Varianz und Standardabweichung: Ein Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Zwei Gruppen lösen ein Puzzle in durchschnittlich vier Minuten. In der ersten Gruppe braucht jede Person genau vier Minuten. In der zweiten ist die eine Hälfte nach zwei Minuten fertig, die andere nach sechs. Die Mittelwerte sind gleich, aber die Zeiten der zweiten Gruppe streuen stärker. Varianz und Standardabweichung geben diesem Unterschied eine Zahl.

Beide messen dieselbe Eigenschaft, die Streuung um den Mittelwert, aber auf verschiedenen Skalen. Die Varianz verwendet quadrierte Einheiten. Die Standardabweichung zieht daraus die Quadratwurzel und kehrt zu den ursprünglichen Einheiten zurück. Sind die Daten Minuten, ist die Varianz in Minuten zum Quadrat und die Standardabweichung in Minuten angegeben. Auch die Berechnung hängt davon ab, ob die Daten eine ganze Grundgesamtheit oder nur eine Stichprobe umfassen.

Dieser Leitfaden rechnet einen Datensatz vom Anfang bis zum Ende durch. Wenn Sie zunächst Mittelwert, Median und Verteilungen im weiteren Zusammenhang verstehen möchten, lesen Sie unsere Einführung in die Statistik.

Beginnen Sie mit den Abweichungen vom Mittelwert

Angenommen, acht Puzzle-Versuche dauerten jeweils so viele Minuten:

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$$

Zusammen sind das $40$ Minuten; der Mittelwert beträgt also $40/8=5$ Minuten. Ziehen Sie als Nächstes von jeder Zeit fünf ab. Die Abweichungen sind:

$$-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4$$

Ein negatives Vorzeichen bedeutet schneller als der Mittelwert, ein positives langsamer. Diese Abweichungen addieren sich zu null, wie Abweichungen vom arithmetischen Mittel immer. Ihr einfacher Durchschnitt würde daher selbst bei sehr unterschiedlichen Werten eine Streuung von null melden. Das wäre nutzlos. Durch Quadrieren werden alle Abweichungen nichtnegativ und größere Abstände erhalten mehr Gewicht, wie die NIST-Referenz zu Streuungsmaßen erklärt.

Hier stehen die acht quadrierten Abweichungen:

Zeit, Minuten	Abweichung von 5, Minuten	Quadrierte Abweichung, Minuten²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Die letzte Spalte ergibt insgesamt $32$ Minuten zum Quadrat. Diese Summe treibt beide Kennzahlen an. An den beobachteten Zeiten ändert sich von hier an nichts. Welcher Nenner folgt, hängt davon ab, wofür die acht Zeiten stehen.

Wenn die Werte die ganze Grundgesamtheit bilden

Stellen Sie sich vor, die acht Versuche sind alle Versuche des kleinen Wettbewerbs, den Sie untersuchen wollen. Sie beschreiben diese vollständige Gruppe, statt eine größere unbeobachtete Gruppe zu schätzen. Teilen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Werte, $N=8$:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}=\frac{32}{8}=4\ \text{Minuten}^2$$

Das ist die Varianz der Grundgesamtheit, gekennzeichnet mit $\sigma^2$. Ziehen Sie nun die Quadratwurzel:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2\ \text{Minuten}$$

Das ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Die Quadratwurzel macht die Rechnung nicht rückgängig und liefert auch keinen mittleren absoluten Abstand. Sie bringt die Einheit und die Skala zurück, nachdem die Abweichungen bereits quadriert und zusammengefasst wurden. Der OpenStax-Abschnitt über Streuung verwendet dieselben Symbole und denselben Nenner für eine Grundgesamtheit.

Was bedeuten zwei Minuten hier? Es ist ein Maß für die Streuung der Zeiten um den Mittelwert von fünf Minuten, ausgedrückt in Minuten. Es bedeutet nicht, dass jedes Ergebnis höchstens zwei Minuten von fünf entfernt liegt: In der Liste stehen auch zwei und neun. Ebenso wenig folgt daraus, dass ein bestimmter Anteil in diesem Bereich liegen muss. Solche Prozentregeln brauchen Annahmen über die Verteilung, nicht bloß eine berechnete Standardabweichung.

