Loi binomiale : exemples de probabilités exactes, au moins et au plus

Supposez que vous lanciez une pièce cinq fois et cherchiez à obtenir exactement trois fois pile. Il est facile de calculer la probabilité d'une suite précise, comme PPFPF, où P signifie pile et F face. Pourtant, PPFPF n'est qu'une des suites donnant trois piles. Un calcul binomial fait les deux opérations : il trouve la probabilité d'une suite et compte toutes les suites qui remplissent votre condition.

Ces exemples de loi binomiale montrent comment calculer un nombre exact de succès, au moins un succès et au plus deux succès. Avant d'appliquer la formule, vérifiez que la situation satisfait bien ses conditions. Pour une introduction plus douce au langage des probabilités, consultez notre guide sur les probabilités.

Vérifier les quatre conditions de la loi binomiale

Le modèle binomial compte les succès lors d'essais répétés. La leçon d'OpenStax sur la loi binomiale décrit un modèle que nous pouvons vérifier en quatre points :

1. Un nombre fixe d'essais : décidez de $n$ avant d'observer les résultats.
2. Deux issues par essai : nommez-les succès ou échec selon la question posée.
3. Des essais indépendants : connaître un résultat ne change pas la probabilité d'un autre.
4. Une probabilité de succès constante : le même $p$ s'applique à chaque essai.

Si les quatre conditions sont remplies, notons $X$ le nombre de succès. $X$ peut prendre n'importe quelle valeur entière de zéro à $n$. Le mot succès ne signifie pas que l'issue est souhaitable. Si vous comptez des pièces défectueuses, une pièce défectueuse peut être le succès mathématique, puisque c'est l'événement que vous avez choisi de compter.

Imaginons cinq questions indépendantes, pour chacune desquelles une réponse a une probabilité $p=0.4$ d'être correcte. Nous fixons le nombre de questions à cinq, appelons une bonne réponse un succès, supposons l'indépendance et gardons une chance de 0,4 à chaque fois. C'est une situation binomiale.

Construire la formule de probabilité

Pour obtenir exactement $k$ succès en $n$ essais, commencez par une seule disposition. Si le succès a pour probabilité $p$, l'échec a pour probabilité $1-p$. Grâce à l'indépendance, une disposition avec $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$.

Comptons maintenant les dispositions. Il existe $\binom{n}{k}$ façons de choisir les $k$ positions occupées par un succès. Chacune a la même probabilité, d'où :

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Par exemple, trois succès en cinq essais peuvent se disposer de $\binom{5}{3}=10$ façons. Il n'est pas nécessaire de les énumérer. Si ce coefficient de dénombrement vous semble nouveau, notre guide sur les permutations et combinaisons explique pourquoi choisir des positions est une combinaison et non un problème d'ordre.

Pour un rapide contrôle d'ordre de grandeur, le nombre moyen de succès vaut $np$ et la variance vaut $np(1-p)$ dans ce modèle, comme l'indique OpenStax. Ces valeurs résument la distribution entière; elles ne remplacent pas la probabilité d'un nombre particulier de succès. Notre guide consacré à la variance et à l'écart-type explique leur différence.

Exemple 1 : exactement trois succès

Reprenons cinq questions indépendantes, avec $p=0.4$ pour une bonne réponse à chacune. Cherchons la probabilité d'en réussir exactement trois. Le nombre d'essais est $n=5$ et le nombre demandé est $k=3$. Remplacez les variables avant d'utiliser la calculatrice :

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

La probabilité est donc de $23.04\%$. Le facteur $10$ compte les positions possibles des trois bonnes réponses. Sans lui, $0.02304$ serait seulement la probabilité d'une suite particulière, par exemple juste, juste, faux, juste, faux. C'est le facteur qu'on oublie le plus souvent dans un calcul portant sur un nombre exact de succès.

Les exposants servent aussi à contrôler la mise en équation : trois succès et deux échecs font cinq essais. Si leur somme n'est pas $n$, arrêtez-vous avant le calcul. Une bonne habitude consiste à conserver la valeur décimale exacte $0.2304$ pendant les étapes suivantes et à n'arrondir qu'au moment d'énoncer la réponse.

