Números complejos en forma polar: convertir, multiplicar y dividir

El número $3+3i$ da una ubicación: tres unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba. También da un rumbo y una distancia: al noreste, a una distancia de $3\sqrt{2}$ de cero. La forma rectangular y la forma polar describen exactamente el mismo número. Cada una facilita cálculos distintos.

La forma rectangular es conveniente para sumar. La forma polar hace que la multiplicación parezca dos acciones corrientes: estirar y girar. Por eso una potencia que parece complicada puede convertirse en un cálculo corto en cuanto cambias la descripción.

Si la unidad imaginaria aún no te resulta familiar, empieza por nuestra explicación de los números imaginarios. Aquí nos centramos en el siguiente paso práctico: convertir, calcular y comprobar la respuesta.

El módulo y el argumento describen una flecha

Dibuja una flecha desde el origen hasta $z=a+bi$. Su componente horizontal es $a$ y su componente vertical es $b$. La longitud de la flecha, llamada módulo, se obtiene del triángulo rectángulo:

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

El argumento es un ángulo $\theta$ medido en sentido antihorario desde el semieje real positivo. Los giros positivos van en sentido antihorario y los negativos, en sentido horario. Un giro completo te devuelve a la misma flecha, así que el argumento no es único.

Las componentes horizontal y vertical de una flecha de longitud $r$ son $r\cos\theta$ y $r\sin\theta$. Al sustituir esas componentes obtenemos la forma polar:

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Algunos libros la escriben como $r\operatorname{cis}\theta$. La abreviatura significa exactamente la expresión entre paréntesis. Es una escritura más corta, no una operación nueva.

Esto utiliza la geometría de las coordenadas polares, pero aquí el objetivo es operar con números complejos, no representar curvas polares.

Convertir un número sin perder su cuadrante

Considera $z=-3+3i$. Empieza por el módulo:

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

La parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, así que la flecha apunta al cuadrante II. El ángulo de referencia es $\pi/4$ porque las distancias horizontal y vertical tienen la misma magnitud. Por tanto, el argumento que necesitamos es $3\pi/4$, o 135 grados:

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

¿Por qué no introducir simplemente $\arctan(b/a)$? Aquí la razón es -1, y un cálculo ordinario con la arcotangente devuelve $-\pi/4$. Ese ángulo apunta al cuadrante IV, en la dirección opuesta. Una razón por sí sola pierde los signos que identifican el cuadrante.

Sigue siempre este orden:

1. Calcula el módulo.
2. Marca en un dibujo los signos de las partes real e imaginaria.
3. Calcula un ángulo de referencia y sitúalo en ese cuadrante.
4. Sustituye los valores para comprobar ambas componentes.

Una función de calculadora o programación llamada $\operatorname{atan2}(b,a)$ se ocupa del cuadrante y de los casos situados sobre los ejes. Comprueba el orden de sus argumentos y si la salida está en radianes. Si utilizas en su lugar una arcotangente de una sola entrada, el dibujo sigue siendo necesario.

Volver a convertir para comprobar

Pasar de la forma polar a la rectangular significa evaluar las dos componentes por separado. Para el ejemplo anterior:

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

El resultado es $-3+3i$, como tenía que ser. Esto detecta de inmediato un error de cuadrante: el ángulo equivocado produciría signos incorrectos aunque el módulo fuese correcto.

En ángulos sin valores exactos sencillos, no redondees el argumento hasta el último paso. Redondear antes introduce un error innecesario al volver a convertir el número en sus componentes.

Multiplicar estira y gira

Supongamos que un número tiene módulo $r_1$ y argumento $\theta_1$, y otro tiene módulo $r_2$ y argumento $\theta_2$. Al multiplicar, se multiplican las longitudes y se suman los giros:

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Toma dos números de módulo 2 y argumentos $\pi/6$ y $\pi/3$. El producto tiene módulo 4 y argumento $\pi/2$:

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Puedes comprobarlo de forma independiente en forma rectangular. Los dos números iniciales son $\sqrt{3}+i$ y $1+\sqrt{3}i$:

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

Las partes reales se anulan porque $i^2=-1$. Ambas descripciones conducen a la misma respuesta, pero el cálculo polar muestra el giro de un ángulo recto antes de desarrollar nada.

Dividir invierte el estiramiento y el giro

Para dividir por un número complejo distinto de cero, divide los módulos y resta los argumentos:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Por ejemplo, divide un número de módulo 6 y argumento $5\pi/6$ por otro de módulo 2 y argumento $\pi/3$. El resultado tiene módulo 3 y argumento $\pi/2$, así que el cociente es $3i$.

El denominador debe tener un módulo distinto de cero. La notación polar no hace válida la división por cero. Mantén también la resta en el orden correcto: dividir el segundo número por el primero invertiría tanto el factor de escala como la diferencia angular.

Las potencias repiten la misma operación

Elevar un número complejo a una potencia entera positiva significa repetir la misma multiplicación. El módulo se eleva a esa potencia y el argumento se multiplica por ella:

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

Esta es la fórmula de De Moivre. Para $z=\sqrt{3}+i$, el módulo es 2 y un argumento es $\pi/6$. Al elevar al cubo obtenemos:

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Tres giros de 30 grados forman un giro de 90 grados. Tres factores de escala de 2 se multiplican para dar 8. Aún puedes desarrollar el cubo, pero la forma polar muestra por qué el resultado queda sobre el eje imaginario.

El capítulo de OpenStax sobre la forma polar también desarrolla los cálculos de raíces correspondientes. La distinción importante es que un número complejo distinto de cero tiene varias raíces n-ésimas diferentes cuando n ≥ 2. Dividir un único ángulo elegido entre n no permite enumerarlas todas.

Distingue bien estos casos especiales

Un giro completo cambia el ángulo, no el número. Los ángulos $\theta$ y $\theta+2\pi k$ describen la misma dirección para cualquier entero $k$. Si una pregunta pide el argumento principal, utiliza el intervalo indicado, normalmente $(-\pi,\pi]$. Otros cursos utilizan un intervalo distinto, así que indica tu convención.

El cero no tiene una dirección definida. Su módulo es cero. Cualquier ángulo produce las mismas componentes nulas, así que no tiene sentido asignar un argumento único al cero.

No se pueden mezclar radianes y grados. Ambos sirven en la forma trigonométrica si se utilizan de manera coherente. La forma exponencial $re^{i\theta}$ utiliza radianes. Nuestra guía sobre la identidad de Euler explica esa conexión.

La suma no utiliza la regla de la multiplicación. Sumar módulos y ángulos no suma números complejos. Convierte a forma rectangular, suma las componentes y vuelve a convertir si hace falta.

Practica una decisión cada vez

La práctica de números complejos de Math Zen incluye la forma polar y la fórmula de De Moivre. Separa las destrezas durante el aprendizaje: primero identifica el cuadrante, luego calcula el módulo, después convierte y solo entonces prueba con productos o potencias.

Antes de entregar una respuesta, hazte tres preguntas. ¿Tiene sentido su distancia a cero? ¿Coincide su dirección con la operación? ¿Reproducen sus componentes rectangulares el punto de partida? Estas comprobaciones convierten la forma polar, que deja de ser otra fórmula que memorizar, en una manera de ver el cálculo.