Entender la transformada de Fourier de forma intuitiva (De señales a frecuencias)

Pulsa tres teclas de un piano a la vez y del instrumento sale una única onda de presión enredada. Llega a tu tímpano como una sola línea ondulante, no como tres. Y sin embargo tu oído interno separa esa línea de vuelta en sus tres notas sin ningún esfuerzo, y un músico entrenado puede nombrar el acorde. En algún punto entre el aire y tu percepción, una señal mezclada quedó separada en sus frecuencias puras.

Esa separación tiene nombre. La transformada de Fourier es la máquina matemática que toma cualquier señal, un sonido, una fila de una imagen, la cotización de una acción, la vibración de un puente, y la reescribe como una lista de las frecuencias puras que contiene. Es la razón por la que tu teléfono puede comprimir audio, la razón por la que las máquinas de resonancia magnética producen imágenes, y la razón por la que un ingeniero puede mirar un motor que traquetea y decir "esa es la componente de 400 hercios".

La mayoría de los estudiantes conoce la transformada de Fourier como una fórmula que hay que memorizar: una integral con una exponencial compleja dentro y sin ninguna razón evidente para nada de ello. Esta guía construye la imagen desde cero. Hace poco tratamos la estrechamente relacionada transformada de Laplace, y al final verás que ambas son la misma máquina con el dial en una posición distinta.

Dos descripciones de la misma cosa

Piensa en la receta de un pastel. Puedes describir el pastel terminado enumerando lo que observarías en cada punto de su interior, capa por capa, miga por miga. O puedes describirlo enumerando los ingredientes: 200 gramos de harina, 3 huevos, 100 gramos de azúcar. Ambas descripciones contienen el mismo pastel. Una describe dónde están las cosas; la otra describe de qué está hecho.

Una señal admite esas mismas dos descripciones:

• El dominio del tiempo enumera el valor de la señal en cada instante: la presión en tu tímpano a los 0,001 segundos, a los 0,002 segundos, y así sucesivamente. Así es como llegan las señales en el mundo real.
• El dominio de la frecuencia enumera los ingredientes: cuánto hay de una onda senoidal de 440 hercios, cuánto de 523 hercios, cuánto de cada frecuencia posible. Esto es lo que produce la transformada de Fourier.

La idea de Fourier, publicada por primera vez en 1822 mientras estudiaba el flujo del calor, fue que estas listas de ingredientes son completas. Cualquier señal razonable, por dentada que sea, puede reconstruirse exactamente a partir de una suma de ondas senoidales suaves. No hay un tercer ingrediente escondido en alguna parte. Con los senos basta.

Por qué las ondas senoidales son el alfabeto

¿Por qué senos y no cuadrados, triángulos o cualquier otra forma? Porque las ondas senoidales son las únicas formas que sobreviven a las operaciones que le importan a la física.

Deriva una onda senoidal y obtienes un coseno, que es la misma onda desplazada un cuarto de ciclo. Deriva otra vez y obtienes un seno negativo: de nuevo la misma forma, escalada. Como exploramos en el artículo sobre trigonometría, una onda senoidal es un círculo visto de lado, y girar un círculo nunca lo convierte en otra cosa.

Introduce una onda senoidal en un resorte, un circuito o una sala de conciertos, y lo que sale es una onda senoidal de la misma frecuencia, quizá más fuerte o más débil y quizá retrasada, pero nunca de una forma distinta. Los ingenieros llaman a los sistemas con esta propiedad lineales e invariantes en el tiempo, y casi todo sistema físico lo es, al menos de forma aproximada.

Esta es toda la razón por la que el dominio de la frecuencia resulta útil. Si sabes qué le hace un sistema a cada frecuencia pura, y puedes separar cualquier entrada en frecuencias puras, sabes qué le hace el sistema a cualquier entrada. El problema difícil de "qué hace este puente cuando lo golpea un camión" se convierte en una lista de problemas fáciles: "qué hace este puente a 1 hercio, a 2 hercios, a 3 hercios".

La máquina de enrollar

Vamos ahora al mecanismo. Supón que tienes una señal y quieres saber cuánto se esconde dentro de una frecuencia concreta, digamos 3 ciclos por segundo. Este es un procedimiento físico que responde la pregunta.