Exemple 2 : au moins un succès

Supposons quatre tentatives indépendantes, chacune avec une probabilité de succès de $0.3$. Cherchons la probabilité d'au moins un succès. Cela comprend un, deux, trois et quatre succès. On pourrait additionner quatre termes binomiaux, mais le complément est plus court : zéro succès.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

La réponse est $75.99\%$. Dites le complément en toutes lettres avant de le choisir : « au moins un » échoue seulement lorsqu'il n'y en a aucun. Le complément de « au moins deux », lui, comprend zéro et un succès. Retrancher uniquement $P(X=0)$ dans ce second cas donnerait une réponse erronée.

Notez que $P(X=0)=(1-p)^n$. Le coefficient de combinaison vaut un, car il n'existe qu'une seule disposition sans succès. Ce raccourci fonctionne parce que les essais ont la même probabilité et sont indépendants.

Exemple 3 : au plus deux succès

Imaginons maintenant six essais indépendants, chacun avec une probabilité de succès $p=0.25$. « Au plus deux » signifie zéro, un ou deux succès. Additionnez précisément ces trois cas incompatibles :

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

Cela représente environ $83.06\%$. L'addition directe comporte ici trois termes. Le complément $1-P(X\geq3)$ en demanderait quatre; il est donc moins pratique. Pour un seuil plus grand, comparez le nombre de termes de chaque côté et calculez le côté le plus court. La fonction binomiale cumulée d'une calculatrice peut aider, mais vous devez toujours saisir la bonne inégalité. $P(X\leq2)$ comprend deux, contrairement à $P(X<2)$.

Si vous arrondissez trop tôt les décimales intermédiaires, la somme peut changer de quelques unités au dernier chiffre. Gardez la précision complète pendant l'addition, puis arrondissez la probabilité finale à la précision demandée. La réponse doit rester entre zéro et un.

Une situation qui n'est pas binomiale

Vous tirez trois cartes d'un jeu standard sans remise et comptez les as. Le nombre de tirages est fixe, et chaque carte peut être classée comme as ou non-as. Mais le jeu change après le premier tirage. Si vous avez tiré un as, la probabilité que la carte suivante soit un as est $3/51$; sinon, elle est $4/51$. La probabilité de succès n'est plus constante et les tirages sont dépendants. La formule binomiale avec $n=3$ et $p=4/52$ n'est donc pas un modèle exact.

Remettre chaque carte dans le jeu et mélanger avant le tirage suivant rétablirait, dans cet exemple simplifié, la probabilité constante et l'indépendance. Cette distinction compte davantage que la mémorisation d'une formule : déterminez d'abord ce qui est tiré et si un essai modifie le suivant.

Trois questions, puis leurs solutions

1. Exactement deux. Un jeu comporte cinq manches indépendantes et une probabilité de gagner de $0.2$ à chaque manche. Quelle est la probabilité de gagner exactement deux fois ?

Solution : $n=5$, $k=2$ et $p=0.2$. Il y a $\binom{5}{2}=10$ dispositions possibles de deux victoires. Ainsi :

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

La chance est de $20.48\%$. En ne comptant qu'une disposition, on aurait obtenu $0.02048$, soit un dixième de la bonne réponse.

2. Au moins deux. Quatre tentatives indépendantes ont chacune une probabilité de succès de $0.5$. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux succès ?

Solution : « Au moins deux » exclut zéro et un succès. Avec $p=0.5$, le complément se calcule facilement :

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

La réponse est $68.75\%$. Ne retrancher que zéro succès reviendrait à répondre à « au moins un ».

3. Au plus un. Trois contrôles indépendants donnent chacun un résultat positif avec une probabilité de $0.1$. Quelle est la probabilité d'obtenir au plus un résultat positif ?

Solution : Incluez zéro et un résultat positif, puis additionnez :

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

La réponse est $97.2\%$.

Pour continuer à travailler les bases, essayez les exercices de probabilité de Math Zen. La meilleure première étape de chaque problème reste la vérification des quatre conditions.