Entender los valores propios de forma intuitiva (Las direcciones que una matriz deja intactas)

Pon una lámina de goma sobre una mesa, dibuja en ella cien flechas cortas apuntando en todas las direcciones y tira de la lámina para que se estire hacia los lados el doble de lo que se estira hacia arriba. Observa las flechas. Casi todas se inclinan hacia la horizontal a medida que la lámina se deforma. Dos de ellas no se mueven en absoluto. La flecha que ya era horizontal sigue horizontal y se vuelve dos veces más larga. La flecha que era vertical sigue vertical y conserva su longitud.

Esas dos flechas son los vectores propios del estiramiento, y los números 2 y 1 son sus valores propios. Todo lo que hay en este tema, la fórmula con el determinante, el polinomio característico, la diagonalización, los números complejos que aparecen cuando una matriz rota, es una manera de encontrar esas flechas especiales para una máquina que no puedes ver a simple vista.

Si aún no has leído Entender las matrices de forma intuitiva, esta es la continuación. Aquel artículo montó la imagen de una matriz como una máquina que recibe un trayecto y devuelve otro trayecto. Este le hace a la máquina una única pregunta: ¿qué trayectos dejas intactos?

Una matriz es una máquina, y casi todas las flechas acaban giradas

Una matriz $A$ toma un vector $\vec{v}$ y produce un vector nuevo $A\vec{v}$. Para casi cualquier entrada, la salida apunta a otro sitio. Una cizalla inclina las flechas. Una rotación gira todas las flechas el mismo ángulo. Un estiramiento más fuerte en una dirección que en otra arrastra las flechas hacia la dirección del tirón más fuerte.

Piensa en la matriz como un túnel de viento. Entran flechas, el viento las golpea y salen dobladas. La pregunta interesante no es qué le pasa a una flecha cualquiera. Es si existe alguna flecha que el viento no pueda doblar, una flecha que salga apuntando exactamente igual que entró, solo que más larga o más corta.

Las flechas que se niegan a girar

Un vector propio de $A$ es un vector no nulo $\vec{v}$ que la máquina mantiene sobre su propia recta:

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

La letra griega lambda, $\lambda$, es el valor propio: el factor por el que se escaló la flecha. La ecuación dice que la máquina actuando sobre esta flecha concreta es indistinguible de una simple multiplicación por un número. A lo largo de un vector propio, la matriz deja de ser una matriz y se convierte en un escalar.

El valor propio lleva mucha información en un solo número:

• $\lambda > 1$ significa que la máquina alarga esa dirección.
• $0 < \lambda < 1$ significa que la acorta.
• $\lambda = 1$ significa que deja esa dirección completamente intacta.
• $\lambda < 0$ significa que invierte la flecha para que apunte al lado contrario y luego la escala.
• $\lambda = 0$ significa que aplasta esa dirección hasta la nada. La máquina aplana el espacio a lo largo de esa recta.

Fíjate en lo que un vector propio no es. No es una única flecha, sino una dirección: si $\vec{v}$ es un vector propio, también lo es $3\vec{v}$, con el mismo valor propio. Y el vector cero queda excluido por definición, porque toda matriz manda el cero al cero, lo que convertiría a cualquier número en valor propio y dejaría la idea entera sin utilidad.

De dónde sale la fórmula

Los libros de texto te entregan $\det(A - \lambda I) = 0$ como si hubiera caído del cielo. Sale de la frase anterior.

Empieza con $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. El lado derecho es un número por un vector. Para pasarlo al otro lado del igual necesitas verlo en forma matricial, y $\lambda\vec{v}$ es lo mismo que $\lambda I\vec{v}$, donde $I$ es la matriz identidad, que no hace nada. Ahora resta:

$$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$$

Léelo como una afirmación sobre una máquina nueva, $A - \lambda I$. Toma una flecha no nula $\vec{v}$ y devuelve el vector cero. Una máquina que manda una flecha de verdad a un punto ha aplanado al menos una dirección del espacio. En el artículo sobre matrices vimos que el determinante mide cuánta área sobrevive a una máquina, así que una máquina que aplana tiene determinante cero:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Esa es toda la deducción. Los valores propios son los valores de $\lambda$ que rompen la máquina $A - \lambda I$, y los vectores propios son las direcciones por las que se rompe. Desarrollar el determinante da un polinomio en $\lambda$, llamado polinomio característico, y sus raíces son los valores propios. Para una matriz $2 \times 2$ es una cuadrática; para una $n \times n$ tiene grado $n$, y por eso una matriz $n \times n$ tiene como mucho $n$ valores propios.

Un ejemplo resuelto, despacio

Toma la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Resta $\lambda$ a lo largo de la diagonal y calcula el determinante:

$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$$

Iguálalo a cero y factoriza: $(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$, así que los valores propios son $\lambda = 3$ y $\lambda = 1$.