Toma la gráfica de tu señal, que es una línea dibujada a lo largo de un eje temporal. Ahora enrolla esa línea alrededor de un círculo, a un ritmo de enrollado de 3 vueltas por segundo de tiempo de señal. Donde la señal es grande, la línea enrollada queda lejos del centro; donde la señal es pequeña, se pega al centro. Obtienes un garabato dibujado alrededor del origen.

Ahora halla el centro de masa de ese garabato.

Si la señal no contiene nada a 3 hercios, los máximos y mínimos de la señal caen en ángulos aleatorios alrededor del círculo. Se cancelan, y el centro de masa queda cerca del origen. Pero si la señal sí contiene una componente de 3 hercios, sus picos caen todos en el mismo lado del círculo, vuelta tras vuelta. Se acumulan, y el centro de masa se aleja del origen.

Repite esto para cada ritmo de enrollado posible, representa la distancia del centro de masa frente al ritmo de enrollado, y habrás dibujado la transformada de Fourier. Los picos de la gráfica son las frecuencias presentes en la señal. Esa es toda la idea. Todo lo demás es notación.

La fórmula, pieza a pieza

La máquina de enrollar, escrita en símbolos, es:

$$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

Cada pieza corresponde a un paso del procedimiento.

El enrollado. El factor $e^{-i\omega t}$ es el giro. Por la fórmula de Euler, $e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$, un punto que se mueve en sentido horario alrededor del círculo unitario con frecuencia angular ω. A medida que t avanza, ese punto gira. Ese giro es el enrollado, y ω es el ritmo de enrollado.

El envoltorio. El producto $f(t)\, e^{-i\omega t}$ es el garabato. Multiplicar el punto giratorio de longitud unitaria por el valor de la señal f(t) lo estira hacia fuera o lo tira hacia dentro. Los valores grandes de la señal empujan el punto lejos del centro; los pequeños lo atraen. El producto traza exactamente el garabato de la sección anterior.

El centro de masa es la integral. Sumar la posición del garabato en cada instante, desde el principio del tiempo hasta el final, y tratar el resultado como un único número complejo, da un punto cuya distancia al origen mide con qué intensidad resuena la señal en ω. En rigor esto es el total y no el promedio, así que escala con la duración de la señal, pero la forma del espectro es la misma.

El resultado $\hat{f}(\omega)$ es un número complejo para cada ω, y ambas partes importan. Su magnitud es la amplitud de esa frecuencia: cuánto hay de ese ingrediente en la receta. Su ángulo es la fase: en qué momento del ciclo empieza ese ingrediente. Dos señales pueden compartir las mismas amplitudes en todas las frecuencias y sonar completamente distintas porque sus fases difieren.

Por qué la exponencial y no un seno

Los estudiantes suelen preguntar por qué el núcleo es una exponencial compleja y no simplemente una onda senoidal. Al fin y al cabo, podrías multiplicar tu señal por $\sin(\omega t)$ e integrar.

El problema es la fase. Si tu señal contiene un coseno de frecuencia ω y la pruebas contra un seno de la misma frecuencia, el producto promedia cero, porque el seno y el coseno están separados un cuarto de ciclo. Concluirías que la frecuencia está ausente cuando está plenamente presente. Para captar todas las fases necesitarías dos pruebas, una contra el seno y otra contra el coseno, y luego combinar los resultados.

La exponencial compleja hace ambas pruebas a la vez. Su parte real es la prueba del coseno y su parte imaginaria es la prueba del seno, empaquetadas en un único objeto giratorio. Sea cual sea la fase con la que llegue la frecuencia, alguna parte de la rotación se alinea con ella. La magnitud del número complejo resultante es lo que obtendrías combinando el método de las dos pruebas, y el ángulo te da la fase gratis. En el artículo sobre números imaginarios describimos i como una rotación; aquí esa rotación hace un trabajo de ingeniería de verdad.

Las frecuencias negativas no son un error

La integral recorre todos los ω, incluidos los valores negativos, y la transformada de una señal real siempre muestra una imagen especular en el lado negativo. Esto desconcierta a mucha gente. ¿Qué se supone que significa físicamente una frecuencia negativa?

Mira otra vez la fórmula de Euler. Un coseno real es el promedio de dos rotaciones:

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}$$

El primer término gira en sentido antihorario a ritmo ω; el segundo gira en sentido horario al mismo ritmo. La rotación horaria a ω es lo que la transformada registra como frecuencia menos ω. Una señal de valores reales no puede distinguir las dos direcciones, así que siempre contiene ambas en igual medida, y el espectro es simétrico.