Wenn die Werte eine Stichprobe bilden

Stellen Sie sich nun vor, dieselben acht Zeiten wurden aus einer viel größeren Menge von Versuchen ausgewählt, und Sie wollen die Streuung dieser größeren Grundgesamtheit schätzen. Auch der beobachtete Mittelwert von fünf wurde aus der Stichprobe berechnet. Die übliche Stichprobenvarianz hat $n-1$ im Nenner:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{32}{7}\approx4.5714\ \text{Minuten}^2$$

Die Stichproben-Standardabweichung lautet:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{32}{7}}\approx2.1381\ \text{Minuten}$$

Das Ergebnis ist etwas größer als bei der Rechnung für die Grundgesamtheit, weil dieselbe Summe $32$ durch sieben statt durch acht geteilt wird. Hier wählen Sie nicht zwischen einer großzügigen und einer strengen Formel. Sie beantworten zwei verschiedene Fragen: Beschreiben Sie alle acht Werte als vollständige Gruppe, oder nutzen Sie acht Beobachtungen, um die Streuung einer größeren Gruppe zu schätzen? OpenStax' Text zu Data Science zeigt beide Formeln und den Unterschied in den Einheiten.

Warum sieben? Der Stichprobenmittelwert ist an dieselben Beobachtungen angepasst; deshalb sehen die Abweichungen davon tendenziell kleiner aus als die Abweichungen vom unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit. Die Verwendung von $n-1$ korrigiert unter den üblichen Stichprobenbedingungen diese Tendenz zur Unterschätzung der Varianz. Eine Merkhilfe: Wenn der Stichprobenmittelwert feststeht, können sieben Abweichungen frei variieren; die achte muss ihre Summe zu null ergänzen. Die tiefere statistische Begründung betrifft das Verhalten der Stichprobenvarianz über wiederholte Stichproben hinweg. Für diesen Beitrag reicht die praktische Regel: Klären Sie vor dem Teilen, ob Sie eine Grundgesamtheit oder Stichprobe haben.

Welche Zahl sollten Sie angeben?

Verwenden Sie die Varianz, wenn eine Rechnung quadrierte Streuung verlangt oder eine weiterführende Formel mit Varianz definiert ist. Verwenden Sie die Standardabweichung, wenn Leser die Streuung mit den ursprünglichen Messwerten vergleichen sollen. „Eine Standardabweichung von etwa 2.14 Minuten“ lässt sich sofort mit einem Mittelwert von fünf Minuten vergleichen; „eine Varianz von etwa 4.57 Minuten zum Quadrat“ ist mathematisch genau, aber schwerer vorstellbar.

Nennen Sie immer auch die Berechnungsweise. „SD = 2“ und „SD = 2.14“ stammen beide aus denselben acht Zeiten. Ohne Kennzeichnung als Grundgesamtheit oder Stichprobe kann niemand erkennen, weshalb sie abweichen. Wenn Ihr Taschenrechner $\sigma$ und $s$ anbietet, sind das keine austauschbaren Tasten. Wählen Sie $\sigma$ für die Beschreibung einer vollständigen Grundgesamtheit und $s$ für die Stichprobenrechnung.

Auch die Einheit zählt. Stehen die Werte in Zentimetern, hat die Varianz die Einheit $\mathrm{cm}^2$ und die Standardabweichung Zentimeter. Bei einheitenlosen Punktzahlen sind beide Ergebnisse einheitenlos. Beide Zahlen „Punkte“ oder beide „Punkte zum Quadrat“ zu nennen, verdeckt, was die Quadratwurzel bewirkt hat.

Warum nicht einfach die Spannweite verwenden?

Die Spannweite unserer Zeiten beträgt $9-2=7$ Minuten. Sie beschreibt den Abstand zwischen den Extremwerten und nichts über die sechs Werte dazwischen. Verändern Sie einen mittleren Wert, während zwei und neun gleich bleiben, bleibt die Spannweite sieben, obwohl sich das Muster insgesamt verändert. Varianz und Standardabweichung verwenden jede Beobachtung, sodass sich Änderungen in der Mitte im Ergebnis zeigen.

Diese Stärke bringt eine Einschränkung mit sich: Das Quadrieren verleiht weit entfernten Werten großes Gewicht. In unserem Beispiel trägt allein der Versuch mit neun Minuten $16$ der insgesamt $32$ Quadratminuten bei. Das ist erwünscht, wenn große Abweichungen wichtig sind. Zugleich sollten Sie die Daten ansehen, bevor Sie eine einzelne Streuungszahl deuten. NIST weist beim Vergleich von Streuungsmaßen auf den stärkeren Einfluss großer Abweichungen hin. Die Standardabweichung ersetzt nicht den Blick auf einen ungewöhnlichen Wert oder eine asymmetrische Verteilung.

Vergleichen Sie zur Anschauung zwei Gruppen mit je vier Werten und Mittelwert vier: $[4,4,4,4]$ und $[2,2,6,6]$. In der ersten gibt es nur quadratische Abweichungen von null, also auch eine Standardabweichung von null. In der zweiten ist jeder Wert zwei Einheiten von vier entfernt; jede quadrierte Abweichung beträgt daher vier. Wenn jede Gruppe die vollständige Grundgesamtheit bildet, ist ihre Varianz vier und ihre Standardabweichung zwei. Der gemeinsame Mittelwert allein übersieht den ganzen Unterschied.