Ahora halla la dirección de cada uno. Para $\lambda = 3$, resuelve $(A - 3I)\vec{v} = \vec{0}$:

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Ambas filas dicen $x = y$, así que el vector propio es cualquier múltiplo de $(1, 1)$. Compruébalo contra la máquina original: $A(1,1) = (3, 3) = 3 \cdot (1, 1)$. La flecha diagonal sale tres veces más larga, apuntando igual.

Para $\lambda = 1$ las filas dicen $x = -y$, así que el vector propio es cualquier múltiplo de $(1, -1)$, y en efecto $A(1,-1) = (1,-1)$. La flecha antidiagonal queda intacta.

Ahora puedes describir esta matriz en una frase, cosa que no podías hacer a partir de sus cuatro entradas: estira el espacio por un factor de 3 a lo largo de la diagonal y deja la antidiagonal en paz. Cualquier otra flecha del plano acaba arrastrada hacia la diagonal, porque la componente diagonal crece tres veces más rápido que la otra.

Qué te dicen los valores propios sobre la máquina

Del polinomio característico caen dos hechos que merece la pena guardar.

El producto de los valores propios es el determinante. En el ejemplo, $3 \times 1 = 3$, y el determinante de $A$ es $2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$. Tiene sentido: el determinante es el factor de escala de área de la máquina entera, y si la máquina estira por 3 en una dirección y por 1 en otra, el área se escala por 3.

La suma de los valores propios es la traza, la suma de las entradas diagonales. Aquí $3 + 1 = 4 = 2 + 2$. Ambos hechos son comprobaciones rápidas de que tu aritmética ha sobrevivido.

De forma más general, los valores propios son un espectro de la máquina. Los grandes son las direcciones que dominan después de aplicar la máquina muchas veces. Una máquina con valores propios $3$ y $1$, aplicada diez veces, estira su primer vector propio por $3^{10}$ y el segundo por $1$. Cualquier flecha de partida que tenga aunque sea un rastro de la primera dirección acaba alineada casi perfectamente con ella. Por eso los procesos repetidos se asientan en un vector propio: es la dirección que gana.

Los valores propios complejos significan rotación

Gira el plano 90 grados. Todas las flechas giran. Ninguna dirección queda intacta, así que no debería haber vectores propios, y la fórmula está de acuerdo. La matriz de rotación es

$$R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

y su polinomio característico es $\lambda^2 + 1 = 0$, que no tiene soluciones reales. Sus valores propios son $i$ y $-i$.

Esto no es un fallo del método. Es el método diciéndote algo verdadero: esta máquina rota, y la rotación no tiene ninguna dirección fija en el plano real. Un valor propio complejo es la firma de un giro. Una rotación general de ángulo $\theta$ tiene valores propios $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}$, los mismos números giratorios de la identidad de Euler, y una matriz con valores propios del tipo $0.9 e^{\pm i\theta}$ describe una espiral hacia dentro, rotando y encogiendo a la vez. Si los números complejos todavía te parecen un truco, Entender los números imaginarios de forma intuitiva construye la imagen de $i$ como un cuarto de vuelta, que es exactamente el papel que juega aquí.

Diagonalización: cambia de asiento y la máquina se vuelve una multiplicación

Supón que una matriz $n \times n$ tiene $n$ vectores propios que apuntan en direcciones genuinamente distintas. Entonces esos vectores propios pueden servir como un nuevo juego de ejes. Describe cada vector en función de cuánto contiene de cada vector propio, y la máquina se vuelve trivial: simplemente multiplica cada coordenada por el valor propio correspondiente.

Escrito del todo, si $P$ es la matriz cuyas columnas son los vectores propios y $D$ es la matriz diagonal de valores propios, entonces

$$A = P D P^{-1}$$

Léelo de derecha a izquierda. $P^{-1}$ traduce un vector a coordenadas de vectores propios, $D$ escala cada coordenada, y $P$ traduce de vuelta. La máquina no ha cambiado. Has encontrado los asientos desde los que parece una lista de números.

La recompensa son las potencias. Aplicar la máquina cien veces significa

$$A^{100} = P D^{100} P^{-1}$$

y $D^{100}$ es simplemente cada valor propio elevado a la centésima potencia. Un cálculo que exigiría cien multiplicaciones de matrices se convierte en un puñado de multiplicaciones escalares. Toda pregunta a largo plazo sobre una matriz, qué hace una población tras cincuenta generaciones, hacia dónde converge un paseo aleatorio, cómo se amortigua una vibración, es una pregunta sobre $D^n$.

Por qué todo el mundo va a la caza de vectores propios

En cuanto ves los vectores propios como las direcciones que ganan bajo repetición, las aplicaciones dejan de parecer una lista y empiezan a parecer una sola idea.

