Une algèbre laide est souvent un signal poli que l'étape 3 a déraillé.

La dernière étape est celle que la plupart des élèves sautent, et ce sont les points les moins chers de toute épreuve. Ne vérifiez pas seulement que votre nombre satisfait votre équation ; vérifiez qu'il satisfait l'histoire. Si v = 6, est-ce que six visites à 3 $ plus 12 $ de frais font vraiment 30 $ ? Oui. Six visites, est-ce une réponse plausible pour un problème de salle de sport ? Oui. Comparez avec des réponses comme un nombre négatif de pommes, une remise de 130 pour cent, ou un coureur lancé à 400 km/h. Chacune est une erreur de traduction qui s'annonce elle-même, et le contrôle par l'histoire l'attrape en quelques secondes. Sur les examens à choix multiples comme le SAT, cette habitude est particulièrement rentable, car les mauvaises réponses proposées sont construites à partir des erreurs de mise en place les plus courantes ; nous couvrons les schémas propres à cette épreuve dans comment se préparer au SAT Math.

Entraînez la traduction, pas seulement le problème

Puisque la traduction est le goulot d'étranglement, le moyen le plus rapide de progresser est de l'entraîner isolément. Prenez une série de problèmes et écrivez uniquement la mise en place de chacun : données, inconnue, équation. Ne résolvez rien. Puis comparez vos mises en place avec les solutions. Vous traiterez dix problèmes dans le temps qu'une résolution complète en permettrait trois, et chaque minute est dépensée sur la compétence qui a réellement besoin de travail. C'est le même principe qui gouverne la révision efficace des maths en général : ciblez l'étape où vous échouez, pas les étapes qui vous semblent confortables.

La deuxième habitude qui paie vite consiste à nommer le type de problème après l'avoir fini. Était-ce un problème de vitesse, un mélange, une comparaison, une variation en pourcentage ? Les problèmes semblent infiniment variés mais puisent dans une courte liste de structures, et une fois que vous avez vu « deux mobiles qui se rapprochent » cinq fois, le sixième cesse d'être une histoire et devient un modèle. La pratique quotidienne dans Math Zen s'appuie exactement là-dessus : ses problèmes sont générés à partir de ces structures récurrentes et s'adaptent à votre niveau, si bien que vous retrouvez chaque modèle régulièrement, à une difficulté qui vous étire sans vous submerger, et l'étape de traduction devient automatique au lieu d'être terrifiante.

L'essentiel à retenir

Les problèmes de maths sont une tâche de traduction agrafée à une tâche de calcul, et presque toute la difficulté loge dans la traduction. Lisez la question d'abord pour connaître la cible. Étiquetez chaque donnée et nommez l'inconnue. Convertissez les expressions en symboles une par une, en faisant confiance aux phrases entières plutôt qu'aux mots-clés. Résolvez l'équation propre que vous avez construite, puis confrontez le résultat à l'histoire, pas seulement à l'algèbre.

La prochaine fois qu'un problème vous fixera du regard, n'essayez pas de voir la réponse. Personne ne voit la réponse. La compétence consiste à voir l'équation cachée dans les phrases, et cette compétence se trouve à cinq petites étapes apprenables de vous.