Häufige Rechenfehler

Teilen, bevor die Bedeutung der Daten feststeht. Schreiben Sie „Grundgesamtheit“ oder „Stichprobe“ über die Rechnung. Für die Grundgesamtheit verwenden Sie $N$, für eine Stichprobenvarianz zur Schätzung der Grundgesamtheit $n-1$. Eine Verwechslung ist der häufigste Grund für zwei plausibel aussehende, aber verschiedene Antworten.

Die Quadratwurzel vergessen. Summe durch Nenner ist die Varianz. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel daraus. Geben Sie beide an, wenn die Aufgabe beide verlangt.

Die Einheiten weglassen. Summe der quadrierten Abweichungen und Varianz haben quadrierte Einheiten; die Standardabweichung hat die ursprüngliche Einheit. Damit lässt sich Ihre Rechnung schnell prüfen.

Vom mittleren absoluten Abstand sprechen. Das ist ein anderes Maß: die mittlere absolute Abweichung. Für die Standardabweichung wird erst quadriert, dann gemäß der Grundgesamtheits- oder Stichprobenregel gemittelt und zuletzt die Quadratwurzel gezogen. Diese Schritte ergeben im Allgemeinen eine andere Zahl.

Jede Tabellenzeile runden. Lassen Sie quadrierte Abweichungen und den Bruch möglichst lange exakt. Bei diesen Daten liefert $32/7$ eine genauere Stichproben-Standardabweichung als die Quadratwurzel aus einer bereits gerundeten Varianz.

Üben ohne Abschreiben der Tabelle

Versuchen Sie es mit $[1,3,3,5]$ und behandeln Sie die vier Werte als vollständige Grundgesamtheit. Der Mittelwert ist $3$. Die Abweichungen sind $[-2,0,0,2]$, ihre quadrierte Summe beträgt $8$. Die Varianz der Grundgesamtheit ist $8/4=2$ Quadrat-Einheiten und die Standardabweichung $\sqrt{2}\approx1.4142$ Einheiten. Sind dieselben vier Werte hingegen eine Stichprobe, teilen Sie durch drei: Stichprobenvarianz $8/3\approx2.6667$ und Stichproben-Standardabweichung $\sqrt{8/3}\approx1.6330$.

Ändern Sie nur den letzten Wert von fünf auf neun. Sagen Sie vor der Rechnung voraus, ob die Streuung steigt. Sie steigt, aber rechnen Sie trotzdem erneut: Der Mittelwert hat sich ebenfalls geändert, sodass Sie nicht nur eine Zeile der alten Abweichungstabelle aktualisieren können. Diese Übung zeigt, weshalb Mittelwert und Streuung zusammen berechnet werden müssen.

Die Statistikübungen von Math Zen helfen, nachdem Sie eine Tabelle einmal von Hand fertiggestellt haben. Üben Sie dort, den Mittelwert zu finden, den richtigen Nenner zu wählen und die Einheit der Antwort zu prüfen. Wenn der Unterschied zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit noch abstrakt wirkt, erklärt unser Wahrscheinlichkeitsleitfaden, warum man mit Stichproben über eine größere Menge möglicher Ergebnisse nachdenkt.

Häufig gestellte Fragen

Ist die Varianz immer größer als die Standardabweichung?

Nein. Die Einheiten unterscheiden sich, sodass ein direkter Größenvergleich meist sinnlos ist. Numerisch ist die Quadratwurzel einer Varianz unter eins in einer gewählten Einheit größer als die Varianz; oberhalb von eins ist sie kleiner. Ein Wechsel der Einheit kann diesen Zahlenvergleich ändern, ohne die Daten zu ändern.

Kann die Standardabweichung negativ sein?

Nein. Quadrierte Abweichungen sind nichtnegativ, ihre Summe ist nichtnegativ, und auch die Quadratwurzel für die Standardabweichung ist nichtnegativ. Null ist sie nur, wenn alle beobachteten Werte gleich sind.

Wann verwende ich n minus 1?

Verwenden Sie $n-1$ für die übliche Stichprobenvarianz und Stichproben-Standardabweichung, wenn der Stichprobenmittelwert aus diesen Daten berechnet wird. Verwenden Sie $N$, wenn die Daten Ihre gesamte zu beschreibende Grundgesamtheit bilden. Lesen Sie die Aufgabenstellung, bevor Sie zum Taschenrechner greifen.

Wie merke ich mir den Unterschied am einfachsten?

Varianz misst Streuung über quadrierte Abweichungen. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel dieser Varianz und hat wieder die ursprüngliche Einheit der Daten. Das Beispiel führt von insgesamt $32$ Quadratminuten zu $4$ Quadratminuten Varianz der Grundgesamtheit und zu $2$ Minuten Standardabweichung der Grundgesamtheit.