• PageRank. El ranking original de Google es el vector propio, con valor propio 1, de una matriz gigante que describe qué páginas enlazan a cuáles. Es la distribución de atención que se queda quieta cuando sigues los enlaces una vez más.
• Ecuaciones diferenciales. Un sistema $\dot{\vec{x}} = A\vec{x}$ tiene soluciones construidas a partir de $e^{\lambda t}$ a lo largo de cada vector propio. Los valores propios positivos crecen, los negativos decaen, los complejos oscilan. Los valores propios son las tasas del sistema. Las transformadas de Laplace son la misma caza de comportamiento exponencial, hecha con una integral en lugar de con un determinante.
• Vibraciones. Un puente, una cuerda de guitarra o una molécula tienen frecuencias naturales, y son los valores propios de su matriz de rigidez. Los vectores propios son las formas en las que vibran.
• Datos. El análisis de componentes principales encuentra los vectores propios de una matriz de covarianza. El vector propio con el valor propio más grande es la dirección a lo largo de la cual más varían los datos, que es el primer eje que elegirías para resumirlos.
• Mecánica cuántica. Las magnitudes observables son valores propios de operadores. Una medición devuelve uno de los valores propios, y los vectores propios son los estados en los que se asienta el sistema.

En cada caso el método es el mismo: encuentra las direcciones que la máquina deja intactas, y el comportamiento complicado se convierte en una multiplicación a lo largo de esas direcciones.

De dónde provienen los errores

Los fallos en este tema son constantes, y la mayoría vienen de perder la imagen.

Aceptar el vector cero. Resolver $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ siempre admite $\vec{v} = \vec{0}$. Eso no es un vector propio. Si tu única solución es el cero, has usado el $\lambda$ equivocado.

Esperar que una sola fila dé la respuesta. En el ejemplo resuelto, ambas filas de $(A - \lambda I)$ decían lo mismo, $x = y$. Esa redundancia no es un error; es el aplanamiento. Si ambas filas dan ecuaciones independientes con solo la solución cero, el valor propio está mal.

Suponer que siempre hay suficientes vectores propios. La matriz de cizalla con filas $(1, 1)$ y $(0, 1)$ tiene el único valor propio $1$, repetido, pero una sola dirección de vector propio. No se puede diagonalizar. Los valores propios repetidos son el punto en el que comprobar en lugar de suponer.

Confundir las dos palabras. Un valor propio es un número. Un vector propio es una dirección. Las preguntas que piden uno suelen necesitar el otro como paso intermedio, y responder con el tipo de objeto equivocado es la forma más común de perder el punto.

Errores de signo en el polinomio característico. Para una matriz $2 \times 2$ el polinomio es siempre $\lambda^2 - (\text{trace})\lambda + \det$. Escribirlo así, y comprobar que las raíces multiplicadas dan el determinante, atrapa casi todos los descuidos.

Normalizar cuando nadie lo ha pedido. Un vector propio es cualquier vector no nulo sobre su recta. Escalarlo a longitud 1 a veces se exige y a menudo es opcional; hazlo solo cuando el enunciado lo diga, y nunca pierdas la dirección al hacerlo.

Dónde encaja Math Zen

La imagen de una máquina que estira unas direcciones y gira otras merece una hora de contemplación. La mecánica, restar $\lambda$ a lo largo de la diagonal, desarrollar el determinante, factorizar, sustituir hacia atrás para obtener la dirección, merece treinta problemas, porque cada uno de los errores anteriores es un hábito que solo se rompe con repetición.

El tema de Matrices en Math Zen genera problemas nuevos de valores propios con la respuesta contrastada con tu trabajo, desde polinomios característicos $2 \times 2$ hasta vectores propios y las comprobaciones de la traza y el determinante, junto con los determinantes e inversas de los que dependen. La explicación que acompaña a cada problema muestra la imagen del aplanamiento, no solo el álgebra, para que la fórmula siga unida a la razón por la que funciona.

La conclusión

Una matriz gira casi todas las flechas. Un vector propio es una flecha que no gira, y el valor propio es cuánto la estira en su lugar. La fórmula $\det(A - \lambda I) = 0$ no es más que la observación de que $A - \lambda I$ tiene que aplanar el espacio a lo largo de un vector propio, y una máquina que aplana tiene determinante cero. Los valores propios complejos significan que la máquina rota, la diagonalización significa describir la máquina desde los asientos en los que parece una simple multiplicación, y los procesos repetidos acaban a lo largo del vector propio con el valor propio más grande, que es la razón por la que los buscadores, los puentes y las poblaciones se reducen todos al mismo cálculo.

Encuentra las direcciones que la máquina deja intactas, y la máquina deja de ser un misterio.