Permutations et combinaisons : pourquoi l’ordre change le nombre

Cinq personnes se portent volontaires pour un projet. Vous devez désigner un responsable et un adjoint. Le responsable peut être choisi de cinq façons, puis l’adjoint de quatre façons. Il existe vingt affectations.

Modifiez maintenant une phrase : vous avez besoin d’un comité de deux personnes, sans rôles distincts. Les mêmes cinq personnes forment dix comités. Rien n’a changé chez les personnes. C’est la définition d’un résultat qui a changé.

Les permutations et les combinaisons sont deux façons de compter les résultats sans énumérer toutes les possibilités. Les formules deviennent logiques dès que vous décidez quelles informations le résultat conserve. Cet article construit d’abord cette décision, puis en déduit la notation.

Commencez par les positions, pas par une formule

Imaginez deux cases vides intitulées responsable et adjoint. La première peut accueillir cinq personnes. Une fois remplie, il reste quatre personnes pour la seconde. Chaque premier choix offre quatre suites possibles, d’où :

$$5 \times 4 = 20$$

C’est le principe multiplicatif. Si chaque option d’une étape offre le même nombre de suites possibles, multipliez les nombres de choix des étapes. Vous pouvez imaginer un arbre à cinq branches, chacune se divisant en quatre autres.

Les intitulés comptent. Alex responsable et Bea adjointe est différent de Bea responsable et Alex adjoint. Ce sont les mêmes personnes à des positions différentes. Il s’agit d’une sélection ordonnée, appelée permutation.

Un comité ne comporte aucune position nommée. Écrire Alex, Bea ou Bea, Alex décrit le même groupe. Si vous utilisez le compte de vingt affectations pour les comités, vous avez compté chaque groupe deux fois.

Le test de l’échange révèle si l’ordre compte

Demandez-vous : si j’intervertis deux éléments sélectionnés, est-ce que j’obtiens un résultat différent ?

Pour le podium d’une course, oui. L’or et l’argent sont des résultats différents. Pour un ensemble de garnitures de pizza, généralement non. Champignons et olives est la même sélection qu’olives et champignons.

La question porte sur le modèle, pas sur le nom. Un exercice peut vous demander de choisir trois livres à acheter, sans tenir compte de l’ordre, ou de ranger trois livres sur une étagère, en enregistrant leur ordre. Le mot « livres » ne vous dit pas quelle formule appliquer.

Écrivez un exemple de résultat avant de calculer. « Alex responsable, Bea adjointe » contient des rôles. « Le groupe composé d’Alex et Bea » n’en contient pas. Cette petite étape évite plus d’erreurs que la mémorisation d’une longue fiche de formules.

Situation	Ce que le résultat conserve	Modèle
Attribuer l’or, l’argent et le bronze	Personne à chaque place	Ordonné, sans répétition
Sélectionner trois membres d’un comité	Appartenance uniquement	Non ordonné, sans répétition
Créer un code à quatre chiffres	Chiffre à chaque position	Ordonné, répétition éventuellement autorisée
Choisir plusieurs boules de glace	Quantités de chaque parfum	Non ordonné, répétition éventuellement autorisée

Pour les deux dernières lignes, il faut aussi examiner la répétition. Ne décidez pas à partir du seul ordre.

Les factorielles comptent les arrangements complets

Alignez quatre livres distincts. Il y a quatre choix pour la première place, trois pour la deuxième, deux pour la troisième et un pour la dernière :

$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Le point d’exclamation désigne la factorielle. Il abrège le produit décroissant. Pour un entier non négatif $n$, la factorielle compte les arrangements des $n$ éléments distincts.

Pourquoi $0! = 1$ ? Il existe un arrangement vide. Vous ne faites rien, et l’arrangement vide est complet. Cette valeur maintient également la cohérence de $1! = 1 \times 0!$.

Ne confondez pas une factorielle avec une addition répétée ou une puissance. Quatre factorielle vaut vingt-quatre ; quatre puissance quatre vaut deux cent cinquante-six. Pour une factorielle, les choix diminuent puisqu’un élément ne peut pas être réutilisé. Pour une puissance, leur nombre reste constant.

Les permutations arrêtent le produit plus tôt

Supposons qu’une course réunisse sept personnes et que vous vouliez seulement connaître les trois premières, sans ex æquo. Vous avez sept choix pour la première place, six pour la deuxième et cinq pour la troisième :

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

Le classement des quatre autres ne vous intéresse pas. Continuer à multiplier jusqu’à un répondrait à une autre question.