La mitad negativa no aporta información nueva para señales reales, y en la práctica los ingenieros a menudo representan solo el lado positivo. Pero conservar ambas mitades hace que las fórmulas sean simétricas y permite que la misma transformada maneje señales de valores complejos, como las de la radio y la resonancia magnética, donde las dos direcciones de rotación sí difieren.

El viaje de regreso

Convertir una receta de nuevo en un pastel es la transformada inversa de Fourier:

$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

Léela como una instrucción: para cada frecuencia ω, toma la cantidad $\hat{f}(\omega)$ de ese ingrediente, hazla girar en sentido antihorario a ese ritmo, y súmalo todo. El signo del exponente ha pasado de menos a más porque ahora estás desenrollando en lugar de enrollando. El factor 2π es contabilidad, corrige el hecho de que una vuelta completa son 2π radianes; algunos libros lo reparten de forma simétrica como $1/\sqrt{2\pi}$ en ambas transformadas, y otros lo esconden por completo midiendo la frecuencia en hercios en lugar de radianes por segundo. La física no cambia, solo la constante.

El par de fórmulas es casi perfectamente simétrico. Esa simetría es una pista profunda: el tiempo y la frecuencia son dos vistas de un mismo objeto, y ninguna es más fundamental que la otra.

Las derivadas vuelven a convertirse en multiplicaciones

La transformada de Laplace se ganó su sitio convirtiendo las derivadas en multiplicaciones por s. La transformada de Fourier hace el mismo truco con iω.

Deriva la fórmula de la transformada inversa respecto a t. El único lugar donde aparece t es dentro de $e^{i\omega t}$, y su derivada extrae un factor iω:

$$\frac{d}{dt} f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(i\omega\, \hat{f}(\omega)\bigr)\, e^{i\omega t}\, d\omega$$

Así que la transformada de Fourier de $f'(t)$ es simplemente $i\omega\, \hat{f}(\omega)$. Derivar en el tiempo multiplica cada componente de frecuencia por iω: las frecuencias altas se amplifican, las bajas se atenúan, y cada componente rota un cuarto de vuelta. Precisamente por eso derivar vuelve más ruidosas las señales ruidosas. El ruido vive en las frecuencias altas, y la derivada las multiplica por números grandes.

La misma lógica convierte una ecuación diferencial de coeficientes constantes en una ecuación algebraica en ω, que es como los físicos resuelven las ecuaciones de onda y del calor. Fourier inventó la herramienta exactamente con ese propósito.

Fourier y Laplace: una máquina, dos posiciones del dial

Pon las dos transformadas una al lado de la otra:

$$F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt, \qquad \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-i\omega t}\, dt$$

En el artículo sobre Laplace describimos s como un dial con dos mandos, $s = \sigma + i\omega$: σ para el decaimiento exponencial, ω para la oscilación. Pon el mando del decaimiento a cero, de modo que σ = 0 y s = iω, y el núcleo de Laplace $e^{-st}$ se convierte en el núcleo de Fourier $e^{-i\omega t}$. La transformada de Fourier es la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje imaginario del plano s.

La otra diferencia es el límite inferior. Laplace empieza en t = 0 porque está pensada para sistemas de causa y efecto con un momento de encendido y condiciones iniciales. Fourier recorre todo el tiempo porque está pensada para señales estables que siempre han estado ahí y siempre estarán: una nota sostenida, una onda portadora, un zumbido estacionario.

Cuál usar se deduce de la pregunta. Transitorios, interruptores y condiciones iniciales: Laplace. Espectros, filtros y oscilación estable: Fourier. El mando del decaimiento es lo que permite a Laplace manejar señales que crecen sin límite, que la integral de Fourier no puede absorber; la integral de dos lados es lo que permite a Fourier describir señales sin comienzo.

El compromiso del que no puedes escapar

Una última propiedad explica una cantidad sorprendente de física. Una señal estrecha en el tiempo es ancha en frecuencia, y una señal estrecha en frecuencia es ancha en el tiempo. No puedes tener ambas cosas.

