Integrales impropias: convergencia y ejemplos resueltos

Una integral puede tener una primitiva conocida y, aun así, no tener un valor finito. Falta comprobar un límite. Si el intervalo se prolonga hasta el infinito, o la función crece sin cota en un extremo o dentro del intervalo, no puedes sustituir directamente los límites escritos en la primitiva. Primero reemplaza el extremo problemático por una variable ordinaria. Después pregunta qué ocurre cuando esa variable se acerca al extremo.

Eso es una integral impropia. El nombre describe el planteamiento, no el resultado. Algunas integrales impropias convergen a un número finito; otras divergen. Esta guía coloca ejemplos por parejas para mostrar qué paso cambia el veredicto. Si todavía no conoces la notación habitual de la integral definida, empieza por la introducción a las integrales. La guía de límites explica la operación que decide todos los ejemplos siguientes.

Primero identifica qué hace impropia la integral

Hay dos casos frecuentes. Un intervalo infinito tiene un extremo como $+\infty$ o $-\infty$. Un integrando no acotado tiene un punto en el que la función crece sin límite, aunque los extremos escritos sean finitos. Ese punto puede estar en un extremo o dentro del intervalo.

OpenStax, Cálculo, volumen 2, §3.7 define ambos casos mediante límites. La distinción importa: tratar $\infty$ como si fuera un número o calcular de una vez a través de una singularidad interior puede producir una respuesta aparentemente razonable, pero falsa.

Un límite finito significa convergencia. Si el resultado crece sin cota o no se estabiliza en un valor finito, hay divergencia. La misma primitiva puede aparecer en ambos tipos de respuesta; hallarla es solo una parte del trabajo.

Un método de cuatro pasos

1. Localiza todos los extremos sospechosos. Incluye un extremo infinito, un denominador que se anula, un logaritmo que sale de su dominio u otro punto donde la función no esté acotada. Una singularidad interior exige dividir el intervalo antes de integrar.

2. Sustituye un extremo sospechoso por una variable finita. Escribe la integral propia resultante. Por ejemplo, sustituye $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ por $\int_1^R f(x)\,dx$ con un $R>1$ finito.

3. Evalúa la integral propia. Aquí ayuda una primitiva. Comprueba su dominio y los signos antes de sustituir los extremos finitos. Si no puedes integrar directamente, una comparación todavía puede decidir la convergencia.

4. Calcula el límite y declara el veredicto. No entregues solo la expresión para un $R$ o un $\varepsilon$ finito. Escribe el resultado al tomar el límite y di convergente o divergente. Si dividiste por una singularidad interior, hazlo de manera independiente a cada lado.

Este orden permite revisar la solución. Quien la lea podrá ver si elegiste el extremo correcto y si el último número es realmente un límite.

En el infinito: un área finita y otra infinita

Empecemos por un caso convergente:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

El intervalo no termina, pero el área añadida se hace lo bastante pequeña para que el total se acerque a 1. Cambia ahora solo la potencia del denominador:

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Esta integral diverge. Que $1/x$ tienda a cero no basta para que el área acumulada sea finita: decrece demasiado despacio. Compáralas: las dos funciones tienden a cero y tienen primitivas elementales, pero solo una da un límite finito para la integral.

En general, $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$ tiene la frontera en $p=1$. Converge si $p>1$ y diverge si $p\le1$. Ese atajo sale del cálculo del límite, incluido el caso logarítmico $p=1$. Si no tienes claro que el exponente o el intervalo cumplen las condiciones, vuelve al límite original.

En un extremo: la misma frontera desde el otro lado

Los extremos escritos pueden ser finitos y la integral seguir siendo impropia. En $x=0$, $x^{-1/2}$ no está acotada. Reemplaza el extremo inferior por $\varepsilon>0$:

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

La función crece sin límite en el extremo, pero la integral converge. Compara $1/x$ en el mismo intervalo:

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Esta diverge. No sustituyas cero en $\ln x$: $\ln0$ no está definido. El límite es la pregunta matemática real. La pareja en el extremo refleja la pareja en el infinito: la singularidad por sí sola no decide la convergencia, y una primitiva válida tampoco.

Dentro del intervalo: no canceles a través del hueco

El atajo más peligroso aparece cuando la singularidad queda entre dos extremos que parecen normales. Considera

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

La primitiva $\ln|x|$ tiene el mismo valor en $-1$ y $1$. Es tentador escribir cero. Pero ese paso cruza $x=0$, donde $1/x$ no está definida. El teorema fundamental no permite una sola resta a través de esa ruptura. Antes de asignar un valor al conjunto, examina cada lado por separado:

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{y}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Cada lado necesita su propio límite. A la izquierda, con $\varepsilon>0$, $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. A la derecha, $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Ninguno converge a un valor finito. Por eso la integral impropia original diverge.

Un corte simétrico da cero para todo $\varepsilon$ positivo, pero define otra construcción: el valor principal de Cauchy. Empareja dos lados divergentes y deja que se cancelen. No es el valor de la integral impropia ordinaria. La hoja de ejercicios de la Universidad de Carolina del Sur exige comprobar ambos lados en una singularidad interior.

Si la primitiva es difícil, compara

No todas las integrales impropias tienen una primitiva que convenga calcular. Para un integrando no negativo, puedes comparar su tamaño con el de otro cuyo comportamiento conozcas. Por ejemplo, para $x\ge1$,

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Como $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ converge, la integral no negativa y menor $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$ también converge. Esto prueba la convergencia sin hallar su valor exacto. El teorema de comparación de OpenStax, §3.7 detalla las condiciones. Importa el sentido de la desigualdad: estar por debajo de una función cuya integral diverge no dice nada por sí solo; estar por debajo de una cuya integral converge sí permite concluir convergencia si ambas son no negativas.

Revisa la respuesta antes de entregarla

Antes de dar por terminada la solución, señala el extremo sospechoso y examina la última línea. Una primitiva sola, una sustitución directa de $\infty$ o un $\ln0$ indefinido dejan la solución incompleta. En una singularidad interior hacen falta dos respuestas laterales finitas. Una cancelación simétrica no las sustituye.

Prueba dos comprobaciones rápidas. ¿Converge $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$? El mismo cálculo da $1/2$. ¿Converge $\int_0^1x^{-2}\,dx$? Su límite en el extremo crece sin cota, así que diverge. Son extremos y veredictos diferentes aunque aparece la misma potencia. Si alguno sorprende, escribe la versión con extremo finito y deja que el límite explique el resultado.

La guía de límites de Math Zen ayuda con el último paso. La guía de L'Hôpital presenta una herramienta para ciertas formas de límite, pero no reemplaza la identificación ni la separación de los extremos impropios. Una vez localizados todos los puntos problemáticos y escritos los límites laterales correctos, el cálculo vuelve a ser cálculo ordinario.