Pour $r$ positions ordonnées remplies à partir de $n$ éléments distincts sans répétition :

$$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Le dénominateur annule la fin inutilisée de la factorielle. Dans l’exemple de la course, diviser sept factorielle par quatre factorielle laisse exactement sept fois six fois cinq.

Cette formule suppose $0 \le r \le n$ et des éléments disponibles distincts. Si l’exercice modifie ces hypothèses, revenez aux cases plutôt que de forcer les nombres dans l’expression.

Les combinaisons éliminent les arrangements en double

Choisissez trois personnes parmi sept pour un comité. Le dénombrement ordonné vaut 210, mais il traite les différents arrangements du même trio comme des réponses différentes.

Prenons le trio Alex, Bea et Chen. Ses membres peuvent être énumérés dans six ordres : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA. Chaque trio apparaît exactement six fois dans le dénombrement ordonné, car $3! = 6$.

Divisez par le nombre d’arrangements en double :

$$\binom{7}{3} = \frac{210}{6} = 35$$

En général :

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Cette expression se lit « r parmi n ». La première division retire les éléments inutilisés du nombre d’arrangements ; la seconde retire les ordres que vous ne distinguez plus.

Une symétrie utile apparaît ici : $\binom{7}{3} = \binom{7}{4}$. Choisir les trois personnes qui participent détermine aussi les quatre qui ne participent pas. Les deux descriptions correspondent au même ensemble de décisions.

La répétition modifie encore la question

Un code à quatre chiffres peut utiliser n’importe quel chiffre de zéro à neuf à chaque position, y compris au début. Les répétitions sont autorisées. Chaque case offre dix choix :

$$10^4 = 10000$$

Si aucun chiffre ne peut se répéter, le nombre devient :

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

Si l’énoncé parle d’un « nombre à quatre chiffres » plutôt que d’un « code », un zéro initial est normalement exclu. Avec répétition autorisée, on obtient :

$$9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$$

Trois phrases très proches, trois nombres différents. La formule n’est pas devenue peu fiable. Ce sont les contraintes qui ont changé.

Une sélection non ordonnée avec répétition, comme le choix de boules de glace dont les parfums peuvent se répéter, exige une autre méthode de dénombrement. Les combinaisons ordinaires supposent que chaque élément disponible est sélectionné au plus une fois. Reconnaître qu’une formule familière ne s’applique pas est une bonne première étape.

Parcourez la décision dans cet ordre

Avant de calculer, écrivez à quoi ressemble un résultat complet. Demandez-vous ensuite si l’ordre ou les rôles distinguent les résultats, si un élément peut se répéter et si une contrainte particulière s’applique à une position.

Essayez ces trois problèmes sans regarder tout de suite les réponses :

1. Parmi six personnes, choisissez une présidence et un secrétariat, sans qu’une personne occupe les deux rôles.
2. Parmi les six mêmes personnes, choisissez deux représentants de même statut.
3. Créez un code de trois caractères avec quatre symboles, en autorisant la répétition.

Le premier problème comporte $6 \times 5 = 30$ affectations. Pour le deuxième, divisez ce nombre par $2!$, ce qui donne quinze paires. Le troisième comporte $4^3 = 64$ codes, car les quatre symboles restent disponibles à chaque position.

L’explication compte davantage que le nombre. Si vous savez expliquer pourquoi une réponse est divisée par deux et une autre non, vous avez compris la distinction.

Le dénombrement est le fondement des probabilités

Lorsque des résultats équiprobables sont correctement comptés, vous pouvez calculer des probabilités en comparant les cas favorables à tous les cas possibles. Notre guide intuitif des probabilités franchit cette étape. Le paradoxe des anniversaires montre comment un dénombrement bien choisi rend un résultat surprenant abordable.

Pour l’instant, gardez une méthode simple : définissez un résultat, dessinez les positions s’il y en a et expliquez chaque facteur. Utilisez les exercices de probabilités de Math Zen pour l’application suivante et revenez à un petit exemple dès que la notation commence à cacher le raisonnement.

Une permutation conserve l’arrangement. Une combinaison conserve l’appartenance. Diviser par une factorielle revient simplement à oublier l’arrangement sans recompter le même groupe.