Una onda senoidal pura tiene una única frecuencia, así que su espectro es un único pico. Pero una onda senoidal pura dura para siempre. Recórtala a un segundo y el espectro se ensancha alrededor de la frecuencia original; recórtala a un milisegundo y el espectro se ensancha mucho más. En el límite, un chasquido instantáneo contiene todas las frecuencias por igual, y por eso una palmada suena como ruido blanco mientras que un diapasón suena como un tono.

La imagen del enrollado lo hace evidente. Una ráfaga corta de señal se enrolla alrededor del círculo solo unas pocas veces a cualquier ritmo de enrollado, así que el centro de masa nunca tiene ocasión de cancelarse limpiamente. Muchos ritmos de enrollado cercanos dan todos un resultado parecido y moderado. Una señal larga se enrolla miles de veces, y solo el ritmo que coincide exactamente sobrevive a la cancelación.

En mecánica cuántica, la posición y el momento son pares de Fourier, y este mismo compromiso es el principio de incertidumbre de Heisenberg. No es una limitación de la medición. Es una propiedad de las ondas.

De dónde provienen los errores

Los estudiantes que trabajan con transformadas de Fourier tropiezan en tres puntos predecibles.

El primero es descartar la fase. Como lo que se representa es el espectro de amplitud, los estudiantes empiezan a pensar en la transformada como una lista de amplitudes y nada más. Entonces una transformada inversa sale mal porque se desecharon los ángulos de $\hat{f}(\omega)$. La transformada es una lista de números complejos, y la mitad de cada número es su ángulo.

El segundo es la confusión de signos y constantes. Distintos libros de texto colocan el 2π en sitios distintos y eligen signos distintos en el exponente, y todos son correctos mientras la directa y la inversa concuerden. Elige un convenio, escribe ambas fórmulas al principio de la página, y comprueba que transformar y luego invertir una función sencilla la devuelve sin cambios.

El tercero es esperar que una señal finita tenga un espectro limpio. Las mediciones reales son finitas, así que sus espectros siempre muestran el ensanchamiento de la sección anterior, más las ondulaciones del corte abrupto en los bordes. Eso no es un error del cálculo. Es el compromiso haciéndose valer, y las funciones ventana existen para gestionarlo.

Dónde encaja Math Zen

La transformada de Fourier se construye sobre tres destrezas que deben ser automáticas antes de que la intuición pueda llevarte lejos: identidades trigonométricas, exponenciales complejas e integrales de productos.

Si convertir entre $\cos(\omega t)$ y las exponenciales complejas exige un esfuerzo consciente, o si integrar $e^{-at} e^{-i\omega t}$ a mano te resulta inseguro, la transformada siempre parecerá una caja negra. Math Zen entrena esas piezas en sesiones breves y diarias:

• Trigonometría: Fluidez con las identidades de suma y de ángulo doble y con la imagen del círculo que hay detrás, en el módulo de práctica de trigonometría.
• Números complejos: Forma polar, fórmula de Euler y rotar multiplicando, en el módulo de práctica de números complejos.
• Transformadas: La misma mecánica de integral con núcleo, incluidas las transformadas de derivadas, en el módulo de práctica de transformadas de Laplace.

Cuando eso se vuelve reflejo, la transformada de Fourier deja de ser una fórmula y pasa a ser lo que es: una máquina de enrollar que lee la receta de una señal.

La conclusión

La transformada de Fourier reescribe una señal desde "cuál es el valor en cada instante" hasta "cuánto hay de cada frecuencia". Funciona porque las ondas senoidales son las formas que los sistemas físicos dejan intactas, así que conocer el contenido de frecuencias de una señal te dice cómo responderá cualquier sistema lineal ante ella.

La fórmula es una máquina de enrollar: $e^{-i\omega t}$ envuelve la señal alrededor de un círculo a ritmo ω, la integral halla el centro de masa, y un centro de masa lejos del origen significa que esa frecuencia está presente. La exponencial compleja capta todas las fases a la vez, las frecuencias negativas son la imagen especular que lleva toda señal real, y la transformada inversa desenrolla girando en sentido contrario.

Pon a cero el mando del decaimiento de la transformada de Laplace y tienes la transformada de Fourier. Usa Laplace para interruptores y transitorios, Fourier para espectros y señales estables, y recuerda que uses la que uses, una señal corta en el tiempo siempre es ancha en frecuencia.